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Theorem psrass1 19405
Description: Associative identity for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s |- S = ( I mPwSer R )
psrring.i |- ( ph -> I e. V )
psrring.r |- ( ph -> R e. Ring )
psrass.d |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrass.t |- .X. = ( .r ` S )
psrass.b |- B = ( Base ` S )
psrass.x |- ( ph -> X e. B )
psrass.y |- ( ph -> Y e. B )
psrass.z |- ( ph -> Z e. B )
Assertion
Ref Expression
psrass1 |- ( ph -> ( ( X .X. Y ) .X. Z ) = ( X .X. ( Y .X. Z ) ) )
Distinct variable groups:   f, I   R, f   f, X   f, Z   f, Y
Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   S( f)   .X. ( f)   V( f)
Proof of Theorem psrass1
Dummy variables x k z g h j n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
2 eqid 2622 . . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3 psrass.d . . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
4 psrass.b . . . 4 |- B = ( Base ` S )
5 psrass.t . . . . 5 |- .X. = ( .r ` S )
6 psrring.r . . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
7 psrass.x . . . . . 6 |- ( ph -> X e. B )
8 psrass.y . . . . . 6 |- ( ph -> Y e. B )
91, 4, 5, 6, 7, 8psrmulcl 19388 . . . . 5 |- ( ph -> ( X .X. Y ) e. B )
10 psrass.z . . . . 5 |- ( ph -> Z e. B )
111, 4, 5, 6, 9, 10psrmulcl 19388 . . . 4 |- ( ph -> ( ( X .X. Y ) .X. Z ) e. B )
121, 2, 3, 4, 11psrelbas 19379 . . 3 |- ( ph -> ( ( X .X. Y ) .X. Z ) : D --> ( Base ` R ) )
1312ffnd 6046 . 2 |- ( ph -> ( ( X .X. Y ) .X. Z ) Fn D )
141, 4, 5, 6, 8, 10psrmulcl 19388 . . . . 5 |- ( ph -> ( Y .X. Z ) e. B )
151, 4, 5, 6, 7, 14psrmulcl 19388 . . . 4 |- ( ph -> ( X .X. ( Y .X. Z ) ) e. B )
161, 2, 3, 4, 15psrelbas 19379 . . 3 |- ( ph -> ( X .X. ( Y .X. Z ) ) : D --> ( Base ` R ) )
1716ffnd 6046 . 2 |- ( ph -> ( X .X. ( Y .X. Z ) ) Fn D )
18 eqid 2622 . . . . 5 |- { g e. D | g oR <_ x } = { g e. D | g oR <_ x }
19 psrring.i . . . . . 6 |- ( ph -> I e. V )
2019adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> I e. V )
21 simpr 477 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x e. D )
22 ringcmn 18581 . . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
236, 22syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> R e. CMnd )
2423adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> R e. CMnd )
256ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> R e. Ring )
2625adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> R e. Ring )
271, 2, 3, 4, 7psrelbas 19379 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
2827ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
29 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> j e. { g e. D | g oR <_ x } )
30 breq1 4656 . . . . . . . . . . . 12 |- ( g = j -> ( g oR <_ x <-> j oR <_ x ) )
3130elrab 3363 . . . . . . . . . . 11 |- ( j e. { g e. D | g oR <_ x } <-> ( j e. D /\ j oR <_ x ) )
3229, 31sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( j e. D /\ j oR <_ x ) )
3332simpld 475 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> j e. D )
3428, 33ffvelrnd 6360 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( X ` j ) e. ( Base ` R ) )
3534adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> ( X ` j ) e. ( Base ` R ) )
361, 2, 3, 4, 8psrelbas 19379 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y : D --> ( Base ` R ) )
3736ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> Y : D --> ( Base ` R ) )
38 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } )
39 breq1 4656 . . . . . . . . . . . 12 |- ( h = n -> ( h oR <_ ( x oF - j ) <-> n oR <_ ( x oF - j ) ) )
4039elrab 3363 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } <-> ( n e. D /\ n oR <_ ( x oF - j ) ) )
4138, 40sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> ( n e. D /\ n oR <_ ( x oF - j ) ) )
4241simpld 475 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> n e. D )
4337, 42ffvelrnd 6360 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> ( Y ` n ) e. ( Base ` R ) )
441, 2, 3, 4, 10psrelbas 19379 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z : D --> ( Base ` R ) )
4544ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> Z : D --> ( Base ` R ) )
4619ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> I e. V )
4746adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> I e. V )
48 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> x e. D )
493psrbagf 19365 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( I e. V /\ j e. D ) -> j : I --> NN0 )
5046, 33, 49syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> j : I --> NN0 )
5132simprd 479 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> j oR <_ x )
523psrbagcon 19371 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. V /\ ( x e. D /\ j : I --> NN0 /\ j oR <_ x ) ) -> ( ( x oF - j ) e. D /\ ( x oF - j ) oR <_ x ) )
5346, 48, 50, 51, 52syl13anc 1328 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( x oF - j ) e. D /\ ( x oF - j ) oR <_ x ) )
5453simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( x oF - j ) e. D )
5554adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> ( x oF - j ) e. D )
563psrbagf 19365 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ n e. D ) -> n : I --> NN0 )
5747, 42, 56syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> n : I --> NN0 )
5841simprd 479 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> n oR <_ ( x oF - j ) )
593psrbagcon 19371 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ ( ( x oF - j ) e. D /\ n : I --> NN0 /\ n oR <_ ( x oF - j ) ) ) -> ( ( ( x oF - j ) oF - n ) e. D /\ ( ( x oF - j ) oF - n ) oR <_ ( x oF - j ) ) )
6047, 55, 57, 58, 59syl13anc 1328 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> ( ( ( x oF - j ) oF - n ) e. D /\ ( ( x oF - j ) oF - n ) oR <_ ( x oF - j ) ) )
6160simpld 475 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> ( ( x oF - j ) oF - n ) e. D )
