Theorem psrass23 19410

Description: Associative identities for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrring.i	|- ( ph -> I e. V )
psrring.r	|- ( ph -> R e. Ring )
psrass.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrass.t	|- .X. = ( .r ` S )
psrass.b	|- B = ( Base ` S )
psrass.x	|- ( ph -> X e. B )
psrass.y	|- ( ph -> Y e. B )
psrcom.c	|- ( ph -> R e. CRing )
psrass.k	|- K = ( Base ` R )
psrass.n	|- .x. = ( .s ` S )
psrass.a	|- ( ph -> A e. K )

Assertion

Ref	Expression
psrass23	|- ( ph -> ( ( ( A .x. X ) .X. Y ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) /\ ( X .X. ( A .x. Y ) ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, I   R, f   f, X   f, Y

Allowed substitution hints:   ph( f)   A( f)   B( f)   D( f)   S( f)   .x. ( f)   .X. ( f)   K( f)   V( f)

Proof of Theorem psrass23

Dummy variables x k y w u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . 3 |- S = ( I mPwSer R )
2		psrring.i	. . 3 |- ( ph -> I e. V )
3		psrring.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
4		psrass.d	. . 3 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5		psrass.t	. . 3 |- .X. = ( .r ` S )
6		psrass.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
7		psrass.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
8		psrass.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
9		psrass.k	. . 3 |- K = ( Base ` R )
10		psrass.n	. . 3 |- .x. = ( .s ` S )
11		psrass.a	. . 3 |- ( ph -> A e. K )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	psrass23l 19408	. 2 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) .X. Y ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) )
13		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
14		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
15	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> A e. K )
16	15, 9	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> A e. ( Base ` R ) )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> A e. ( Base ` R ) )
18	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Y e. B )
19		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. D | y oR <_ k } C_ D
20	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> I e. V )
21		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> k e. D )
22		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. { y e. D | y oR <_ k } )
23		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- { y e. D | y oR <_ k } = { y e. D | y oR <_ k }
24	4, 23	psrbagconcl 19373	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ k e. D /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. { y e. D | y oR <_ k } )
25	20, 21, 22, 24	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. { y e. D | y oR <_ k } )
26	19, 25	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. D )
27	1, 10, 13, 6, 14, 4, 17, 18, 26	psrvscaval 19392	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( A .x. Y ) ` ( k oF - x ) ) = ( A ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) )
28	27	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( A .x. Y ) ` ( k oF - x ) ) ) = ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( A ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) )
29	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> X e. B )
30	1, 13, 4, 6, 29	psrelbas 19379	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
31	19, 22	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. D )
32	30, 31	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( X ` x ) e. ( Base ` R ) )
33	1, 13, 4, 6, 18	psrelbas 19379	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Y : D --> ( Base ` R ) )
34	33, 26	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) )
35		psrcom.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. CRing )
36	35	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> R e. CRing )
37	13, 14	crngcom 18562	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. CRing /\ u e. ( Base ` R ) /\ v e. ( Base ` R ) ) -> ( u ( .r ` R ) v ) = ( v ( .r ` R ) u ) )
38	37	3expb 1266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. CRing /\ ( u e. ( Base ` R ) /\ v e. ( Base ` R ) ) ) -> ( u ( .r ` R ) v ) = ( v ( .r ` R ) u ) )
39	36, 38	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ ( u e. ( Base ` R ) /\ v e. ( Base ` R ) ) ) -> ( u ( .r ` R ) v ) = ( v ( .r ` R ) u ) )
40	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> R e. Ring )
41	13, 14	ringass 18564	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( u e. ( Base ` R ) /\ v e. ( Base ` R ) /\ w e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( u ( .r ` R ) v ) ( .r ` R ) w ) = ( u ( .r ` R ) ( v ( .r ` R ) w ) ) )
42	40, 41	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ ( u e. ( Base ` R ) /\ v e. ( Base ` R ) /\ w e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( u ( .r ` R ) v ) ( .r ` R ) w ) = ( u ( .r ` R ) ( v ( .r ` R ) w ) ) )
43	32, 17, 34, 39, 42	caov12d 6855	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( A ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( A ( .r ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) )
