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Theorem pwsco2mhm 17371
Description: Left composition with a monoid homomorphism yields a monoid homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco2mhm.y |- Y = ( R ^s A )
pwsco2mhm.z |- Z = ( S ^s A )
pwsco2mhm.b |- B = ( Base ` Y )
pwsco2mhm.a |- ( ph -> A e. V )
pwsco2mhm.f |- ( ph -> F e. ( R MndHom S ) )
Assertion
Ref Expression
pwsco2mhm |- ( ph -> ( g e. B |-> ( F o. g ) ) e. ( Y MndHom Z ) )
Distinct variable groups:   B, g   g, F   g, Y   g, Z   ph, g
Allowed substitution hints:   A( g)   R( g)   S( g)   V( g)
Proof of Theorem pwsco2mhm
Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco2mhm.f . . . . 5 |- ( ph -> F e. ( R MndHom S ) )
2 mhmrcl1 17338 . . . . 5 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> R e. Mnd )
31, 2syl 17 . . . 4 |- ( ph -> R e. Mnd )
4 pwsco2mhm.a . . . 4 |- ( ph -> A e. V )
5 pwsco2mhm.y . . . . 5 |- Y = ( R ^s A )
65pwsmnd 17325 . . . 4 |- ( ( R e. Mnd /\ A e. V ) -> Y e. Mnd )
73, 4, 6syl2anc 693 . . 3 |- ( ph -> Y e. Mnd )
8 mhmrcl2 17339 . . . . 5 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> S e. Mnd )
91, 8syl 17 . . . 4 |- ( ph -> S e. Mnd )
10 pwsco2mhm.z . . . . 5 |- Z = ( S ^s A )
1110pwsmnd 17325 . . . 4 |- ( ( S e. Mnd /\ A e. V ) -> Z e. Mnd )
129, 4, 11syl2anc 693 . . 3 |- ( ph -> Z e. Mnd )
137, 12jca 554 . 2 |- ( ph -> ( Y e. Mnd /\ Z e. Mnd ) )
14 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
15 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
1614, 15mhmf 17340 . . . . . . . 8 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> F : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) )
171, 16syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) )
1817adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> F : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) )
19 pwsco2mhm.b . . . . . . 7 |- B = ( Base ` Y )
203adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> R e. Mnd )
214adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> A e. V )
22 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> g e. B )
235, 14, 19, 20, 21, 22pwselbas 16149 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> g : A --> ( Base ` R ) )
24 fco 6058 . . . . . 6 |- ( ( F : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) /\ g : A --> ( Base ` R ) ) -> ( F o. g ) : A --> ( Base ` S ) )
2518, 23, 24syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> ( F o. g ) : A --> ( Base ` S ) )
269adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> S e. Mnd )
27 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
2810, 15, 27pwselbasb 16148 . . . . . 6 |- ( ( S e. Mnd /\ A e. V ) -> ( ( F o. g ) e. ( Base ` Z ) <-> ( F o. g ) : A --> ( Base ` S ) ) )
2926, 21, 28syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> ( ( F o. g ) e. ( Base ` Z ) <-> ( F o. g ) : A --> ( Base ` S ) ) )
3025, 29mpbird 247 . . . 4 |- ( ( ph /\ g e. B ) -> ( F o. g ) e. ( Base ` Z ) )
31 eqid 2622 . . . 4 |- ( g e. B |-> ( F o. g ) ) = ( g e. B |-> ( F o. g ) )
3230, 31fmptd 6385 . . 3 |- ( ph -> ( g e. B |-> ( F o. g ) ) : B --> ( Base ` Z ) )
331adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> F e. ( R MndHom S ) )
3433adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ w e. A ) -> F e. ( R MndHom S ) )
3533, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> R e. Mnd )
364adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> A e. V )
37 simprl 794 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
385, 14, 19, 35, 36, 37pwselbas 16149 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x : A --> ( Base ` R ) )
3938ffvelrnda 6359 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ w e. A ) -> ( x ` w ) e. ( Base ` R ) )
40 simprr 796 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
415, 14, 19, 35, 36, 40pwselbas 16149 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y : A --> ( Base ` R ) )
4241ffvelrnda 6359 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ w e. A ) -> ( y ` w ) e. ( Base ` R ) )