6245, 61ffvelrnd 6360 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) e. ( Base ` R ) )
63 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
642, 63ringcl 18561 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y ` n ) e. ( Base ` R ) /\ ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) e. ( Base ` R ) )
6526, 43, 62, 64syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) e. ( Base ` R ) )
662, 63ringcl 18561 . . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` j ) e. ( Base ` R ) /\ ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
6726, 35, 65, 66syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) -> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
6867anasss 679 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ ( j e. { g e. D | g oR <_ x } /\ n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) ) -> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) e. ( Base ` R ) )
69 fveq2 6191 . . . . . . 7 |- ( n = ( k oF - j ) -> ( Y ` n ) = ( Y ` ( k oF - j ) ) )
70 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( n = ( k oF - j ) -> ( ( x oF - j ) oF - n ) = ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) )
7170fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( n = ( k oF - j ) -> ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) = ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) )
7269, 71oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( n = ( k oF - j ) -> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) = ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) )
7372oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( n = ( k oF - j ) -> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) = ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) ) )
743, 18, 20, 21, 2, 24, 68, 73psrass1lem 19377 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( R gsumg ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( R gsumg ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( R gsumg ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) ) ) ) ) )
757ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> X e. B )
768ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> Y e. B )
77 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> k e. { g e. D | g oR <_ x } )
78 breq1 4656 . . . . . . . . . . . 12 |- ( g = k -> ( g oR <_ x <-> k oR <_ x ) )
7978elrab 3363 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. { g e. D | g oR <_ x } <-> ( k e. D /\ k oR <_ x ) )
8077, 79sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( k e. D /\ k oR <_ x ) )
8180simpld 475 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> k e. D )
821, 4, 63, 5, 3, 75, 76, 81psrmulval 19386 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( X .X. Y ) ` k ) = ( R gsumg ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) ) ) )
8382oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( ( X .X. Y ) ` k ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) = ( ( R gsumg ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) )
84 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
85 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
866ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> R e. Ring )
8719ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> I e. V )
883psrbaglefi 19372 . . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ k e. D ) -> { h e. D | h oR <_ k } e. Fin )
8987, 81, 88syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> { h e. D | h oR <_ k } e. Fin )
9044ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> Z : D --> ( Base ` R ) )
91 simplr 792 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> x e. D )
923psrbagf 19365 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ k e. D ) -> k : I --> NN0 )
9387, 81, 92syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> k : I --> NN0 )
9480simprd 479 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> k oR <_ x )
953psrbagcon 19371 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ ( x e. D /\ k : I --> NN0 /\ k oR <_ x ) ) -> ( ( x oF - k ) e. D /\ ( x oF - k ) oR <_ x ) )
9687, 91, 93, 94, 95syl13anc 1328 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( x oF - k ) e. D /\ ( x oF - k ) oR <_ x ) )
9796simpld 475 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( x oF - k ) e. D )
9890, 97ffvelrnd 6360 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( Z ` ( x oF - k ) ) e. ( Base ` R ) )
9986adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> R e. Ring )
10027ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
101 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> j e. { h e. D | h oR <_ k } )
102 breq1 4656 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = j -> ( h oR <_ k <-> j oR <_ k ) )
103102elrab 3363 . . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. { h e. D | h oR <_ k } <-> ( j e. D /\ j oR <_ k ) )
104101, 103sylib 208 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( j e. D /\ j oR <_ k ) )
105104simpld 475 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> j e. D )
106100, 105ffvelrnd 6360 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( X ` j ) e. ( Base ` R ) )
10736ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> Y : D --> ( Base ` R ) )
10887adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> I e. V )
10981adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> k e. D )
110108, 105, 49syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> j : I --> NN0 )
111104simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> j oR <_ k )
1123psrbagcon 19371 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ ( k e. D /\ j : I --> NN0 /\ j oR <_ k ) ) -> ( ( k oF - j ) e. D /\ ( k oF - j ) oR <_ k ) )