44	28, 43	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( A .x. Y ) ` ( k oF - x ) ) ) = ( A ( .r ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) )
45	44	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( A .x. Y ) ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( A ( .r ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
46	45	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( A .x. Y ) ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( A ( .r ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
47		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
48		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
49	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. Ring )
50	4	psrbaglefi 19372	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ k e. D ) -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
51	2, 50	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
52	13, 14	ringcl 18561	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` x ) e. ( Base ` R ) /\ ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
53	40, 32, 34, 52	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
54		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
55	4, 54	rabex2 4815	. . . . . . . . . 10 |- D e. _V
56	55	mptrabex 6488	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) e. _V
57		funmpt 5926	. . . . . . . . 9 |- Fun ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) )
58		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) e. _V
59	56, 57, 58	3pm3.2i 1239	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) /\ ( 0g ` R ) e. _V )
60	59	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) /\ ( 0g ` R ) e. _V ) )
61		suppssdm 7308	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ dom ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) )
62		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) )
63	62	dmmptss 5631	. . . . . . . . 9 |- dom ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) C_ { y e. D | y oR <_ k }
64	61, 63	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { y e. D | y oR <_ k }
65	64	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { y e. D | y oR <_ k } )
66		suppssfifsupp 8290	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) /\ ( 0g ` R ) e. _V ) /\ ( { y e. D | y oR <_ k } e. Fin /\ ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { y e. D | y oR <_ k } ) ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
67	60, 51, 65, 66	syl12anc 1324	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
68	13, 47, 48, 14, 49, 51, 16, 53, 67	gsummulc2 18607	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( A ( .r ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) = ( A ( .r ` R ) ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
69	46, 68	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( A .x. Y ) ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( A ( .r ` R ) ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
70	69	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( A .x. Y ) ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) = ( k e. D |-> ( A ( .r ` R ) ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) )
71	1, 10, 9, 6, 3, 11, 8	psrvscacl 19393	. . . 4 |- ( ph -> ( A .x. Y ) e. B )
72	1, 6, 14, 5, 4, 7, 71	psrmulfval 19385	. . 3 |- ( ph -> ( X .X. ( A .x. Y ) ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( A .x. Y ) ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
73	1, 6, 5, 3, 7, 8	psrmulcl 19388	. . . . 5 |- ( ph -> ( X .X. Y ) e. B )
74	1, 10, 9, 6, 14, 4, 11, 73	psrvsca 19391	. . . 4 |- ( ph -> ( A .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( D X. { A } ) oF ( .r ` R ) ( X .X. Y ) ) )
75	55	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> D e. _V )
76		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) e. _V
77	76	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) e. _V )
78		fconstmpt 5163	. . . . . 6 |- ( D X. { A } ) = ( k e. D |-> A )
79	78	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( D X. { A } ) = ( k e. D |-> A ) )
80	1, 6, 14, 5, 4, 7, 8	psrmulfval 19385	. . . . 5 |- ( ph -> ( X .X. Y ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
81	75, 15, 77, 79, 80	offval2 6914	. . . 4 |- ( ph -> ( ( D X. { A } ) oF ( .r ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( k e. D |-> ( A ( .r ` R ) ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) )
82	74, 81	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. ( X .X. Y ) ) = ( k e. D |-> ( A ( .r ` R ) ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) )
83	70, 72, 82	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ph -> ( X .X. ( A .x. Y ) ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) )
84	12, 83	jca 554	1 |- ( ph -> ( ( ( A .x. X ) .X. Y ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) /\ ( X .X. ( A .x. Y ) ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   oRcofr 6896   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   mPwSer cmps 19351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-psr 19356

This theorem is referenced by:  psrassa  19414