Theorem psgndiflemA 19947

Description: Lemma 2 for psgndif 19948. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfix.p	|- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
psgnfix.t	|- T = ran (pmTrsp ` ( N \ { K } ) )
psgnfix.s	|- S = ( SymGrp ` ( N \ { K } ) )
psgnfix.z	|- Z = ( SymGrp ` N )
psgnfix.r	|- R = ran (pmTrsp ` N )

Assertion

Ref	Expression
psgndiflemA	|- ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) -> ( ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) -> ( Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) -> ( -u 1 ^ ( # ` W ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` U ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   K, q   P, q   Q, q

Allowed substitution hints:   R( q)   S( q)   T( q)   U( q)   N( q)   W( q)   Z( q)

Proof of Theorem psgndiflemA

Dummy variables w i n r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = W -> ( # ` w ) = ( # ` W ) )
2	1	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = W -> ( ( # ` w ) = ( # ` r ) <-> ( # ` W ) = ( # ` r ) ) )
3	1	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = W -> ( 0..^ ( # ` w ) ) = ( 0..^ ( # ` W ) ) )
4		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = W -> ( w ` i ) = ( W ` i ) )
5	4	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = W -> ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( W ` i ) ` n ) )
6	5	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = W -> ( ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) <-> ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) )
7	6	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = W -> ( A. n e. ( N \ { K } ) ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) <-> A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) )
8	7	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = W -> ( ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) <-> ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) )
9	3, 8	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = W -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) <-> A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) )
10	2, 9	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( w = W -> ( ( ( # ` w ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) <-> ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) )
11	10	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( E. r e. Word R ( ( # ` w ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) <-> E. r e. Word R ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) )
12	11	rspccv 3306	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. Word T E. r e. Word R ( ( # ` w ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) -> ( W e. Word T -> E. r e. Word R ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) )
13		psgnfix.t	. . . . . . . . 9 |- T = ran (pmTrsp ` ( N \ { K } ) )
14		psgnfix.r	. . . . . . . . 9 |- R = ran (pmTrsp ` N )
15	13, 14	pmtrdifwrdel2 17906	. . . . . . . 8 |- ( K e. N -> A. w e. Word T E. r e. Word R ( ( # ` w ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) )
16	12, 15	syl11 33	. . . . . . 7 |- ( W e. Word T -> ( K e. N -> E. r e. Word R ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) )
17	16	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) -> ( K e. N -> E. r e. Word R ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) )
18	17	com12 32	. . . . 5 |- ( K e. N -> ( ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) -> E. r e. Word R ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) )
19	18	ad2antlr 763	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) -> ( ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) -> E. r e. Word R ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) )
20	19	imp 445	. . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) -> E. r e. Word R ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) )
21		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( ( # ` W ) = ( # ` r ) -> ( -u 1 ^ ( # ` W ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` r ) ) )
22	21	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) -> ( -u 1 ^ ( # ` W ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` r ) ) )
23	22	ad3antlr 767	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> ( -u 1 ^ ( # ` W ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` r ) ) )
24		psgnfix.z	. . . . . . . 8 |- Z = ( SymGrp ` N )
25		simplll 798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) -> N e. Fin )
26	25	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> N e. Fin )
27		simplll 798	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> r e. Word R )
28		simprr3 1111	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) -> U e. Word R )
29	28	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> U e. Word R )
30		simplrl 800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) )
31		3simpa 1058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) -> ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) )
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) -> ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) )
33	32	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) )
34		simplrl 800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) -> ( # ` W ) = ( # ` r ) )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> ( # ` W ) = ( # ` r ) )
36		simplrr 801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) -> A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) )
38		psgnfix.p	. . . . . . . . . . . . 13 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
39		psgnfix.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = ( SymGrp ` ( N \ { K } ) )
40	38, 13, 39, 24, 14	psgndiflemB 19946	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) -> ( ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) -> ( ( r e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) -> Q = ( Z gsumg r ) ) ) )
41	40	imp31 448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( r e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) -> Q = ( Z gsumg r ) )
42	41	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( r e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) -> ( Z gsumg r ) = Q )
43	30, 33, 27, 35, 37, 42	syl23anc 1333	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> ( Z gsumg r ) = Q )
44		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) -> Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) )
45	24	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . 12 |- ( SymGrp ` N ) = Z
46	45	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) = ( Z gsumg U )
47	44, 46	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) -> Q = ( Z gsumg U ) )
48	47	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> Q = ( Z gsumg U ) )
49	43, 48	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> ( Z gsumg r ) = ( Z gsumg U ) )
50	24, 14, 26, 27, 29, 49	psgnuni 17919	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> ( -u 1 ^ ( # ` r ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` U ) ) )
51	23, 50	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) /\ Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) ) -> ( -u 1 ^ ( # ` W ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` U ) ) )
52	51	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) /\ ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) ) -> ( Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) -> ( -u 1 ^ ( # ` W ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` U ) ) ) )
53	52	ex 450	. . . 4 |- ( ( r e. Word R /\ ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) ) -> ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) -> ( Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) -> ( -u 1 ^ ( # ` W ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` U ) ) ) ) )
54	53	rexlimiva 3028	. . 3 |- ( E. r e. Word R ( ( # ` W ) = ( # ` r ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( r ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( r ` i ) ` n ) ) ) -> ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) -> ( Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) -> ( -u 1 ^ ( # ` W ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` U ) ) ) ) )
55	20, 54	mpcom 38	. 2 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) ) -> ( Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) -> ( -u 1 ^ ( # ` W ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` U ) ) ) )
56	55	ex 450	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) -> ( ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) /\ U e. Word R ) -> ( Q = ( ( SymGrp ` N ) gsumg U ) -> ( -u 1 ^ ( # ` W ) ) = ( -u 1 ^ ( # ` U ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   {csn 4177   ran crn 5115   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   -ucneg 10267  ..^cfzo 12465   ^cexp 12860   #chash 13117  Word cword 13291   Basecbs 15857   gsum_g cgsu 16101   SymGrpcsymg 17797  pmTrspcpmtr 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-oppg 17776  df-symg 17798  df-pmtr 17862  df-psgn 17911

This theorem is referenced by:  psgndif  19948