Theorem reprsuc 30693

Description: Express the representations recursively. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reprval.a	|- ( ph -> A C_ NN )
reprval.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
reprval.s	|- ( ph -> S e. NN0 )
reprsuc.f	|- F = ( c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( c u. { <. S , b >. } ) )

Assertion

Ref	Expression
reprsuc	|- ( ph -> ( A (repr ` ( S + 1 ) ) M ) = U_ b e. A ran F )

Distinct variable groups:   A, b, c   M, b, c   S, b, c   ph, b, c

Allowed substitution hints:   F( b, c)

Proof of Theorem reprsuc

Dummy variables a d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reprval.a	. . 3 |- ( ph -> A C_ NN )
2		reprval.m	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		reprval.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. NN0 )
4		1nn0 11308	. . . . 5 |- 1 e. NN0
5	4	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. NN0 )
6	3, 5	nn0addcld 11355	. . 3 |- ( ph -> ( S + 1 ) e. NN0 )
7	1, 2, 6	reprval 30688	. 2 |- ( ph -> ( A (repr ` ( S + 1 ) ) M ) = { c e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) | sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( c ` a ) = M } )
8		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) )
9		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) -> e : ( 0..^ ( S + 1 ) ) --> A )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> e : ( 0..^ ( S + 1 ) ) --> A )
11	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> S e. NN0 )
12		fzonn0p1 12544	. . . . . . . . . 10 |- ( S e. NN0 -> S e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> S e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) )
14	10, 13	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> ( e ` S ) e. A )
15		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) /\ b = ( e ` S ) ) -> b = ( e ` S ) )
16	15	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) /\ b = ( e ` S ) ) -> ( M - b ) = ( M - ( e ` S ) ) )
17	16	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) /\ b = ( e ` S ) ) -> ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) = ( A (repr ` S ) ( M - ( e ` S ) ) ) )
18		opeq2 4403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( e ` S ) -> <. S , b >. = <. S , ( e ` S ) >. )
19	18	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = ( e ` S ) -> { <. S , b >. } = { <. S , ( e ` S ) >. } )
20	19	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( e ` S ) -> ( c u. { <. S , b >. } ) = ( c u. { <. S , ( e ` S ) >. } ) )
21	20	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( e ` S ) -> ( e = ( c u. { <. S , b >. } ) <-> e = ( c u. { <. S , ( e ` S ) >. } ) ) )
22	21	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) /\ b = ( e ` S ) ) -> ( e = ( c u. { <. S , b >. } ) <-> e = ( c u. { <. S , ( e ` S ) >. } ) ) )
23	17, 22	rexeqbidv 3153	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) /\ b = ( e ` S ) ) -> ( E. c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) e = ( c u. { <. S , b >. } ) <-> E. c e. ( A (repr ` S ) ( M - ( e ` S ) ) ) e = ( c u. { <. S , ( e ` S ) >. } ) ) )
24	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) -> e : ( 0..^ ( S + 1 ) ) --> A )
25	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) -> S e. NN0 )
26		fzossfzop1 12545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S e. NN0 -> ( 0..^ S ) C_ ( 0..^ ( S + 1 ) ) )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) -> ( 0..^ S ) C_ ( 0..^ ( S + 1 ) ) )
28	24, 27	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) -> ( e |` ( 0..^ S ) ) : ( 0..^ S ) --> A )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> ( e |` ( 0..^ S ) ) : ( 0..^ S ) --> A )
30		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN e. _V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> NN e. _V )
32	31, 1	ssexd 4805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. _V )
33		fzofi 12773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0..^ S ) e. Fin
34	33	elexi 3213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0..^ S ) e. _V
35		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. _V /\ ( 0..^ S ) e. _V ) -> ( ( e |` ( 0..^ S ) ) e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) <-> ( e |` ( 0..^ S ) ) : ( 0..^ S ) --> A ) )
36	32, 34, 35	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( e |` ( 0..^ S ) ) e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) <-> ( e |` ( 0..^ S ) ) : ( 0..^ S ) --> A ) )
37	36	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> ( ( e |` ( 0..^ S ) ) e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) <-> ( e |` ( 0..^ S ) ) : ( 0..^ S ) --> A ) )
38	29, 37	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> ( e |` ( 0..^ S ) ) e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) )
39	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) -> ( 0..^ S ) e. Fin )
40		nnsscn 11025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- NN C_ CC
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> NN C_ CC )