113108, 109, 110, 111, 112syl13anc 1328 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( ( k oF - j ) e. D /\ ( k oF - j ) oR <_ k ) )
114113simpld 475 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( k oF - j ) e. D )
115107, 114ffvelrnd 6360 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( Y ` ( k oF - j ) ) e. ( Base ` R ) )
1162, 63ringcl 18561 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` j ) e. ( Base ` R ) /\ ( Y ` ( k oF - j ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) e. ( Base ` R ) )
11799, 106, 115, 116syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) e. ( Base ` R ) )
118 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) ) = ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) )
119 fvex 6201 . . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` R ) e. _V
120119a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
121118, 89, 117, 120fsuppmptdm 8286 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
1222, 84, 85, 63, 86, 89, 98, 117, 121gsummulc1 18606 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( R gsumg ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) )
12398adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( Z ` ( x oF - k ) ) e. ( Base ` R ) )
1242, 63ringass 18564 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( X ` j ) e. ( Base ` R ) /\ ( Y ` ( k oF - j ) ) e. ( Base ` R ) /\ ( Z ` ( x oF - k ) ) e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) = ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) ) )
12599, 106, 115, 123, 124syl13anc 1328 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) = ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) ) )
1263psrbagf 19365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( I e. V /\ x e. D ) -> x : I --> NN0 )
12719, 126sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x : I --> NN0 )
128127ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> x : I --> NN0 )
129128ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( x ` z ) e. NN0 )
13093adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> k : I --> NN0 )
131130ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( k ` z ) e. NN0 )
132110ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( j ` z ) e. NN0 )
133 nn0cn 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x ` z ) e. NN0 -> ( x ` z ) e. CC )
134 nn0cn 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k ` z ) e. NN0 -> ( k ` z ) e. CC )
135 nn0cn 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j ` z ) e. NN0 -> ( j ` z ) e. CC )
136 nnncan2 10318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x ` z ) e. CC /\ ( k ` z ) e. CC /\ ( j ` z ) e. CC ) -> ( ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) - ( ( k ` z ) - ( j ` z ) ) ) = ( ( x ` z ) - ( k ` z ) ) )
137133, 134, 135, 136syl3an 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x ` z ) e. NN0 /\ ( k ` z ) e. NN0 /\ ( j ` z ) e. NN0 ) -> ( ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) - ( ( k ` z ) - ( j ` z ) ) ) = ( ( x ` z ) - ( k ` z ) ) )
138129, 131, 132, 137syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) - ( ( k ` z ) - ( j ` z ) ) ) = ( ( x ` z ) - ( k ` z ) ) )
139138mpteq2dva 4744 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( z e. I |-> ( ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) - ( ( k ` z ) - ( j ` z ) ) ) ) = ( z e. I |-> ( ( x ` z ) - ( k ` z ) ) ) )
140 ovexd 6680 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) e. _V )
141 ovexd 6680 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) /\ z e. I ) -> ( ( k ` z ) - ( j ` z ) ) e. _V )
142128feqmptd 6249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> x = ( z e. I |-> ( x ` z ) ) )
143110feqmptd 6249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> j = ( z e. I |-> ( j ` z ) ) )
144108, 129, 132, 142, 143offval2 6914 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( x oF - j ) = ( z e. I |-> ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) ) )
145130feqmptd 6249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> k = ( z e. I |-> ( k ` z ) ) )
146108, 131, 132, 145, 143offval2 6914 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( k oF - j ) = ( z e. I |-> ( ( k ` z ) - ( j ` z ) ) ) )
147108, 140, 141, 144, 146offval2 6914 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) = ( z e. I |-> ( ( ( x ` z ) - ( j ` z ) ) - ( ( k ` z ) - ( j ` z ) ) ) ) )
148108, 129, 131, 142, 145offval2 6914 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( x oF - k ) = ( z e. I |-> ( ( x ` z ) - ( k ` z ) ) ) )
149139, 147, 1483eqtr4d 2666 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) = ( x oF - k ) )
150149fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) = ( Z ` ( x oF - k ) ) )
151150oveq2d 6666 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) = ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) )
152151oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) ) = ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) ) )
153125, 152eqtr4d 2659 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) /\ j e. { h e. D | h oR <_ k } ) -> ( ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) = ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) ) )
154153mpteq2dva 4744 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) ) = ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) ) ) )
155154oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( R gsumg ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( Y ` ( k oF - j ) ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) ) ) ) )
15683, 122, 1553eqtr2d 2662 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ k e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( ( X .X. Y ) ` k ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) = ( R gsumg ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) ) ) ) )
