Theorem tgoldbachgt 30741

Description: Odd integers greater than (; 1 0 ^; 2 7 ) have at least a representation as a sum of three odd primes. Final statement in section 7.4 of [Helfgott] p. 70 , expressed using the set G of odd numbers which can be written as a sum of three odd primes. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgoldbachgt.o	|- O = { z e. ZZ | -. 2 || z }
tgoldbachgt.g	|- G = { z e. O | E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime ( ( p e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ z = ( ( p + q ) + r ) ) }

Assertion

Ref	Expression
tgoldbachgt	|- E. m e. NN ( m <_ (; 1 0 ^; 2 7 ) /\ A. n e. O ( m < n -> n e. G ) )

Distinct variable groups:   m, G   m, O, p, q, r, z   m, n, p, q, r, z

Allowed substitution hints:   G( z, n, r, q, p)   O( n)

Proof of Theorem tgoldbachgt

Dummy variables c i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn 11514	. . 3 |- ; 1 0 e. NN
2		2nn0 11309	. . . 4 |- 2 e. NN0
3		7nn0 11314	. . . 4 |- 7 e. NN0
4	2, 3	deccl 11512	. . 3 |- ; 2 7 e. NN0
5		nnexpcl 12873	. . 3 |- ( (; 1 0 e. NN /\ ; 2 7 e. NN0 ) -> (; 1 0 ^; 2 7 ) e. NN )
6	1, 4, 5	mp2an 708	. 2 |- (; 1 0 ^; 2 7 ) e. NN
7	6	nnrei 11029	. . . 4 |- (; 1 0 ^; 2 7 ) e. RR
8	7	leidi 10562	. . 3 |- (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ (; 1 0 ^; 2 7 )
9		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) -> n e. O )
10		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( O i^i Prime ) C_ Prime
11		prmssnn 15390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Prime C_ NN
12	10, 11	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( O i^i Prime ) C_ NN
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> ( O i^i Prime ) C_ NN )
14		tgoldbachgt.o	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- O = { z e. ZZ | -. 2 || z }
15	14	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. O <-> n e. { z e. ZZ | -. 2 || z } )
16		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. { z e. ZZ | -. 2 || z } -> n e. ZZ )
17	15, 16	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. O -> n e. ZZ )
18	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> n e. ZZ )
19		3nn0 11310	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. NN0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> 3 e. NN0 )
21		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) )
22	13, 18, 20, 21	reprf 30690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> c : ( 0..^ 3 ) --> ( O i^i Prime ) )
23		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. _V
24	23	tpid1 4303	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. { 0 , 1 , 2 }
25		fzo0to3tp 12554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0..^ 3 ) = { 0 , 1 , 2 }
26	24, 25	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ( 0..^ 3 )
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> 0 e. ( 0..^ 3 ) )
28	22, 27	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> ( c ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) )
29	28	elin2d 3803	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> ( c ` 0 ) e. Prime )
30		1ex 10035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. _V
31	30	tpid2 4304	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. { 0 , 1 , 2 }
32	31, 25	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ( 0..^ 3 )
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> 1 e. ( 0..^ 3 ) )
34	22, 33	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> ( c ` 1 ) e. ( O i^i Prime ) )
35	34	elin2d 3803	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> ( c ` 1 ) e. Prime )
36		2ex 11092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. _V
37	36	tpid3 4307	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. { 0 , 1 , 2 }
38	37, 25	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ( 0..^ 3 )
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> 2 e. ( 0..^ 3 ) )
40	22, 39	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> ( c ` 2 ) e. ( O i^i Prime ) )
41	40	elin2d 3803	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> ( c ` 2 ) e. Prime )
42	28	elin1d 3802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> ( c ` 0 ) e. O )
43	34	elin1d 3802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> ( c ` 1 ) e. O )
44	40	elin1d 3802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> ( c ` 2 ) e. O )
45	42, 43, 44	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> ( ( c ` 0 ) e. O /\ ( c ` 1 ) e. O /\ ( c ` 2 ) e. O ) )
46	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> ( 0..^ 3 ) = { 0 , 1 , 2 } )
47	46	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> sum_ i e. ( 0..^ 3 ) ( c ` i ) = sum_ i e. { 0 , 1 , 2 } ( c ` i ) )