43 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
44 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
4514, 43, 44mhmlin 17342 . . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ ( x ` w ) e. ( Base ` R ) /\ ( y ` w ) e. ( Base ` R ) ) -> ( F ` ( ( x ` w ) ( +g ` R ) ( y ` w ) ) ) = ( ( F ` ( x ` w ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( y ` w ) ) ) )
4634, 39, 42, 45syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ w e. A ) -> ( F ` ( ( x ` w ) ( +g ` R ) ( y ` w ) ) ) = ( ( F ` ( x ` w ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( y ` w ) ) ) )
4746mpteq2dva 4744 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( w e. A |-> ( F ` ( ( x ` w ) ( +g ` R ) ( y ` w ) ) ) ) = ( w e. A |-> ( ( F ` ( x ` w ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( y ` w ) ) ) ) )
48 fvexd 6203 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ w e. A ) -> ( F ` ( x ` w ) ) e. _V )
49 fvexd 6203 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ w e. A ) -> ( F ` ( y ` w ) ) e. _V )
5038feqmptd 6249 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x = ( w e. A |-> ( x ` w ) ) )
5133, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> F : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) )
5251feqmptd 6249 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> F = ( z e. ( Base ` R ) |-> ( F ` z ) ) )
53 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( z = ( x ` w ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( x ` w ) ) )
5439, 50, 52, 53fmptco 6396 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F o. x ) = ( w e. A |-> ( F ` ( x ` w ) ) ) )
5541feqmptd 6249 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y = ( w e. A |-> ( y ` w ) ) )
56 fveq2 6191 . . . . . . . . 9 |- ( z = ( y ` w ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( y ` w ) ) )
5742, 55, 52, 56fmptco 6396 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F o. y ) = ( w e. A |-> ( F ` ( y ` w ) ) ) )
5836, 48, 49, 54, 57offval2 6914 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( F o. x ) oF ( +g ` S ) ( F o. y ) ) = ( w e. A |-> ( ( F ` ( x ` w ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( y ` w ) ) ) ) )
5947, 58eqtr4d 2659 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( w e. A |-> ( F ` ( ( x ` w ) ( +g ` R ) ( y ` w ) ) ) ) = ( ( F o. x ) oF ( +g ` S ) ( F o. y ) ) )
6035adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ w e. A ) -> R e. Mnd )
6114, 43mndcl 17301 . . . . . . . 8 |- ( ( R e. Mnd /\ ( x ` w ) e. ( Base ` R ) /\ ( y ` w ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( x ` w ) ( +g ` R ) ( y ` w ) ) e. ( Base ` R ) )
6260, 39, 42, 61syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ w e. A ) -> ( ( x ` w ) ( +g ` R ) ( y ` w ) ) e. ( Base ` R ) )
63 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( +g ` Y ) = ( +g ` Y )
645, 19, 35, 36, 37, 40, 43, 63pwsplusgval 16150 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` Y ) y ) = ( x oF ( +g ` R ) y ) )
65 fvexd 6203 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ w e. A ) -> ( x ` w ) e. _V )
66 fvexd 6203 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) /\ w e. A ) -> ( y ` w ) e. _V )
6736, 65, 66, 50, 55offval2 6914 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x oF ( +g ` R ) y ) = ( w e. A |-> ( ( x ` w ) ( +g ` R ) ( y ` w ) ) ) )
6864, 67eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` Y ) y ) = ( w e. A |-> ( ( x ` w ) ( +g ` R ) ( y ` w ) ) ) )
69 fveq2 6191 . . . . . . 7 |- ( z = ( ( x ` w ) ( +g ` R ) ( y ` w ) ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( ( x ` w ) ( +g ` R ) ( y ` w ) ) ) )
7062, 68, 52, 69fmptco 6396 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F o. ( x ( +g ` Y ) y ) ) = ( w e. A |-> ( F ` ( ( x ` w ) ( +g ` R ) ( y ` w ) ) ) ) )
7133, 8syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> S e. Mnd )
