Theorem mpfaddcl 19534

Description: The sum of multivariate polynomial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpfsubrg.q	|- Q = ran ( ( I evalSub S ) ` R )
mpfaddcl.p	|- .+ = ( +g ` S )

Assertion

Ref	Expression
mpfaddcl	|- ( ( F e. Q /\ G e. Q ) -> ( F oF .+ G ) e. Q )

Proof of Theorem mpfaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) = ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) = ( Base ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) )
3		mpfsubrg.q	. . . . . 6 |- Q = ran ( ( I evalSub S ) ` R )
4	3	mpfrcl 19518	. . . . 5 |- ( F e. Q -> ( I e. _V /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) )
5	4	adantr 481	. . . 4 |- ( ( F e. Q /\ G e. Q ) -> ( I e. _V /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) )
6	5	simp2d 1074	. . 3 |- ( ( F e. Q /\ G e. Q ) -> S e. CRing )
7		ovexd 6680	. . 3 |- ( ( F e. Q /\ G e. Q ) -> ( ( Base ` S ) ^m I ) e. _V )
8	3	mpfsubrg 19532	. . . . . 6 |- ( ( I e. _V /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) -> Q e. (SubRing ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) )
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ( F e. Q /\ G e. Q ) -> Q e. (SubRing ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) )
10	2	subrgss 18781	. . . . 5 |- ( Q e. (SubRing ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) -> Q C_ ( Base ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) )
11	9, 10	syl 17	. . . 4 |- ( ( F e. Q /\ G e. Q ) -> Q C_ ( Base ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) )
12		simpl 473	. . . 4 |- ( ( F e. Q /\ G e. Q ) -> F e. Q )
13	11, 12	sseldd 3604	. . 3 |- ( ( F e. Q /\ G e. Q ) -> F e. ( Base ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) )
14		simpr 477	. . . 4 |- ( ( F e. Q /\ G e. Q ) -> G e. Q )
15	11, 14	sseldd 3604	. . 3 |- ( ( F e. Q /\ G e. Q ) -> G e. ( Base ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) )
16		mpfaddcl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` S )
17		eqid 2622	. . 3 |- ( +g ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) = ( +g ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) )
18	1, 2, 6, 7, 13, 15, 16, 17	pwsplusgval 16150	. 2 |- ( ( F e. Q /\ G e. Q ) -> ( F ( +g ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) G ) = ( F oF .+ G ) )
19	17	subrgacl 18791	. . . 4 |- ( ( Q e. (SubRing ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) /\ F e. Q /\ G e. Q ) -> ( F ( +g ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) G ) e. Q )
20	19	3expib 1268	. . 3 |- ( Q e. (SubRing ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) -> ( ( F e. Q /\ G e. Q ) -> ( F ( +g ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) G ) e. Q ) )
21	9, 20	mpcom 38	. 2 |- ( ( F e. Q /\ G e. Q ) -> ( F ( +g ` ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) G ) e. Q )
22	18, 21	eqeltrrd 2702	1 |- ( ( F e. Q /\ G e. Q ) -> ( F oF .+ G ) e. Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   ^_s cpws 16107   CRingccrg 18548  SubRingcsubrg 18776   evalSub ces 19504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-assa 19312  df-asp 19313  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-evls 19506

This theorem is referenced by:  mzpmfp  37310