48	13, 18, 20, 21	reprsum 30691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> sum_ i e. ( 0..^ 3 ) ( c ` i ) = n )
49		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 0 -> ( c ` i ) = ( c ` 0 ) )
50		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 1 -> ( c ` i ) = ( c ` 1 ) )
51		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 2 -> ( c ` i ) = ( c ` 2 ) )
52	12, 28	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> ( c ` 0 ) e. NN )
53	52	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> ( c ` 0 ) e. CC )
54	12, 34	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> ( c ` 1 ) e. NN )
55	54	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> ( c ` 1 ) e. CC )
56	12, 40	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> ( c ` 2 ) e. NN )
57	56	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> ( c ` 2 ) e. CC )
58	53, 55, 57	3jca 1242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> ( ( c ` 0 ) e. CC /\ ( c ` 1 ) e. CC /\ ( c ` 2 ) e. CC ) )
59	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> 0 e. _V )
60	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> 1 e. _V )
61	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> 2 e. _V )
62	59, 60, 61	3jca 1242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> ( 0 e. _V /\ 1 e. _V /\ 2 e. _V ) )
63		0ne1 11088	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 =/= 1
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> 0 =/= 1 )
65		0ne2 11239	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 =/= 2
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> 0 =/= 2 )
67		1ne2 11240	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 =/= 2
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> 1 =/= 2 )
69	49, 50, 51, 58, 62, 64, 66, 68	sumtp 14478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> sum_ i e. { 0 , 1 , 2 } ( c ` i ) = ( ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) + ( c ` 2 ) ) )
70	47, 48, 69	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> n = ( ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) + ( c ` 2 ) ) )
71	45, 70	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> ( ( ( c ` 0 ) e. O /\ ( c ` 1 ) e. O /\ ( c ` 2 ) e. O ) /\ n = ( ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) + ( c ` 2 ) ) ) )
72		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = ( c ` 0 ) -> ( p e. O <-> ( c ` 0 ) e. O ) )
73	72	3anbi1d 1403	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = ( c ` 0 ) -> ( ( p e. O /\ q e. O /\ r e. O ) <-> ( ( c ` 0 ) e. O /\ q e. O /\ r e. O ) ) )
74		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p = ( c ` 0 ) -> ( p + q ) = ( ( c ` 0 ) + q ) )
75	74	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = ( c ` 0 ) -> ( ( p + q ) + r ) = ( ( ( c ` 0 ) + q ) + r ) )
76	75	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = ( c ` 0 ) -> ( n = ( ( p + q ) + r ) <-> n = ( ( ( c ` 0 ) + q ) + r ) ) )
77	73, 76	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( p = ( c ` 0 ) -> ( ( ( p e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ n = ( ( p + q ) + r ) ) <-> ( ( ( c ` 0 ) e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ n = ( ( ( c ` 0 ) + q ) + r ) ) ) )
78		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q = ( c ` 1 ) -> ( q e. O <-> ( c ` 1 ) e. O ) )
79	78	3anbi2d 1404	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = ( c ` 1 ) -> ( ( ( c ` 0 ) e. O /\ q e. O /\ r e. O ) <-> ( ( c ` 0 ) e. O /\ ( c ` 1 ) e. O /\ r e. O ) ) )
80		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = ( c ` 1 ) -> ( ( c ` 0 ) + q ) = ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) )
81	80	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q = ( c ` 1 ) -> ( ( ( c ` 0 ) + q ) + r ) = ( ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) + r ) )
82	81	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( q = ( c ` 1 ) -> ( n = ( ( ( c ` 0 ) + q ) + r ) <-> n = ( ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) + r ) ) )
83	79, 82	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( q = ( c ` 1 ) -> ( ( ( ( c ` 0 ) e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ n = ( ( ( c ` 0 ) + q ) + r ) ) <-> ( ( ( c ` 0 ) e. O /\ ( c ` 1 ) e. O /\ r e. O ) /\ n = ( ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) + r ) ) ) )
84		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( c ` 2 ) -> ( r e. O <-> ( c ` 2 ) e. O ) )
85	84	3anbi3d 1405	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( c ` 2 ) -> ( ( ( c ` 0 ) e. O /\ ( c ` 1 ) e. O /\ r e. O ) <-> ( ( c ` 0 ) e. O /\ ( c ` 1 ) e. O /\ ( c ` 2 ) e. O ) ) )
86		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( c ` 2 ) -> ( ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) + r ) = ( ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) + ( c ` 2 ) ) )
