Theorem psgnunilem3 17916

Description: Lemma for psgnuni 17919. Any nonempty representation of the identity can be incrementally transformed into a representation two shorter. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnunilem3.g	|- G = ( SymGrp ` D )
psgnunilem3.t	|- T = ran (pmTrsp ` D )
psgnunilem3.d	|- ( ph -> D e. V )
psgnunilem3.w1	|- ( ph -> W e. Word T )
psgnunilem3.l	|- ( ph -> ( # ` W ) = L )
psgnunilem3.w2	|- ( ph -> ( # ` W ) e. NN )
psgnunilem3.w3	|- ( ph -> ( G gsumg W ) = ( _I |` D ) )
psgnunilem3.in	|- ( ph -> -. E. x e. Word T ( ( # ` x ) = ( L - 2 ) /\ ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
psgnunilem3	|- -. ph

Distinct variable groups:   x, D   x, G   x, L   x, T   x, W   ph, x

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem psgnunilem3

Dummy variables a b c d e w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psgnunilem3.l	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` W ) = L )
2		psgnunilem3.w2	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` W ) e. NN )
3	1, 2	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ph -> L e. NN )
4	3	nnnn0d 11351	. 2 |- ( ph -> L e. NN0 )
5		psgnunilem3.w1	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. Word T )
6		wrdf 13310	. . . . . . 7 |- ( W e. Word T -> W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> T )
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> T )
8		0nn0 11307	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. NN0 )
10	3	nngt0d 11064	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < L )
11		elfzo0 12508	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. ( 0..^ L ) <-> ( 0 e. NN0 /\ L e. NN /\ 0 < L ) )
12	9, 3, 10, 11	syl3anbrc 1246	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. ( 0..^ L ) )
13	1	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0..^ ( # ` W ) ) = ( 0..^ L ) )
14	12, 13	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ( 0..^ ( # ` W ) ) )
15	7, 14	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ph -> ( W ` 0 ) e. T )
16		eqid 2622	. . . . . 6 |- (pmTrsp ` D ) = (pmTrsp ` D )
17		psgnunilem3.t	. . . . . 6 |- T = ran (pmTrsp ` D )
18	16, 17	pmtrfmvdn0 17882	. . . . 5 |- ( ( W ` 0 ) e. T -> dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) =/= (/) )
19	15, 18	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) =/= (/) )
20		n0 3931	. . . 4 |- ( dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) =/= (/) <-> E. e e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) )
21	19, 20	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> E. e e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) )
22		fzonel 12483	. . . . . . . 8 |- -. L e. ( 0..^ L )
23		simpr1 1067	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( L e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` L ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ L ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) -> L e. ( 0..^ L ) )
24	22, 23	mto 188	. . . . . . 7 |- -. ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( L e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` L ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ L ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) )
25	24	a1i 11	. . . . . 6 |- ( w e. Word T -> -. ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( L e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` L ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ L ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) )
26	25	nrex 3000	. . . . 5 |- -. E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( L e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` L ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ L ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) )
27		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( a = 0 -> ( a e. ( 0..^ L ) <-> 0 e. ( 0..^ L ) ) )
28		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = 0 -> ( w ` a ) = ( w ` 0 ) )
29	28	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = 0 -> ( ( w ` a ) \ _I ) = ( ( w ` 0 ) \ _I ) )
30	29	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = 0 -> dom ( ( w ` a ) \ _I ) = dom ( ( w ` 0 ) \ _I ) )
31	30	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( a = 0 -> ( e e. dom ( ( w ` a ) \ _I ) <-> e e. dom ( ( w ` 0 ) \ _I ) ) )
32		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = 0 -> ( 0..^ a ) = ( 0..^ 0 ) )
33	32	raleqdv 3144	. . . . . . . . . 10 |- ( a = 0 -> ( A. c e. ( 0..^ a ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) <-> A. c e. ( 0..^ 0 ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) )
34	27, 31, 33	3anbi123d 1399	. . . . . . . . 9 |- ( a = 0 -> ( ( a e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` a ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ a ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) <-> ( 0 e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` 0 ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ 0 ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) )
35	34	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( a = 0 -> ( ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( a e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` a ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ a ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) <-> ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( 0 e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` 0 ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ 0 ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) ) )
36	35	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( a = 0 -> ( E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( a e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` a ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ a ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) <-> E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( 0 e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` 0 ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ 0 ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) ) )
37	36	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( a = 0 -> ( ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( a e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` a ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ a ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( 0 e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` 0 ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ 0 ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) ) ) )
38		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = b -> ( a e. ( 0..^ L ) <-> b e. ( 0..^ L ) ) )
39		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = b -> ( w ` a ) = ( w ` b ) )
40	39	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = b -> ( ( w ` a ) \ _I ) = ( ( w ` b ) \ _I ) )
41	40	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = b -> dom ( ( w ` a ) \ _I ) = dom ( ( w ` b ) \ _I ) )
42	41	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = b -> ( e e. dom ( ( w ` a ) \ _I ) <-> e e. dom ( ( w ` b ) \ _I ) ) )
43		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = b -> ( 0..^ a ) = ( 0..^ b ) )
