Theorem reprsum 30691

Description: Sums of values of the members of the representation of M equal M. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	|- ( ph -> A C_ NN )
reprval.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
reprval.s	|- ( ph -> S e. NN0 )
reprf.c	|- ( ph -> C e. ( A (repr ` S ) M ) )

Assertion

Ref	Expression
reprsum	|- ( ph -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( C ` a ) = M )

Distinct variable groups:   S, a   C, a

Allowed substitution hints:   ph( a)   A( a)   M( a)

Proof of Theorem reprsum

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprf.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. ( A (repr ` S ) M ) )
2		reprval.a	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ NN )
3		reprval.m	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		reprval.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. NN0 )
5	2, 3, 4	reprval 30688	. . . 4 |- ( ph -> ( A (repr ` S ) M ) = { c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M } )
6	1, 5	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ph -> C e. { c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M } )
7		fveq1 6190	. . . . . 6 |- ( c = C -> ( c ` a ) = ( C ` a ) )
8	7	sumeq2sdv 14435	. . . . 5 |- ( c = C -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = sum_ a e. ( 0..^ S ) ( C ` a ) )
9	8	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( c = C -> ( sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M <-> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( C ` a ) = M ) )
10	9	elrab 3363	. . 3 |- ( C e. { c e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = M } <-> ( C e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( C ` a ) = M ) )
11	6, 10	sylib 208	. 2 |- ( ph -> ( C e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( C ` a ) = M ) )
12	11	simprd 479	1 |- ( ph -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( C ` a ) = M )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   0cc0 9936   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   sum_csu 14416  reprcrepr 30686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-sum 14417  df-repr 30687

This theorem is referenced by:  reprle  30692  reprsuc  30693  reprpmtf1o  30704  hgt750lemb  30734  tgoldbachgt  30741