72 fco 6058 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) /\ x : A --> ( Base ` R ) ) -> ( F o. x ) : A --> ( Base ` S ) )
7351, 38, 72syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F o. x ) : A --> ( Base ` S ) )
7410, 15, 27pwselbasb 16148 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Mnd /\ A e. V ) -> ( ( F o. x ) e. ( Base ` Z ) <-> ( F o. x ) : A --> ( Base ` S ) ) )
7571, 36, 74syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( F o. x ) e. ( Base ` Z ) <-> ( F o. x ) : A --> ( Base ` S ) ) )
7673, 75mpbird 247 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F o. x ) e. ( Base ` Z ) )
77 fco 6058 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) /\ y : A --> ( Base ` R ) ) -> ( F o. y ) : A --> ( Base ` S ) )
7851, 41, 77syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F o. y ) : A --> ( Base ` S ) )
7910, 15, 27pwselbasb 16148 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Mnd /\ A e. V ) -> ( ( F o. y ) e. ( Base ` Z ) <-> ( F o. y ) : A --> ( Base ` S ) ) )
8071, 36, 79syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( F o. y ) e. ( Base ` Z ) <-> ( F o. y ) : A --> ( Base ` S ) ) )
8178, 80mpbird 247 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F o. y ) e. ( Base ` Z ) )
82 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( +g ` Z ) = ( +g ` Z )
8310, 27, 71, 36, 76, 81, 44, 82pwsplusgval 16150 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( F o. x ) ( +g ` Z ) ( F o. y ) ) = ( ( F o. x ) oF ( +g ` S ) ( F o. y ) ) )
8459, 70, 833eqtr4d 2666 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F o. ( x ( +g ` Y ) y ) ) = ( ( F o. x ) ( +g ` Z ) ( F o. y ) ) )
8519, 63mndcl 17301 . . . . . . . 8 |- ( ( Y e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` Y ) y ) e. B )
86853expb 1266 . . . . . . 7 |- ( ( Y e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` Y ) y ) e. B )
877, 86sylan 488 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` Y ) y ) e. B )
88 coexg 7117 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ ( x ( +g ` Y ) y ) e. B ) -> ( F o. ( x ( +g ` Y ) y ) ) e. _V )
8933, 87, 88syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F o. ( x ( +g ` Y ) y ) ) e. _V )
90 coeq2 5280 . . . . . . 7 |- ( g = ( x ( +g ` Y ) y ) -> ( F o. g ) = ( F o. ( x ( +g ` Y ) y ) ) )
9190, 31fvmptg 6280 . . . . . 6 |- ( ( ( x ( +g ` Y ) y ) e. B /\ ( F o. ( x ( +g ` Y ) y ) ) e. _V ) -> ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` ( x ( +g ` Y ) y ) ) = ( F o. ( x ( +g ` Y ) y ) ) )
9287, 89, 91syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` ( x ( +g ` Y ) y ) ) = ( F o. ( x ( +g ` Y ) y ) ) )
93 coeq2 5280 . . . . . . . 8 |- ( g = x -> ( F o. g ) = ( F o. x ) )
9493, 31fvmptg 6280 . . . . . . 7 |- ( ( x e. B /\ ( F o. x ) e. ( Base ` Z ) ) -> ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` x ) = ( F o. x ) )
9537, 76, 94syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` x ) = ( F o. x ) )
96 coeq2 5280 . . . . . . . 8 |- ( g = y -> ( F o. g ) = ( F o. y ) )
9796, 31fvmptg 6280 . . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ ( F o. y ) e. ( Base ` Z ) ) -> ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` y ) = ( F o. y ) )
9840, 81, 97syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` y ) = ( F o. y ) )
9995, 98oveq12d 6668 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` x ) ( +g ` Z ) ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` y ) ) = ( ( F o. x ) ( +g ` Z ) ( F o. y ) ) )
10084, 92, 993eqtr4d 2666 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` ( x ( +g ` Y ) y ) ) = ( ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` x ) ( +g ` Z ) ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` y ) ) )
101100ralrimivva 2971 . . 3 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` ( x ( +g ` Y ) y ) ) = ( ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` x ) ( +g ` Z ) ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` y ) ) )
