Theorem psrdi 19406

Description: Distributive law for the ring of power series (left-distributivity). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrring.i	|- ( ph -> I e. V )
psrring.r	|- ( ph -> R e. Ring )
psrass.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrass.t	|- .X. = ( .r ` S )
psrass.b	|- B = ( Base ` S )
psrass.x	|- ( ph -> X e. B )
psrass.y	|- ( ph -> Y e. B )
psrass.z	|- ( ph -> Z e. B )
psrdi.a	|- .+ = ( +g ` S )

Assertion

Ref	Expression
psrdi	|- ( ph -> ( X .X. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .X. Y ) .+ ( X .X. Z ) ) )

Distinct variable groups:   f, I   R, f   f, X   f, Z   f, Y

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   .+ ( f)   S( f)   .X. ( f)   V( f)

Proof of Theorem psrdi

Dummy variables x k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = ( I mPwSer R )
2		psrass.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- B = ( Base ` S )
3		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		psrdi.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- .+ = ( +g ` S )
5		psrass.y	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. B )
6		psrass.z	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Z e. B )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	psradd 19382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) = ( Y oF ( +g ` R ) Z ) )
8	7	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) = ( ( Y oF ( +g ` R ) Z ) ` ( k oF - x ) ) )
9	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) = ( ( Y oF ( +g ` R ) Z ) ` ( k oF - x ) ) )
10		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . 12 |- { y e. D | y oR <_ k } C_ D
11		psrring.i	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> I e. V )
12	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> I e. V )
13		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> k e. D )
14		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. { y e. D | y oR <_ k } )
15		psrass.d	. . . . . . . . . . . . . 14 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
16		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { y e. D | y oR <_ k } = { y e. D | y oR <_ k }
17	15, 16	psrbagconcl 19373	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. V /\ k e. D /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. { y e. D | y oR <_ k } )
18	12, 13, 14, 17	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. { y e. D | y oR <_ k } )
19	10, 18	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( k oF - x ) e. D )
20		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
21	1, 20, 15, 2, 5	psrelbas 19379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Y : D --> ( Base ` R ) )
22	21	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Y : D --> ( Base ` R ) )
23	22	ffnd 6046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Y Fn D )
24	1, 20, 15, 2, 6	psrelbas 19379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Z : D --> ( Base ` R ) )
25	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Z : D --> ( Base ` R ) )
26	25	ffnd 6046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> Z Fn D )
27		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
28	15, 27	rabex2 4815	. . . . . . . . . . . . 13 |- D e. _V
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> D e. _V )
30		inidm 3822	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D i^i D ) = D
31		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ ( k oF - x ) e. D ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) = ( Y ` ( k oF - x ) ) )
32		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ ( k oF - x ) e. D ) -> ( Z ` ( k oF - x ) ) = ( Z ` ( k oF - x ) ) )
33	23, 26, 29, 29, 30, 31, 32	ofval 6906	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) /\ ( k oF - x ) e. D ) -> ( ( Y oF ( +g ` R ) Z ) ` ( k oF - x ) ) = ( ( Y ` ( k oF - x ) ) ( +g ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) )
34	19, 33	mpdan 702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( Y oF ( +g ` R ) Z ) ` ( k oF - x ) ) = ( ( Y ` ( k oF - x ) ) ( +g ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) )
35	9, 34	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) = ( ( Y ` ( k oF - x ) ) ( +g ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) )
36	35	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) ) = ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - x ) ) ( +g ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) )
37		psrring.r	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. Ring )
38	37	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> R e. Ring )
39		psrass.x	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. B )
40	1, 20, 15, 2, 39	psrelbas 19379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
41	40	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
42	10, 14	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> x e. D )
43	41, 42	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( X ` x ) e. ( Base ` R ) )
44	22, 19	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) )
45	25, 19	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( Z ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) )
46		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
47	20, 3, 46	ringdi 18566	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( X ` x ) e. ( Base ` R ) /\ ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) /\ ( Z ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - x ) ) ( +g ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ( +g ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) )
48	38, 43, 44, 45, 47	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - x ) ) ( +g ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ( +g ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) )
49	36, 48	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) ) = ( ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ( +g ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) )
50	49	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ( +g ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
51	15	psrbaglefi 19372	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ k e. D ) -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
52	11, 51	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> { y e. D | y oR <_ k } e. Fin )
53	20, 46	ringcl 18561	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` x ) e. ( Base ` R ) /\ ( Y ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
54	38, 43, 44, 53	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
55	20, 46	ringcl 18561	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` x ) e. ( Base ` R ) /\ ( Z ` ( k oF - x ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
56	38, 43, 45, 55	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. D ) /\ x e. { y e. D | y oR <_ k } ) -> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) e. ( Base ` R ) )
57		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) )
58		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) )
59	52, 54, 56, 57, 58	offval2 6914	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) oF ( +g ` R ) ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ( +g ` R ) ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
60	50, 59	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) oF ( +g ` R ) ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) )
61	60	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) oF ( +g ` R ) ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
62	37	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. Ring )
63		ringcmn 18581	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
64	62, 63	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> R e. CMnd )
65		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) )
66		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) = ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) )
67	20, 3, 64, 52, 54, 56, 65, 66	gsummptfidmadd2 18326	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) oF ( +g ` R ) ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
68	61, 67	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
69	68	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ph -> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) = ( k e. D |-> ( ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) )
70		psrass.t	. . 3 |- .X. = ( .r ` S )
71		ringgrp 18552	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
72	37, 71	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> R e. Grp )
73	1, 2, 4, 72, 5, 6	psraddcl 19383	. . 3 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) e. B )
74	1, 2, 46, 70, 15, 39, 73	psrmulfval 19385	. 2 |- ( ph -> ( X .X. ( Y .+ Z ) ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( ( Y .+ Z ) ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
75	1, 2, 70, 37, 39, 5	psrmulcl 19388	. . . 4 |- ( ph -> ( X .X. Y ) e. B )
76	1, 2, 70, 37, 39, 6	psrmulcl 19388	. . . 4 |- ( ph -> ( X .X. Z ) e. B )
77	1, 2, 3, 4, 75, 76	psradd 19382	. . 3 |- ( ph -> ( ( X .X. Y ) .+ ( X .X. Z ) ) = ( ( X .X. Y ) oF ( +g ` R ) ( X .X. Z ) ) )
78	28	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> D e. _V )
79		ovexd 6680	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) e. _V )
80		ovexd 6680	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. D ) -> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) e. _V )
81	1, 2, 46, 70, 15, 39, 5	psrmulfval 19385	. . . 4 |- ( ph -> ( X .X. Y ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
82	1, 2, 46, 70, 15, 39, 6	psrmulfval 19385	. . . 4 |- ( ph -> ( X .X. Z ) = ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
83	78, 79, 80, 81, 82	offval2 6914	. . 3 |- ( ph -> ( ( X .X. Y ) oF ( +g ` R ) ( X .X. Z ) ) = ( k e. D |-> ( ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) )
84	77, 83	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( ( X .X. Y ) .+ ( X .X. Z ) ) = ( k e. D |-> ( ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ( +g ` R ) ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( X ` x ) ( .r ` R ) ( Z ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) )
85	69, 74, 84	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> ( X .X. ( Y .+ Z ) ) = ( ( X .X. Y ) .+ ( X .X. Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   oRcofr 6896   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   gsum_g cgsu 16101   Grpcgrp 17422  CMndccmn 18193   Ringcrg 18547   mPwSer cmps 19351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-psr 19356

This theorem is referenced by:  psrring  19411