42	1, 41	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A C_ CC )
43	42	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> A C_ CC )
44	28	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( e |` ( 0..^ S ) ) ` a ) e. A )
45	43, 44	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( e |` ( 0..^ S ) ) ` a ) e. CC )
46	39, 45	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( ( e |` ( 0..^ S ) ) ` a ) e. CC )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( ( e |` ( 0..^ S ) ) ` a ) e. CC )
48	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) -> A C_ CC )
49	25, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) -> S e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) )
50	24, 49	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) -> ( e ` S ) e. A )
51	48, 50	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) -> ( e ` S ) e. CC )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> ( e ` S ) e. CC )
53	47, 52	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> ( ( sum_ a e. ( 0..^ S ) ( ( e |` ( 0..^ S ) ) ` a ) + ( e ` S ) ) - ( e ` S ) ) = sum_ a e. ( 0..^ S ) ( ( e |` ( 0..^ S ) ) ` a ) )
54		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ a ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) )
55		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ a ( e ` S )
56		fzonel 12483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -. S e. ( 0..^ S )
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) -> -. S e. ( 0..^ S ) )
58	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> e : ( 0..^ ( S + 1 ) ) --> A )
59	27	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) )
60	58, 59	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( e ` a ) e. A )
61	43, 60	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( e ` a ) e. CC )
62		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = S -> ( e ` a ) = ( e ` S ) )
63	54, 55, 39, 25, 57, 61, 62, 51	fsumsplitsn 14474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) -> sum_ a e. ( ( 0..^ S ) u. { S } ) ( e ` a ) = ( sum_ a e. ( 0..^ S ) ( e ` a ) + ( e ` S ) ) )
64		fzosplitsn 12576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( S e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 0..^ ( S + 1 ) ) = ( ( 0..^ S ) u. { S } ) )
65		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
66	64, 65	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( S e. NN0 -> ( 0..^ ( S + 1 ) ) = ( ( 0..^ S ) u. { S } ) )
67	25, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) -> ( 0..^ ( S + 1 ) ) = ( ( 0..^ S ) u. { S } ) )
68	67	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = sum_ a e. ( ( 0..^ S ) u. { S } ) ( e ` a ) )
69		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> a e. ( 0..^ S ) )
70	69	fvresd 6208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( e |` ( 0..^ S ) ) ` a ) = ( e ` a ) )
71	70	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( ( e |` ( 0..^ S ) ) ` a ) = sum_ a e. ( 0..^ S ) ( e ` a ) )
72	71	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) -> ( sum_ a e. ( 0..^ S ) ( ( e |` ( 0..^ S ) ) ` a ) + ( e ` S ) ) = ( sum_ a e. ( 0..^ S ) ( e ` a ) + ( e ` S ) ) )
73	63, 68, 72	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = ( sum_ a e. ( 0..^ S ) ( ( e |` ( 0..^ S ) ) ` a ) + ( e ` S ) ) )
74	73	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = ( sum_ a e. ( 0..^ S ) ( ( e |` ( 0..^ S ) ) ` a ) + ( e ` S ) ) )
75		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M )
76	74, 75	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> ( sum_ a e. ( 0..^ S ) ( ( e |` ( 0..^ S ) ) ` a ) + ( e ` S ) ) = M )
77	76	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> ( ( sum_ a e. ( 0..^ S ) ( ( e |` ( 0..^ S ) ) ` a ) + ( e ` S ) ) - ( e ` S ) ) = ( M - ( e ` S ) ) )
78	53, 77	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( ( e |` ( 0..^ S ) ) ` a ) = ( M - ( e ` S ) ) )
79	38, 78	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> ( ( e |` ( 0..^ S ) ) e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( ( e |` ( 0..^ S ) ) ` a ) = ( M - ( e ` S ) ) ) )
80		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = ( e |` ( 0..^ S ) ) -> ( d ` a ) = ( ( e |` ( 0..^ S ) ) ` a ) )
81	80	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = ( e |` ( 0..^ S ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = sum_ a e. ( 0..^ S ) ( ( e |` ( 0..^ S ) ) ` a ) )
82	81	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = ( e |` ( 0..^ S ) ) -> ( sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = ( M - ( e ` S ) ) <-> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( ( e |` ( 0..^ S ) ) ` a ) = ( M - ( e ` S ) ) ) )
83	82	elrab 3363	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( e |` ( 0..^ S ) ) e. { d e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = ( M - ( e ` S ) ) } <-> ( ( e |` ( 0..^ S ) ) e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ S ) ( ( e |` ( 0..^ S ) ) ` a ) = ( M - ( e ` S ) ) ) )