87	86	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( c ` 2 ) -> ( n = ( ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) + r ) <-> n = ( ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) + ( c ` 2 ) ) ) )
88	85, 87	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( c ` 2 ) -> ( ( ( ( c ` 0 ) e. O /\ ( c ` 1 ) e. O /\ r e. O ) /\ n = ( ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) + r ) ) <-> ( ( ( c ` 0 ) e. O /\ ( c ` 1 ) e. O /\ ( c ` 2 ) e. O ) /\ n = ( ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) + ( c ` 2 ) ) ) ) )
89	77, 83, 88	rspc3ev 3326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( c ` 0 ) e. Prime /\ ( c ` 1 ) e. Prime /\ ( c ` 2 ) e. Prime ) /\ ( ( ( c ` 0 ) e. O /\ ( c ` 1 ) e. O /\ ( c ` 2 ) e. O ) /\ n = ( ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) + ( c ` 2 ) ) ) ) -> E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime ( ( p e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ n = ( ( p + q ) + r ) ) )
90	29, 35, 41, 71, 89	syl31anc 1329	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) -> E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime ( ( p e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ n = ( ( p + q ) + r ) ) )
91	90	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) /\ T. ) -> E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime ( ( p e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ n = ( ( p + q ) + r ) ) )
92	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) -> (; 1 0 ^; 2 7 ) e. NN )
93	92	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) -> (; 1 0 ^; 2 7 ) e. RR )
94	17	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. O -> n e. RR )
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) -> n e. RR )
96		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) -> (; 1 0 ^; 2 7 ) < n )
97	93, 95, 96	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) -> (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ n )
98	14, 9, 97	tgoldbachgtd 30740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) -> 0 < ( # ` ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) )
99		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) e. _V
100		hashneq0 13155	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) e. _V -> ( 0 < ( # ` ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) <-> ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) =/= (/) ) )
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 < ( # ` ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) <-> ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) =/= (/) )
102	98, 101	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) -> ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) =/= (/) )
103	102	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) -> -. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) = (/) )
104		neq0 3930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) = (/) <-> E. c c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) )
105	103, 104	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) -> E. c c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) )
106		tru 1487	. . . . . . . . . . 11 |- T.
107	105, 106	jctil 560	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) -> ( T. /\ E. c c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) )
108		19.42v 1918	. . . . . . . . . 10 |- ( E. c ( T. /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) <-> ( T. /\ E. c c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) )
109	107, 108	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) -> E. c ( T. /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) )
110		exancom 1787	. . . . . . . . 9 |- ( E. c ( T. /\ c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) ) <-> E. c ( c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) /\ T. ) )
111	109, 110	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) -> E. c ( c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) /\ T. ) )
112		df-rex 2918	. . . . . . . 8 |- ( E. c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) T. <-> E. c ( c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) /\ T. ) )
113	111, 112	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) -> E. c e. ( ( O i^i Prime ) (repr ` 3 ) n ) T. )
114	91, 113	r19.29a 3078	. . . . . 6 |- ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) -> E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime ( ( p e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ n = ( ( p + q ) + r ) ) )
115		tgoldbachgt.g	. . . . . . . . 9 |- G = { z e. O | E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime ( ( p e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ z = ( ( p + q ) + r ) ) }
