pythagtriplem12 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > pythagtriplem12		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem pythagtriplem12 15531

Description: Lemma for pythagtrip 15539. Calculate the square of

. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
pythagtriplem11.1

**Assertion**
Ref	Expression
pythagtriplem12	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem pythagtriplem12**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pythagtriplem11.1	. . 3
2	1	oveq1i 6660	. 2
3		nncn 11028	. . . . . . . . 9
4		nncn 11028	. . . . . . . . 9
5		addcl 10018	. . . . . . . . 9 $/\$
6	3, 4, 5	syl2anr 495	. . . . . . . 8 $/\$
7	6	3adant1 1079	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
8	7	sqrtcld 14176	. . . . . 6 $/\$ $/\$
9		subcl 10280	. . . . . . . . 9 $/\$
10	3, 4, 9	syl2anr 495	. . . . . . . 8 $/\$
11	10	3adant1 1079	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
12	11	sqrtcld 14176	. . . . . 6 $/\$ $/\$
13	8, 12	addcld 10059	. . . . 5 $/\$ $/\$
14	13	3ad2ant1 1082	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15		2cn 11091	. . . . . 6
16		2ne0 11113	. . . . . 6
17		sqdiv 12928	. . . . . 6 $/\$ $/\$
18	15, 16, 17	mp3an23 1416	. . . . 5
19	15	sqvali 12943	. . . . . 6
20	19	oveq2i 6661	. . . . 5
21	18, 20	syl6eq 2672	. . . 4
22	14, 21	syl 17	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23	8	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	12	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25		binom2 12979	. . . . . . 7 $/\$
26	23, 24, 25	syl2anc 693	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		nnre 11027	. . . . . . . . . . . 12
28		nnre 11027	. . . . . . . . . . . 12
29		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
30	27, 28, 29	syl2anr 495	. . . . . . . . . . 11 $/\$
31	30	3adant1 1079	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
32	31	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	27	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
34	28	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
35		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . 13
36	35	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
37		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . 13
38	37	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
39	33, 34, 36, 38	addgt0d 10602	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
40	39	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		0re 10040	. . . . . . . . . . 11
42		ltle 10126	. . . . . . . . . . 11 $/\$
43	41, 42	mpan 706	. . . . . . . . . 10
44	32, 40, 43	sylc 65	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45		resqrtth 13996	. . . . . . . . 9 $/\$
46	32, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	46	oveq1d 6665	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48		resubcl 10345	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	27, 28, 48	syl2anr 495	. . . . . . . . . 10 $/\$
50	49	3adant1 1079	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
51	50	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		pythagtriplem10 15525	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
53	52	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54		ltle 10126	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	41, 54	mpan 706	. . . . . . . . 9
56	51, 53, 55	sylc 65	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		resqrtth 13996	. . . . . . . 8 $/\$
58	51, 56, 57	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	47, 58	oveq12d 6668	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	7	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	8, 12	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
62		mulcl 10020	. . . . . . . . . 10 $/\$
63	15, 61, 62	sylancr 695	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
64	63	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	11	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	60, 64, 65	add32d 10263	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	3	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
68	67	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69		nncn 11028	. . . . . . . . . . 11
70	69	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
71	70	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		adddi 10025	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
73	15, 72	mp3an1 1411	. . . . . . . . 9 $/\$
74	68, 71, 73	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	4	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
76	75	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	68, 76, 68	ppncand 10432	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	68	2timesd 11275	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79	77, 78	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
80		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14
81	80	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	71	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	76	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	82, 83	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85		subsq 12972	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
86	68, 76, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	81, 84, 86	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	87	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	32, 44, 51, 56	sqrtmuld 14163	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14
91	90	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
92	91	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	93	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . 14
95	94	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
96	95	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	92, 96	sqrtsqd 14158	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	88, 89, 97	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	98	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	79, 99	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	74, 100	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	66, 101	eqtr4d 2659	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	26, 59, 102	3eqtrd 2660	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	oveq1d 6665	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105		addcl 10018	. . . . . . . . 9 $/\$
106	3, 69, 105	syl2anr 495	. . . . . . . 8 $/\$
107	106	3adant2 1080	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
108	107	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109		mulcl 10020	. . . . . 6 $/\$
110	15, 108, 109	sylancr 695	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		2cnne0 11242	. . . . . 6 $/\$
112		divdiv1 10736	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	111, 111, 112	mp3an23 1416	. . . . 5
114	110, 113	syl 17	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	104, 114	eqtr4d 2659	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116		divcan3 10711	. . . . . 6 $/\$ $/\$
117	15, 16, 116	mp3an23 1416	. . . . 5
118	108, 117	syl 17	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	118	oveq1d 6665	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	22, 115, 119	3eqtrd 2660	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	2, 120	syl5eq 2668	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cexp 12860

csqrt 13973

cdvds 14983

cgcd 15216

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976

This theorem is referenced by: pythagtriplem15 15534 pythagtriplem17 15536

W3C validator