Theorem psrass23l 19408

Description: Associative identity for the ring of power series. Part of psrass23 19410 which does not require the scalar ring to be commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrring.i	|- ( ph -> I e. V )
psrring.r	|- ( ph -> R e. Ring )
psrass.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrass.t	|- .X. = ( .r ` S )
psrass.b	|- B = ( Base ` S )
psrass.x	|- ( ph -> X e. B )
psrass.y	|- ( ph -> Y e. B )
psrass23l.k	|- K = ( Base ` R )
psrass23l.n	|- .x. = ( .s ` S )
psrass23l.a	|- ( ph -> A e. K )

Assertion

Ref	Expression
psrass23l	|- ( ph -> ( ( A .x. X ) .X. Y ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) )

Distinct variable groups:   f, I   R, f   f, X   f, Y

Allowed substitution hints:   ph( f)   A( f)   B( f)   D( f)   S( f)   .x. ( f)   .X. ( f)   K( f)   V( f)

Proof of Theorem psrass23l

Dummy variables x k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( I mPwSer R )
2		psrass23l.n	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( .s ` S )
3		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
4		psrass.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` S )
5		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
6		psrass.d	. . . . . . . . 9 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
7		psrass23l.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. K )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> A e. K )
9		psrass23l.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( Base ` R )
10	8, 9	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> A e. ( Base ` R ) )
11	10	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> A e. ( Base ` R ) )
12		psrass.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. B )
13	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> X e. B )
14		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { y e. D | y oR <_ k } C_ D
15		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. { y e. D | y oR <_ k } )
16	14, 15	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. D )
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 16	psrvscaval 19392	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( A .x. X ) ` x ) = ( A ( .r ` R ) ( X ` x ) ) )
18	17	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( ( A .x. X ) ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = ( ( A ( .r ` R ) ( X ` x ) ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) )
19		psrring.r	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. Ring )
20	19	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> R e. Ring )
21	1, 3, 6, 4, 13	psrelbas 19379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
22	21, 16	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( X ` x ) e. ( Base ` R ) )
23		psrass.y	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. B )
24	23	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Y e. B )
25	1, 3, 6, 4, 24	psrelbas 19379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Y : D --> ( Base ` R ) )
26		psrring.i	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> I e. V )
27	26	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> I e. V )
28		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> k e. D )
29		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- { y e. D | y oR <_ k } = { y e. D | y oR <_ k }
30	6, 29	psrbagconcl 19373	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ k e. D /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. { y e. D | y oR <_ k } )
31	27, 28, 15, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. { y e. D | y oR <_ k } )
32	14, 31	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. D )
33	25, 32	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) )
34	3, 5	ringass 18564	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( A e. ( Base ` R ) /\ ( X ` x ) e. ( Base ` R ) /\ ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( A ( .r ` R ) ( X ` x ) ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = ( A ( .r ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) )
35	20, 11, 22, 33, 34	syl13anc 1328	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( A ( .r ` R ) ( X ` x ) ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = ( A ( .r ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) )
36	18, 35	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( ( A .x. X ) ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) = ( A ( .r ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) )
37	36	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( ( A .x. X ) ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( A ( .r ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
38	37	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( ( A .x. X ) ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( A ( .r ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
39		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
40		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
41	19	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. Ring )
42	6	psrbaglefi 19372	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ k e. D ) -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
43	26, 42	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
44	3, 5	ringcl 18561	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` x ) e. ( Base ` R ) /\ ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
45	20, 22, 33, 44	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
46		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
47	6, 46	rabex2 4815	. . . . . . . . 9 |- D e. _V
48	47	mptrabex 6488	. . . . . . . 8 |- ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) e. _V
49		funmpt 5926	. . . . . . . 8 |- Fun ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) )
50		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) e. _V
51	48, 49, 50	3pm3.2i 1239	. . . . . . 7 |- ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) /\ ( 0g ` R ) e. _V )
52	51	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) /\ ( 0g ` R ) e. _V ) )
53		suppssdm 7308	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ dom ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) )
54		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) )
55	54	dmmptss 5631	. . . . . . . 8 |- dom ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) C_ { y e. D | y oR <_ k }
56	53, 55	sstri 3612	. . . . . . 7 |- ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { y e. D | y oR <_ k }
57	56	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { y e. D | y oR <_ k } )
58		suppssfifsupp 8290	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) /\ ( 0g ` R ) e. _V ) /\ ( { y e. D | y oR <_ k } e. Fin /\ ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { y e. D | y oR <_ k } ) ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
59	52, 43, 57, 58	syl12anc 1324	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
60	3, 39, 40, 5, 41, 43, 10, 45, 59	gsummulc2 18607	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( A ( .r ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) = ( A ( .r ` R ) ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
61	38, 60	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( ( A .x. X ) ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( A ( .r ` R ) ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
62	61	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ph -> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( ( A .x. X ) ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) = ( k e. D |-> ( A ( .r ` R ) ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) )
63		psrass.t	. . 3 |- .X. = ( .r ` S )
64	1, 2, 9, 4, 19, 7, 12	psrvscacl 19393	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. X ) e. B )
65	1, 4, 5, 63, 6, 64, 23	psrmulfval 19385	. 2 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) .X. Y ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( ( A .x. X ) ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
66	1, 4, 63, 19, 12, 23	psrmulcl 19388	. . . 4 |- ( ph -> ( X .X. Y ) e. B )
67	1, 2, 9, 4, 5, 6, 7, 66	psrvsca 19391	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( D X. { A } ) oF ( .r ` R ) ( X .X. Y ) ) )
68	47	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> D e. _V )
69		ovexd 6680	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) e. _V )
70		fconstmpt 5163	. . . . 5 |- ( D X. { A } ) = ( k e. D |-> A )
71	70	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( D X. { A } ) = ( k e. D |-> A ) )
72	1, 4, 5, 63, 6, 12, 23	psrmulfval 19385	. . . 4 |- ( ph -> ( X .X. Y ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
73	68, 8, 69, 71, 72	offval2 6914	. . 3 |- ( ph -> ( ( D X. { A } ) oF ( .r ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( k e. D |-> ( A ( .r ` R ) ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) )
74	67, 73	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( A .x. ( X .X. Y ) ) = ( k e. D |-> ( A ( .r ` R ) ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) )
75	62, 65, 74	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> ( ( A .x. X ) .X. Y ) = ( A .x. ( X .X. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   oRcofr 6896   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Ringcrg 18547   mPwSer cmps 19351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-psr 19356

This theorem is referenced by:  psrass23  19410  ply1ass23l  42170