84	79, 83	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> ( e |` ( 0..^ S ) ) e. { d e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = ( M - ( e ` S ) ) } )
85	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> A C_ NN )
86	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> M e. ZZ )
87		nnssz 11397	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN C_ ZZ
88	1, 87	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A C_ ZZ )
89	88	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> A C_ ZZ )
90	89, 14	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> ( e ` S ) e. ZZ )
91	86, 90	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> ( M - ( e ` S ) ) e. ZZ )
92	85, 91, 11	reprval 30688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> ( A (repr ` S ) ( M - ( e ` S ) ) ) = { d e. ( A ^m ( 0..^ S ) ) | sum_ a e. ( 0..^ S ) ( d ` a ) = ( M - ( e ` S ) ) } )
93	84, 92	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> ( e |` ( 0..^ S ) ) e. ( A (repr ` S ) ( M - ( e ` S ) ) ) )
94		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) /\ c = ( e |` ( 0..^ S ) ) ) -> c = ( e |` ( 0..^ S ) ) )
95	94	uneq1d 3766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) /\ c = ( e |` ( 0..^ S ) ) ) -> ( c u. { <. S , ( e ` S ) >. } ) = ( ( e |` ( 0..^ S ) ) u. { <. S , ( e ` S ) >. } ) )
96	95	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) /\ c = ( e |` ( 0..^ S ) ) ) -> ( e = ( c u. { <. S , ( e ` S ) >. } ) <-> e = ( ( e |` ( 0..^ S ) ) u. { <. S , ( e ` S ) >. } ) ) )
97	10	ffnd 6046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> e Fn ( 0..^ ( S + 1 ) ) )
98		fnsnsplit 6450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( e Fn ( 0..^ ( S + 1 ) ) /\ S e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) -> e = ( ( e |` ( ( 0..^ ( S + 1 ) ) \ { S } ) ) u. { <. S , ( e ` S ) >. } ) )
99	97, 13, 98	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> e = ( ( e |` ( ( 0..^ ( S + 1 ) ) \ { S } ) ) u. { <. S , ( e ` S ) >. } ) )
100	11, 65	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> S e. ( ZZ>= ` 0 ) )
101		fzodif2 29552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ( 0..^ ( S + 1 ) ) \ { S } ) = ( 0..^ S ) )
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> ( ( 0..^ ( S + 1 ) ) \ { S } ) = ( 0..^ S ) )
103	102	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> ( e |` ( ( 0..^ ( S + 1 ) ) \ { S } ) ) = ( e |` ( 0..^ S ) ) )
104	103	uneq1d 3766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> ( ( e |` ( ( 0..^ ( S + 1 ) ) \ { S } ) ) u. { <. S , ( e ` S ) >. } ) = ( ( e |` ( 0..^ S ) ) u. { <. S , ( e ` S ) >. } ) )
105	99, 104	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> e = ( ( e |` ( 0..^ S ) ) u. { <. S , ( e ` S ) >. } ) )
106	93, 96, 105	rspcedvd 3317	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> E. c e. ( A (repr ` S ) ( M - ( e ` S ) ) ) e = ( c u. { <. S , ( e ` S ) >. } ) )
107	14, 23, 106	rspcedvd 3317	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) -> E. b e. A E. c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) e = ( c u. { <. S , b >. } ) )
108	107	anasss 679	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) ) -> E. b e. A E. c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) e = ( c u. { <. S , b >. } ) )
109		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> e = ( c u. { <. S , b >. } ) )
110	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ b e. A ) -> A C_ NN )
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> A C_ NN )
112	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ b e. A ) -> M e. ZZ )
113	88	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ b e. A ) -> b e. ZZ )
114	112, 113	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ b e. A ) -> ( M - b ) e. ZZ )
115	114	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( M - b ) e. ZZ )
116	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ b e. A ) -> S e. NN0 )
117	116	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> S e. NN0 )
118		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) )
119	111, 115, 117, 118	reprf 30690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> c : ( 0..^ S ) --> A )
120		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> b e. A )
121	117, 120	fsnd 6179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> { <. S , b >. } : { S } --> A )
122		fzodisjsn 12505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0..^ S ) i^i { S } ) = (/)
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( ( 0..^ S ) i^i { S } ) = (/) )
124	119, 121, 123	fun2d 6068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( c u. { <. S , b >. } ) : ( ( 0..^ S ) u. { S } ) --> A )
125	117, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( 0..^ ( S + 1 ) ) = ( ( 0..^ S ) u. { S } ) )
126	125	feq2d 6031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( ( c u. { <. S , b >. } ) : ( 0..^ ( S + 1 ) ) --> A <-> ( c u. { <. S , b >. } ) : ( ( 0..^ S ) u. { S } ) --> A ) )