157156mpteq2dva 4744 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( ( X .X. Y ) ` k ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) ) = ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( R gsumg ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) ) ) ) ) )
158157oveq2d 6666 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( R gsumg ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( ( X .X. Y ) ` k ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( R gsumg ( j e. { h e. D | h oR <_ k } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` ( k oF - j ) ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - ( k oF - j ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
1598ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> Y e. B )
16010ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> Z e. B )
1611, 4, 63, 5, 3, 159, 160, 54psrmulval 19386 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( Y .X. Z ) ` ( x oF - j ) ) = ( R gsumg ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) ) )
162161oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y .X. Z ) ` ( x oF - j ) ) ) = ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( R gsumg ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) ) ) )
1633psrbaglefi 19372 . . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ ( x oF - j ) e. D ) -> { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } e. Fin )
16446, 54, 163syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } e. Fin )
165 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
1663, 165rab2ex 4816 . . . . . . . . . . . 12 |- { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } e. _V
167166mptex 6486 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) e. _V
168 funmpt 5926 . . . . . . . . . . 11 |- Fun ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) )
169167, 168, 1193pm3.2i 1239 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) /\ ( 0g ` R ) e. _V )
170169a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) /\ ( 0g ` R ) e. _V ) )
171 suppssdm 7308 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ dom ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) )
172 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) = ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) )
173172dmmptss 5631 . . . . . . . . . . 11 |- dom ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) C_ { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) }
174171, 173sstri 3612 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) }
175174a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } )
176 suppssfifsupp 8290 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) /\ ( 0g ` R ) e. _V ) /\ ( { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } e. Fin /\ ( ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } ) ) -> ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
177170, 164, 175, 176syl12anc 1324 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
1782, 84, 85, 63, 25, 164, 34, 65, 177gsummulc2 18607 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( R gsumg ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) ) ) = ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( R gsumg ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) ) ) )
179162, 178eqtr4d 2659 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ j e. { g e. D | g oR <_ x } ) -> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y .X. Z ) ` ( x oF - j ) ) ) = ( R gsumg ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) ) ) )
180179mpteq2dva 4744 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y .X. Z ) ` ( x oF - j ) ) ) ) = ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( R gsumg ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) ) ) ) )
181180oveq2d 6666 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( R gsumg ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y .X. Z ) ` ( x oF - j ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( R gsumg ( n e. { h e. D | h oR <_ ( x oF - j ) } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y ` n ) ( .r ` R ) ( Z ` ( ( x oF - j ) oF - n ) ) ) ) ) ) ) ) )
18274, 158, 1813eqtr4d 2666 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( R gsumg ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( ( X .X. Y ) ` k ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y .X. Z ) ` ( x oF - j ) ) ) ) ) )
1839adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( X .X. Y ) e. B )
18410adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> Z e. B )
1851, 4, 63, 5, 3, 183, 184, 21psrmulval 19386 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( ( X .X. Y ) .X. Z ) ` x ) = ( R gsumg ( k e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( ( X .X. Y ) ` k ) ( .r ` R ) ( Z ` ( x oF - k ) ) ) ) ) )
1867adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> X e. B )
18714adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( Y .X. Z ) e. B )
1881, 4, 63, 5, 3, 186, 187, 21psrmulval 19386 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( X .X. ( Y .X. Z ) ) ` x ) = ( R gsumg ( j e. { g e. D | g oR <_ x } |-> ( ( X ` j ) ( .r ` R ) ( ( Y .X. Z ) ` ( x oF - j ) ) ) ) ) )
189182, 185, 1883eqtr4d 2666 . 2 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( ( X .X. Y ) .X. Z ) ` x ) = ( ( X .X. ( Y .X. Z ) ) ` x ) )
19013, 17, 189eqfnfvd 6314 1 |- ( ph -> ( ( X .X. Y ) .X. Z ) = ( X .X. ( Y .X. Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   oRcofr 6896   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   CCcc 9934   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsumg cgsu 16101  CMndccmn 18193   Ringcrg 18547   mPwSer cmps 19351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-psr 19356
This theorem is referenced by:  psrring  19411
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