44	43	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = b -> ( A. c e. ( 0..^ a ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) <-> A. c e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) )
45	38, 42, 44	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . 10 |- ( a = b -> ( ( a e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` a ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ a ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) <-> ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` b ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) )
46	45	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> ( ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( a e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` a ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ a ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) <-> ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` b ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) ) )
47	46	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( a e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` a ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ a ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) <-> E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` b ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) ) )
48		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = x -> ( G gsumg w ) = ( G gsumg x ) )
49	48	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = x -> ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) <-> ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) ) )
50		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = x -> ( # ` w ) = ( # ` x ) )
51	50	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = x -> ( ( # ` w ) = L <-> ( # ` x ) = L ) )
52	49, 51	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) <-> ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) ) )
53		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = x -> ( w ` b ) = ( x ` b ) )
54	53	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = x -> ( ( w ` b ) \ _I ) = ( ( x ` b ) \ _I ) )
55	54	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = x -> dom ( ( w ` b ) \ _I ) = dom ( ( x ` b ) \ _I ) )
56	55	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = x -> ( e e. dom ( ( w ` b ) \ _I ) <-> e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) ) )
57		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = x -> ( w ` c ) = ( x ` c ) )
58	57	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = x -> ( ( w ` c ) \ _I ) = ( ( x ` c ) \ _I ) )
59	58	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = x -> dom ( ( w ` c ) \ _I ) = dom ( ( x ` c ) \ _I ) )
60	59	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = x -> ( e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) <-> e e. dom ( ( x ` c ) \ _I ) ) )
61	60	notbid 308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = x -> ( -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) <-> -. e e. dom ( ( x ` c ) \ _I ) ) )
62	61	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = x -> ( A. c e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) <-> A. c e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` c ) \ _I ) ) )
63		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c = d -> ( x ` c ) = ( x ` d ) )
64	63	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = d -> ( ( x ` c ) \ _I ) = ( ( x ` d ) \ _I ) )
65	64	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = d -> dom ( ( x ` c ) \ _I ) = dom ( ( x ` d ) \ _I ) )
66	65	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = d -> ( e e. dom ( ( x ` c ) \ _I ) <-> e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) )
67	66	notbid 308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = d -> ( -. e e. dom ( ( x ` c ) \ _I ) <-> -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) )
68	67	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. c e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` c ) \ _I ) <-> A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) )
69	62, 68	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = x -> ( A. c e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) <-> A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) )
70	56, 69	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` b ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) <-> ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) )
71	52, 70	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` b ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) <-> ( ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) ) )
72	71	cbvrexv 3172	. . . . . . . 8 |- ( E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` b ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) <-> E. x e. Word T ( ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) )
73	47, 72	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( a e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` a ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ a ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) <-> E. x e. Word T ( ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) ) )
74	73	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( a e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` a ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ a ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> E. x e. Word T ( ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) ) ) )
75		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( a e. ( 0..^ L ) <-> ( b + 1 ) e. ( 0..^ L ) ) )
76		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( w ` a ) = ( w ` ( b + 1 ) ) )
77	76	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( w ` a ) \ _I ) = ( ( w ` ( b + 1 ) ) \ _I ) )
78	77	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( b + 1 ) -> dom ( ( w ` a ) \ _I ) = dom ( ( w ` ( b + 1 ) ) \ _I ) )
79	78	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( e e. dom ( ( w ` a ) \ _I ) <-> e e. dom ( ( w ` ( b + 1 ) ) \ _I ) ) )
80		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( 0..^ a ) = ( 0..^ ( b + 1 ) ) )
81	80	raleqdv 3144	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( A. c e. ( 0..^ a ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) <-> A. c e. ( 0..^ ( b + 1 ) ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) )
82	75, 79, 81	3anbi123d 1399	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( a e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` a ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ a ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) <-> ( ( b + 1 ) e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` ( b + 1 ) ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ ( b + 1 ) ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) )
83	82	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( a e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` a ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ a ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) <-> ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( ( b + 1 ) e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` ( b + 1 ) ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ ( b + 1 ) ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) ) )