127	124, 126	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( c u. { <. S , b >. } ) : ( 0..^ ( S + 1 ) ) --> A )
128		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0..^ ( S + 1 ) ) e. _V
129		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. _V /\ ( 0..^ ( S + 1 ) ) e. _V ) -> ( ( c u. { <. S , b >. } ) e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) <-> ( c u. { <. S , b >. } ) : ( 0..^ ( S + 1 ) ) --> A ) )
130	32, 128, 129	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( c u. { <. S , b >. } ) e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) <-> ( c u. { <. S , b >. } ) : ( 0..^ ( S + 1 ) ) --> A ) )
131	130	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( ( c u. { <. S , b >. } ) e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) <-> ( c u. { <. S , b >. } ) : ( 0..^ ( S + 1 ) ) --> A ) )
132	127, 131	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> ( c u. { <. S , b >. } ) e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) )
133	132	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> ( c u. { <. S , b >. } ) e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) )
134	109, 133	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) )
135	125	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> ( 0..^ ( S + 1 ) ) = ( ( 0..^ S ) u. { S } ) )
136	135	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = sum_ a e. ( ( 0..^ S ) u. { S } ) ( e ` a ) )
137		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ a ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) )
138	33	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> ( 0..^ S ) e. Fin )
139	117	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> S e. NN0 )
140	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> -. S e. ( 0..^ S ) )
141	42	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> A C_ CC )
142	127	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> ( c u. { <. S , b >. } ) : ( 0..^ ( S + 1 ) ) --> A )
143	109	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> ( e : ( 0..^ ( S + 1 ) ) --> A <-> ( c u. { <. S , b >. } ) : ( 0..^ ( S + 1 ) ) --> A ) )
144	142, 143	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> e : ( 0..^ ( S + 1 ) ) --> A )
145	144	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> e : ( 0..^ ( S + 1 ) ) --> A )
146		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> a e. ( 0..^ S ) )
147		elun1 3780	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. ( 0..^ S ) -> a e. ( ( 0..^ S ) u. { S } ) )
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> a e. ( ( 0..^ S ) u. { S } ) )
149	125	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( 0..^ ( S + 1 ) ) = ( ( 0..^ S ) u. { S } ) )
150	148, 149	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) )
151	145, 150	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( e ` a ) e. A )
152	141, 151	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( e ` a ) e. CC )
153	42	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> A C_ CC )
154	139, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> S e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) )
155	144, 154	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> ( e ` S ) e. A )
156	153, 155	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> ( e ` S ) e. CC )
157	137, 55, 138, 139, 140, 152, 62, 156	fsumsplitsn 14474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> sum_ a e. ( ( 0..^ S ) u. { S } ) ( e ` a ) = ( sum_ a e. ( 0..^ S ) ( e ` a ) + ( e ` S ) ) )
158		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> e = ( c u. { <. S , b >. } ) )
159	158	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( e ` a ) = ( ( c u. { <. S , b >. } ) ` a ) )
160	119	ffnd 6046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> c Fn ( 0..^ S ) )
161	160	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> c Fn ( 0..^ S ) )
162	121	ffnd 6046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) -> { <. S , b >. } Fn { S } )
163	162	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> { <. S , b >. } Fn { S } )
164	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( 0..^ S ) i^i { S } ) = (/) )
165		fvun1 6269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( c Fn ( 0..^ S ) /\ { <. S , b >. } Fn { S } /\ ( ( ( 0..^ S ) i^i { S } ) = (/) /\ a e. ( 0..^ S ) ) ) -> ( ( c u. { <. S , b >. } ) ` a ) = ( c ` a ) )
166	161, 163, 164, 146, 165	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( c u. { <. S , b >. } ) ` a ) = ( c ` a ) )
167	159, 166	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( e ` a ) = ( c ` a ) )
168	167	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> A. a e. ( 0..^ S ) ( e ` a ) = ( c ` a ) )
169	168	sumeq2d 14432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( e ` a ) = sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) )
170	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> A C_ NN )
171	115	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> ( M - b ) e. ZZ )