102 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
10319, 102mndidcl 17308 . . . . . 6 |- ( Y e. Mnd -> ( 0g ` Y ) e. B )
1047, 103syl 17 . . . . 5 |- ( ph -> ( 0g ` Y ) e. B )
105 coexg 7117 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ ( 0g ` Y ) e. B ) -> ( F o. ( 0g ` Y ) ) e. _V )
1061, 104, 105syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ph -> ( F o. ( 0g ` Y ) ) e. _V )
107 coeq2 5280 . . . . . 6 |- ( g = ( 0g ` Y ) -> ( F o. g ) = ( F o. ( 0g ` Y ) ) )
108107, 31fvmptg 6280 . . . . 5 |- ( ( ( 0g ` Y ) e. B /\ ( F o. ( 0g ` Y ) ) e. _V ) -> ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` ( 0g ` Y ) ) = ( F o. ( 0g ` Y ) ) )
109104, 106, 108syl2anc 693 . . . 4 |- ( ph -> ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` ( 0g ` Y ) ) = ( F o. ( 0g ` Y ) ) )
110 ffn 6045 . . . . . . 7 |- ( F : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) -> F Fn ( Base ` R ) )
11117, 110syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> F Fn ( Base ` R ) )
112 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
11314, 112mndidcl 17308 . . . . . . 7 |- ( R e. Mnd -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
1143, 113syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) )
115 fcoconst 6401 . . . . . 6 |- ( ( F Fn ( Base ` R ) /\ ( 0g ` R ) e. ( Base ` R ) ) -> ( F o. ( A X. { ( 0g ` R ) } ) ) = ( A X. { ( F ` ( 0g ` R ) ) } ) )
116111, 114, 115syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ph -> ( F o. ( A X. { ( 0g ` R ) } ) ) = ( A X. { ( F ` ( 0g ` R ) ) } ) )
1175, 112pws0g 17326 . . . . . . 7 |- ( ( R e. Mnd /\ A e. V ) -> ( A X. { ( 0g ` R ) } ) = ( 0g ` Y ) )
1183, 4, 117syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ph -> ( A X. { ( 0g ` R ) } ) = ( 0g ` Y ) )
119118coeq2d 5284 . . . . 5 |- ( ph -> ( F o. ( A X. { ( 0g ` R ) } ) ) = ( F o. ( 0g ` Y ) ) )
120 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
121112, 120mhm0 17343 . . . . . . . 8 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` S ) )
1221, 121syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` S ) )
123122sneqd 4189 . . . . . 6 |- ( ph -> { ( F ` ( 0g ` R ) ) } = { ( 0g ` S ) } )
124123xpeq2d 5139 . . . . 5 |- ( ph -> ( A X. { ( F ` ( 0g ` R ) ) } ) = ( A X. { ( 0g ` S ) } ) )
125116, 119, 1243eqtr3d 2664 . . . 4 |- ( ph -> ( F o. ( 0g ` Y ) ) = ( A X. { ( 0g ` S ) } ) )
12610, 120pws0g 17326 . . . . 5 |- ( ( S e. Mnd /\ A e. V ) -> ( A X. { ( 0g ` S ) } ) = ( 0g ` Z ) )
1279, 4, 126syl2anc 693 . . . 4 |- ( ph -> ( A X. { ( 0g ` S ) } ) = ( 0g ` Z ) )
128109, 125, 1273eqtrd 2660 . . 3 |- ( ph -> ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` ( 0g ` Y ) ) = ( 0g ` Z ) )
12932, 101, 1283jca 1242 . 2 |- ( ph -> ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) : B --> ( Base ` Z ) /\ A. x e. B A. y e. B ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` ( x ( +g ` Y ) y ) ) = ( ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` x ) ( +g ` Z ) ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` y ) ) /\ ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` ( 0g ` Y ) ) = ( 0g ` Z ) ) )
130 eqid 2622 . . 3 |- ( 0g ` Z ) = ( 0g ` Z )
13119, 27, 63, 82, 102, 130ismhm 17337 . 2 |- ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) e. ( Y MndHom Z ) <-> ( ( Y e. Mnd /\ Z e. Mnd ) /\ ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) : B --> ( Base ` Z ) /\ A. x e. B A. y e. B ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` ( x ( +g ` Y ) y ) ) = ( ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` x ) ( +g ` Z ) ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` y ) ) /\ ( ( g e. B |-> ( F o. g ) ) ` ( 0g ` Y ) ) = ( 0g ` Z ) ) ) )
13213, 129, 131sylanbrc 698 1 |- ( ph -> ( g e. B |-> ( F o. g ) ) e. ( Y MndHom Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   ^s cpws 16107   Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335
This theorem is referenced by:  pwsco2rhm  18739
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