84	83	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( a e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` a ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ a ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) <-> E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( ( b + 1 ) e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` ( b + 1 ) ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ ( b + 1 ) ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) ) )
85	84	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( a e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` a ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ a ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( ( b + 1 ) e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` ( b + 1 ) ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ ( b + 1 ) ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) ) ) )
86		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( a = L -> ( a e. ( 0..^ L ) <-> L e. ( 0..^ L ) ) )
87		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = L -> ( w ` a ) = ( w ` L ) )
88	87	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = L -> ( ( w ` a ) \ _I ) = ( ( w ` L ) \ _I ) )
89	88	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = L -> dom ( ( w ` a ) \ _I ) = dom ( ( w ` L ) \ _I ) )
90	89	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( a = L -> ( e e. dom ( ( w ` a ) \ _I ) <-> e e. dom ( ( w ` L ) \ _I ) ) )
91		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = L -> ( 0..^ a ) = ( 0..^ L ) )
92	91	raleqdv 3144	. . . . . . . . . 10 |- ( a = L -> ( A. c e. ( 0..^ a ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) <-> A. c e. ( 0..^ L ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) )
93	86, 90, 92	3anbi123d 1399	. . . . . . . . 9 |- ( a = L -> ( ( a e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` a ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ a ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) <-> ( L e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` L ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ L ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) )
94	93	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( a = L -> ( ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( a e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` a ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ a ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) <-> ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( L e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` L ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ L ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) ) )
95	94	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( a = L -> ( E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( a e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` a ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ a ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) <-> E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( L e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` L ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ L ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) ) )
96	95	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( a = L -> ( ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( a e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` a ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ a ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( L e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` L ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ L ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) ) ) )
97	5	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> W e. Word T )
98		psgnunilem3.w3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G gsumg W ) = ( _I |` D ) )
99	98, 1	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( G gsumg W ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` W ) = L ) )
100	99	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> ( ( G gsumg W ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` W ) = L ) )
101	12	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> 0 e. ( 0..^ L ) )
102		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) )
103		ral0 4076	. . . . . . . . . 10 |- A. c e. (/) -. e e. dom ( ( W ` c ) \ _I )
104		fzo0 12492	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0..^ 0 ) = (/)
105	104	raleqi 3142	. . . . . . . . . 10 |- ( A. c e. ( 0..^ 0 ) -. e e. dom ( ( W ` c ) \ _I ) <-> A. c e. (/) -. e e. dom ( ( W ` c ) \ _I ) )
106	103, 105	mpbir 221	. . . . . . . . 9 |- A. c e. ( 0..^ 0 ) -. e e. dom ( ( W ` c ) \ _I )
107	106	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> A. c e. ( 0..^ 0 ) -. e e. dom ( ( W ` c ) \ _I ) )
108	101, 102, 107	3jca 1242	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> ( 0 e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ 0 ) -. e e. dom ( ( W ` c ) \ _I ) ) )
109		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = W -> ( G gsumg w ) = ( G gsumg W ) )
110	109	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( w = W -> ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) <-> ( G gsumg W ) = ( _I |` D ) ) )
111		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = W -> ( # ` w ) = ( # ` W ) )
112	111	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( w = W -> ( ( # ` w ) = L <-> ( # ` W ) = L ) )
113	110, 112	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) <-> ( ( G gsumg W ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` W ) = L ) ) )
114		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = W -> ( w ` 0 ) = ( W ` 0 ) )
115	114	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = W -> ( ( w ` 0 ) \ _I ) = ( ( W ` 0 ) \ _I ) )
116	115	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = W -> dom ( ( w ` 0 ) \ _I ) = dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) )
117	116	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( w = W -> ( e e. dom ( ( w ` 0 ) \ _I ) <-> e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) )
118		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = W -> ( w ` c ) = ( W ` c ) )
119	118	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = W -> ( ( w ` c ) \ _I ) = ( ( W ` c ) \ _I ) )
120	119	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = W -> dom ( ( w ` c ) \ _I ) = dom ( ( W ` c ) \ _I ) )
121	120	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = W -> ( e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) <-> e e. dom ( ( W ` c ) \ _I ) ) )
122	121	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = W -> ( -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) <-> -. e e. dom ( ( W ` c ) \ _I ) ) )
123	122	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( w = W -> ( A. c e. ( 0..^ 0 ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) <-> A. c e. ( 0..^ 0 ) -. e e. dom ( ( W ` c ) \ _I ) ) )
124	117, 123	3anbi23d 1402	. . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( ( 0 e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` 0 ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ 0 ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) <-> ( 0 e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ 0 ) -. e e. dom ( ( W ` c ) \ _I ) ) ) )
