Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qinioo Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem qinioo 39762
Description: The rational numbers are dense in RR. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qinioo.a |- ( ph -> A e. RR* )
qinioo.b |- ( ph -> B e. RR* )
Assertion
Ref Expression
qinioo |- ( ph -> ( ( QQ i^i ( A (,) B ) ) = (/) <-> B <_ A ) )
Proof of Theorem qinioo
Dummy variable q is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 792 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( QQ i^i ( A (,) B ) ) = (/) ) /\ -. B <_ A ) -> ( QQ i^i ( A (,) B ) ) = (/) )
2 qinioo.a . . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
3 qinioo.b . . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
42, 3xrltnled 39579 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )
54biimpar 502 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. B <_ A ) -> A < B )
62adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A < B ) -> A e. RR* )
73adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A < B ) -> B e. RR* )
8 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A < B ) -> A < B )
9 qbtwnxr 12031 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A < B ) -> E. q e. QQ ( A < q /\ q < B ) )
106, 7, 8, 9syl3anc 1326 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A < B ) -> E. q e. QQ ( A < q /\ q < B ) )
112ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ q e. QQ ) /\ ( A < q /\ q < B ) ) -> A e. RR* )
123ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ q e. QQ ) /\ ( A < q /\ q < B ) ) -> B e. RR* )
13 qre 11793 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. QQ -> q e. RR )
1413ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ q e. QQ ) /\ ( A < q /\ q < B ) ) -> q e. RR )
15 simprl 794 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ q e. QQ ) /\ ( A < q /\ q < B ) ) -> A < q )
16 simprr 796 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ q e. QQ ) /\ ( A < q /\ q < B ) ) -> q < B )
1711, 12, 14, 15, 16eliood 39720 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ q e. QQ ) /\ ( A < q /\ q < B ) ) -> q e. ( A (,) B ) )
1817ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. QQ ) -> ( ( A < q /\ q < B ) -> q e. ( A (,) B ) ) )
1918adantlr 751 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A < B ) /\ q e. QQ ) -> ( ( A < q /\ q < B ) -> q e. ( A (,) B ) ) )
2019reximdva 3017 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A < B ) -> ( E. q e. QQ ( A < q /\ q < B ) -> E. q e. QQ q e. ( A (,) B ) ) )
2110, 20mpd 15 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A < B ) -> E. q e. QQ q e. ( A (,) B ) )
22 inn0 39244 . . . . . . 7 |- ( ( QQ i^i ( A (,) B ) ) =/= (/) <-> E. q e. QQ q e. ( A (,) B ) )
2321, 22sylibr 224 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A < B ) -> ( QQ i^i ( A (,) B ) ) =/= (/) )
245, 23syldan 487 . . . . 5 |- ( ( ph /\ -. B <_ A ) -> ( QQ i^i ( A (,) B ) ) =/= (/) )
2524neneqd 2799 . . . 4 |- ( ( ph /\ -. B <_ A ) -> -. ( QQ i^i ( A (,) B ) ) = (/) )
2625adantlr 751 . . 3 |- ( ( ( ph /\ ( QQ i^i ( A (,) B ) ) = (/) ) /\ -. B <_ A ) -> -. ( QQ i^i ( A (,) B ) ) = (/) )
271, 26condan 835 . 2 |- ( ( ph /\ ( QQ i^i ( A (,) B ) ) = (/) ) -> B <_ A )
28 ioo0 12200 . . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A (,) B ) = (/) <-> B <_ A ) )
292, 3, 28syl2anc 693 . . . 4 |- ( ph -> ( ( A (,) B ) = (/) <-> B <_ A ) )
3029biimpar 502 . . 3 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ( A (,) B ) = (/) )
31 ineq2 3808 . . . 4 |- ( ( A (,) B ) = (/) -> ( QQ i^i ( A (,) B ) ) = ( QQ i^i (/) ) )
32 in0 3968 . . . 4 |- ( QQ i^i (/) ) = (/)
3331, 32syl6eq 2672 . . 3 |- ( ( A (,) B ) = (/) -> ( QQ i^i ( A (,) B ) ) = (/) )
3430, 33syl 17 . 2 |- ( ( ph /\ B <_ A ) -> ( QQ i^i ( A (,) B ) ) = (/) )
3527, 34impbida 877 1 |- ( ph -> ( ( QQ i^i ( A (,) B ) ) = (/) <-> B <_ A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   i^i cin 3573   (/)c0 3915   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   QQcq 11788   (,)cioo 12175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-ioo 12179
This theorem is referenced by:  hoiqssbllem3  40838
  Copyright terms: Public domain W3C validator