Theorem evl1addd 19705

Description: Polynomial evaluation builder for addition of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1addd.q	|- O = (eval1 ` R )
evl1addd.p	|- P = (Poly1 ` R )
evl1addd.b	|- B = ( Base ` R )
evl1addd.u	|- U = ( Base ` P )
evl1addd.1	|- ( ph -> R e. CRing )
evl1addd.2	|- ( ph -> Y e. B )
evl1addd.3	|- ( ph -> ( M e. U /\ ( ( O ` M ) ` Y ) = V ) )
evl1addd.4	|- ( ph -> ( N e. U /\ ( ( O ` N ) ` Y ) = W ) )
evl1addd.g	|- .+b = ( +g ` P )
evl1addd.a	|- .+ = ( +g ` R )

Assertion

Ref	Expression
evl1addd	|- ( ph -> ( ( M .+b N ) e. U /\ ( ( O ` ( M .+b N ) ) ` Y ) = ( V .+ W ) ) )

Proof of Theorem evl1addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1addd.1	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. CRing )
2		evl1addd.q	. . . . . . 7 |- O = (eval1 ` R )
3		evl1addd.p	. . . . . . 7 |- P = (Poly1 ` R )
4		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( R ^s B ) = ( R ^s B )
5		evl1addd.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
6	2, 3, 4, 5	evl1rhm 19696	. . . . . 6 |- ( R e. CRing -> O e. ( P RingHom ( R ^s B ) ) )
7	1, 6	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> O e. ( P RingHom ( R ^s B ) ) )
8		rhmghm 18725	. . . . 5 |- ( O e. ( P RingHom ( R ^s B ) ) -> O e. ( P GrpHom ( R ^s B ) ) )
9	7, 8	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> O e. ( P GrpHom ( R ^s B ) ) )
10		ghmgrp1 17662	. . . 4 |- ( O e. ( P GrpHom ( R ^s B ) ) -> P e. Grp )
11	9, 10	syl 17	. . 3 |- ( ph -> P e. Grp )
12		evl1addd.3	. . . 4 |- ( ph -> ( M e. U /\ ( ( O ` M ) ` Y ) = V ) )
13	12	simpld 475	. . 3 |- ( ph -> M e. U )
14		evl1addd.4	. . . 4 |- ( ph -> ( N e. U /\ ( ( O ` N ) ` Y ) = W ) )
15	14	simpld 475	. . 3 |- ( ph -> N e. U )
16		evl1addd.u	. . . 4 |- U = ( Base ` P )
17		evl1addd.g	. . . 4 |- .+b = ( +g ` P )
18	16, 17	grpcl 17430	. . 3 |- ( ( P e. Grp /\ M e. U /\ N e. U ) -> ( M .+b N ) e. U )
19	11, 13, 15, 18	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( M .+b N ) e. U )
20		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( +g ` ( R ^s B ) ) = ( +g ` ( R ^s B ) )
21	16, 17, 20	ghmlin 17665	. . . . . 6 |- ( ( O e. ( P GrpHom ( R ^s B ) ) /\ M e. U /\ N e. U ) -> ( O ` ( M .+b N ) ) = ( ( O ` M ) ( +g ` ( R ^s B ) ) ( O ` N ) ) )
22	9, 13, 15, 21	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( O ` ( M .+b N ) ) = ( ( O ` M ) ( +g ` ( R ^s B ) ) ( O ` N ) ) )
23		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` ( R ^s B ) ) = ( Base ` ( R ^s B ) )
24		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) e. _V
25	5, 24	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- B e. _V
26	25	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. _V )
27	16, 23	rhmf 18726	. . . . . . . 8 |- ( O e. ( P RingHom ( R ^s B ) ) -> O : U --> ( Base ` ( R ^s B ) ) )
28	7, 27	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> O : U --> ( Base ` ( R ^s B ) ) )
29	28, 13	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ph -> ( O ` M ) e. ( Base ` ( R ^s B ) ) )
30	28, 15	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ph -> ( O ` N ) e. ( Base ` ( R ^s B ) ) )
31		evl1addd.a	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` R )
32	4, 23, 1, 26, 29, 30, 31, 20	pwsplusgval 16150	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( O ` M ) ( +g ` ( R ^s B ) ) ( O ` N ) ) = ( ( O ` M ) oF .+ ( O ` N ) ) )
33	22, 32	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( O ` ( M .+b N ) ) = ( ( O ` M ) oF .+ ( O ` N ) ) )
34	33	fveq1d 6193	. . 3 |- ( ph -> ( ( O ` ( M .+b N ) ) ` Y ) = ( ( ( O ` M ) oF .+ ( O ` N ) ) ` Y ) )
35	4, 5, 23, 1, 26, 29	pwselbas 16149	. . . . 5 |- ( ph -> ( O ` M ) : B --> B )
36		ffn 6045	. . . . 5 |- ( ( O ` M ) : B --> B -> ( O ` M ) Fn B )
37	35, 36	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( O ` M ) Fn B )
38	4, 5, 23, 1, 26, 30	pwselbas 16149	. . . . 5 |- ( ph -> ( O ` N ) : B --> B )
39		ffn 6045	. . . . 5 |- ( ( O ` N ) : B --> B -> ( O ` N ) Fn B )
40	38, 39	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( O ` N ) Fn B )
41		evl1addd.2	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
42		fnfvof 6911	. . . 4 |- ( ( ( ( O ` M ) Fn B /\ ( O ` N ) Fn B ) /\ ( B e. _V /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( O ` M ) oF .+ ( O ` N ) ) ` Y ) = ( ( ( O ` M ) ` Y ) .+ ( ( O ` N ) ` Y ) ) )
43	37, 40, 26, 41, 42	syl22anc 1327	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( O ` M ) oF .+ ( O ` N ) ) ` Y ) = ( ( ( O ` M ) ` Y ) .+ ( ( O ` N ) ` Y ) ) )
44	12	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> ( ( O ` M ) ` Y ) = V )
45	14	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> ( ( O ` N ) ` Y ) = W )
46	44, 45	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( O ` M ) ` Y ) .+ ( ( O ` N ) ` Y ) ) = ( V .+ W ) )
47	34, 43, 46	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> ( ( O ` ( M .+b N ) ) ` Y ) = ( V .+ W ) )
48	19, 47	jca 554	1 |- ( ph -> ( ( M .+b N ) e. U /\ ( ( O ` ( M .+b N ) ) ` Y ) = ( V .+ W ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   ^_s cpws 16107   Grpcgrp 17422   GrpHom cghm 17657   CRingccrg 18548   RingHom crh 18712  Poly₁cpl1 19547  eval₁ce1 19679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-assa 19312  df-asp 19313  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-evls 19506  df-evl 19507  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-evl1 19681

This theorem is referenced by:  evl1gsumdlem  19720