125	113, 124	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( 0 e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` 0 ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ 0 ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) <-> ( ( ( G gsumg W ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` W ) = L ) /\ ( 0 e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ 0 ) -. e e. dom ( ( W ` c ) \ _I ) ) ) ) )
126	125	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word T /\ ( ( ( G gsumg W ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` W ) = L ) /\ ( 0 e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ 0 ) -. e e. dom ( ( W ` c ) \ _I ) ) ) ) -> E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( 0 e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` 0 ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ 0 ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) )
127	97, 100, 108, 126	syl12anc 1324	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( 0 e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` 0 ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ 0 ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) )
128		psgnunilem3.g	. . . . . . . . . 10 |- G = ( SymGrp ` D )
129		psgnunilem3.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. V )
130	129	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) /\ ( x e. Word T /\ ( ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) ) ) -> D e. V )
131		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) /\ ( x e. Word T /\ ( ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) ) ) -> x e. Word T )
132		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) -> ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) )
133	132	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) /\ ( x e. Word T /\ ( ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) ) ) -> ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) )
134		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) -> ( # ` x ) = L )
135	134	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) /\ ( x e. Word T /\ ( ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) ) ) -> ( # ` x ) = L )
136		simpr1 1067	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) -> b e. ( 0..^ L ) )
137	136	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) /\ ( x e. Word T /\ ( ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) ) ) -> b e. ( 0..^ L ) )
138		simpr2 1068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) -> e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) )
139	138	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) /\ ( x e. Word T /\ ( ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) ) ) -> e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) )
140		simpr3 1069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) -> A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) )
141	140	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) /\ ( x e. Word T /\ ( ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) ) ) -> A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) )
142		psgnunilem3.in	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. E. x e. Word T ( ( # ` x ) = ( L - 2 ) /\ ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) ) )
143		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( # ` x ) = ( # ` y ) )
144	143	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( # ` x ) = ( L - 2 ) <-> ( # ` y ) = ( L - 2 ) ) )
145		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( G gsumg x ) = ( G gsumg y ) )
146	145	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) <-> ( G gsumg y ) = ( _I |` D ) ) )
147	144, 146	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( ( # ` x ) = ( L - 2 ) /\ ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) ) <-> ( ( # ` y ) = ( L - 2 ) /\ ( G gsumg y ) = ( _I |` D ) ) ) )
148	147	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. x e. Word T ( ( # ` x ) = ( L - 2 ) /\ ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) ) <-> E. y e. Word T ( ( # ` y ) = ( L - 2 ) /\ ( G gsumg y ) = ( _I |` D ) ) )
149	142, 148	sylnib 318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. E. y e. Word T ( ( # ` y ) = ( L - 2 ) /\ ( G gsumg y ) = ( _I |` D ) ) )
150	149	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) /\ ( x e. Word T /\ ( ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) ) ) -> -. E. y e. Word T ( ( # ` y ) = ( L - 2 ) /\ ( G gsumg y ) = ( _I |` D ) ) )
151	128, 17, 130, 131, 133, 135, 137, 139, 141, 150	psgnunilem2 17915	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) /\ ( x e. Word T /\ ( ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) ) ) -> E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( ( b + 1 ) e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` ( b + 1 ) ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ ( b + 1 ) ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) )
152	151	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> ( E. x e. Word T ( ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) -> E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( ( b + 1 ) e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` ( b + 1 ) ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ ( b + 1 ) ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) ) )
153	152	a2i 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> E. x e. Word T ( ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) ) -> ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( ( b + 1 ) e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` ( b + 1 ) ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ ( b + 1 ) ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) ) )
154	153	a1i 11	. . . . . 6 |- ( b e. NN0 -> ( ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> E. x e. Word T ( ( ( G gsumg x ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` x ) = L ) /\ ( b e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( x ` b ) \ _I ) /\ A. d e. ( 0..^ b ) -. e e. dom ( ( x ` d ) \ _I ) ) ) ) -> ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( ( b + 1 ) e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` ( b + 1 ) ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ ( b + 1 ) ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) ) ) )
155	37, 74, 85, 96, 127, 154	nn0ind 11472	. . . . 5 |- ( L e. NN0 -> ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> E. w e. Word T ( ( ( G gsumg w ) = ( _I |` D ) /\ ( # ` w ) = L ) /\ ( L e. ( 0..^ L ) /\ e e. dom ( ( w ` L ) \ _I ) /\ A. c e. ( 0..^ L ) -. e e. dom ( ( w ` c ) \ _I ) ) ) ) )
156	26, 155	mtoi 190	. . . 4 |- ( L e. NN0 -> -. ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) )
157	156	con2i 134	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. dom ( ( W ` 0 ) \ _I ) ) -> -. L e. NN0 )
158	21, 157	exlimddv 1863	. 2 |- ( ph -> -. L e. NN0 )
159	4, 158	pm2.65i 185	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   _I cid 5023   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   gsum_g cgsu 16101   SymGrpcsymg 17797  pmTrspcpmtr 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-symg 17798  df-pmtr 17862

This theorem is referenced by:  psgnunilem4  17917