116	115	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( n e. G <-> n e. { z e. O | E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime ( ( p e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ z = ( ( p + q ) + r ) ) } )
117		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = n -> ( z = ( ( p + q ) + r ) <-> n = ( ( p + q ) + r ) ) )
118	117	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = n -> ( ( ( p e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ z = ( ( p + q ) + r ) ) <-> ( ( p e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ n = ( ( p + q ) + r ) ) ) )
119	118	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = n -> ( E. r e. Prime ( ( p e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ z = ( ( p + q ) + r ) ) <-> E. r e. Prime ( ( p e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ n = ( ( p + q ) + r ) ) ) )
120	119	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( z = n -> ( E. q e. Prime E. r e. Prime ( ( p e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ z = ( ( p + q ) + r ) ) <-> E. q e. Prime E. r e. Prime ( ( p e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ n = ( ( p + q ) + r ) ) ) )
121	120	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( z = n -> ( E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime ( ( p e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ z = ( ( p + q ) + r ) ) <-> E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime ( ( p e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ n = ( ( p + q ) + r ) ) ) )
122	121	elrab3 3364	. . . . . . . 8 |- ( n e. O -> ( n e. { z e. O | E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime ( ( p e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ z = ( ( p + q ) + r ) ) } <-> E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime ( ( p e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ n = ( ( p + q ) + r ) ) ) )
123	116, 122	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( n e. O -> ( n e. G <-> E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime ( ( p e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ n = ( ( p + q ) + r ) ) ) )
124	123	biimpar 502	. . . . . 6 |- ( ( n e. O /\ E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime ( ( p e. O /\ q e. O /\ r e. O ) /\ n = ( ( p + q ) + r ) ) ) -> n e. G )
125	9, 114, 124	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( n e. O /\ (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) -> n e. G )
126	125	ex 450	. . . 4 |- ( n e. O -> ( (; 1 0 ^; 2 7 ) < n -> n e. G ) )
127	126	rgen 2922	. . 3 |- A. n e. O ( (; 1 0 ^; 2 7 ) < n -> n e. G )
128	8, 127	pm3.2i 471	. 2 |- ( (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ (; 1 0 ^; 2 7 ) /\ A. n e. O ( (; 1 0 ^; 2 7 ) < n -> n e. G ) )
129		breq1 4656	. . . 4 |- ( m = (; 1 0 ^; 2 7 ) -> ( m <_ (; 1 0 ^; 2 7 ) <-> (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ (; 1 0 ^; 2 7 ) ) )
130		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( m = (; 1 0 ^; 2 7 ) -> ( m < n <-> (; 1 0 ^; 2 7 ) < n ) )
131	130	imbi1d 331	. . . . 5 |- ( m = (; 1 0 ^; 2 7 ) -> ( ( m < n -> n e. G ) <-> ( (; 1 0 ^; 2 7 ) < n -> n e. G ) ) )
132	131	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( m = (; 1 0 ^; 2 7 ) -> ( A. n e. O ( m < n -> n e. G ) <-> A. n e. O ( (; 1 0 ^; 2 7 ) < n -> n e. G ) ) )
133	129, 132	anbi12d 747	. . 3 |- ( m = (; 1 0 ^; 2 7 ) -> ( ( m <_ (; 1 0 ^; 2 7 ) /\ A. n e. O ( m < n -> n e. G ) ) <-> ( (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ (; 1 0 ^; 2 7 ) /\ A. n e. O ( (; 1 0 ^; 2 7 ) < n -> n e. G ) ) ) )
134	133	rspcev 3309	. 2 |- ( ( (; 1 0 ^; 2 7 ) e. NN /\ ( (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ (; 1 0 ^; 2 7 ) /\ A. n e. O ( (; 1 0 ^; 2 7 ) < n -> n e. G ) ) ) -> E. m e. NN ( m <_ (; 1 0 ^; 2 7 ) /\ A. n e. O ( m < n -> n e. G ) ) )
135	6, 128, 134	mp2an 708	1 |- E. m e. NN ( m <_ (; 1 0 ^; 2 7 ) /\ A. n e. O ( m < n -> n e. G ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {ctp 4181   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   7c7 11075   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ;cdc 11493  ..^cfzo 12465   ^cexp 12860   #chash 13117   sum_csu 14416   || cdvds 14983   Primecprime 15385  reprcrepr 30686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hgt749 30722  ax-ros335 30723  ax-ros336 30724

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-pmtr 17862  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ulm 24131  df-log 24303  df-cxp 24304  df-atan 24594  df-cht 24823  df-vma 24824  df-chp 24825  df-dp2 29578  df-dp 29596  df-repr 30687  df-vts 30714

This theorem is referenced by: (None)