172	118	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) )
173	170, 171, 139, 172	reprsum 30691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( c ` a ) = ( M - b ) )
174	169, 173	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ S ) ( e ` a ) = ( M - b ) )
175	109	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> ( e ` S ) = ( ( c u. { <. S , b >. } ) ` S ) )
176	160	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> c Fn ( 0..^ S ) )
177	162	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> { <. S , b >. } Fn { S } )
178	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> ( ( 0..^ S ) i^i { S } ) = (/) )
179		snidg 4206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. NN0 -> S e. { S } )
180	139, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> S e. { S } )
181		fvun2 6270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c Fn ( 0..^ S ) /\ { <. S , b >. } Fn { S } /\ ( ( ( 0..^ S ) i^i { S } ) = (/) /\ S e. { S } ) ) -> ( ( c u. { <. S , b >. } ) ` S ) = ( { <. S , b >. } ` S ) )
182	176, 177, 178, 180, 181	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> ( ( c u. { <. S , b >. } ) ` S ) = ( { <. S , b >. } ` S ) )
183	120	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> b e. A )
184		fvsng 6447	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. NN0 /\ b e. A ) -> ( { <. S , b >. } ` S ) = b )
185	139, 183, 184	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> ( { <. S , b >. } ` S ) = b )
186	175, 182, 185	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> ( e ` S ) = b )
187	174, 186	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> ( sum_ a e. ( 0..^ S ) ( e ` a ) + ( e ` S ) ) = ( ( M - b ) + b ) )
188		zsscn 11385	. . . . . . . . . . . 12 |- ZZ C_ CC
189	112	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> M e. ZZ )
190	188, 189	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> M e. CC )
191	186, 156	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> b e. CC )
192	190, 191	npcand 10396	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> ( ( M - b ) + b ) = M )
193	187, 192	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> ( sum_ a e. ( 0..^ S ) ( e ` a ) + ( e ` S ) ) = M )
194	136, 157, 193	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M )
195	134, 194	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ b e. A ) /\ c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) ) /\ e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> ( e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) )
196	195	r19.29ffa 29320	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. b e. A E. c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) -> ( e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) )
197	108, 196	impbida 877	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) <-> E. b e. A E. c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) e = ( c u. { <. S , b >. } ) ) )
198		reprsuc.f	. . . . . . 7 |- F = ( c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) |-> ( c u. { <. S , b >. } ) )
199		vex 3203	. . . . . . . 8 |- c e. _V
200		snex 4908	. . . . . . . 8 |- { <. S , b >. } e. _V
201	199, 200	unex 6956	. . . . . . 7 |- ( c u. { <. S , b >. } ) e. _V
202	198, 201	elrnmpti 5376	. . . . . 6 |- ( e e. ran F <-> E. c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) e = ( c u. { <. S , b >. } ) )
203	202	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. b e. A e e. ran F <-> E. b e. A E. c e. ( A (repr ` S ) ( M - b ) ) e = ( c u. { <. S , b >. } ) )
204	197, 203	syl6bbr 278	. . . 4 |- ( ph -> ( ( e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) <-> E. b e. A e e. ran F ) )
205		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( c = e -> ( c ` a ) = ( e ` a ) )
206	205	sumeq2sdv 14435	. . . . . . 7 |- ( c = e -> sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( c ` a ) = sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) )
207	206	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( c = e -> ( sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( c ` a ) = M <-> sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) )
208	207	cbvrabv 3199	. . . . 5 |- { c e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) | sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( c ` a ) = M } = { e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) | sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M }
209	208	rabeq2i 3197	. . . 4 |- ( e e. { c e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) | sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( c ` a ) = M } <-> ( e e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) /\ sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( e ` a ) = M ) )
210		eliun 4524	. . . 4 |- ( e e. U_ b e. A ran F <-> E. b e. A e e. ran F )
211	204, 209, 210	3bitr4g 303	. . 3 |- ( ph -> ( e e. { c e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) | sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( c ` a ) = M } <-> e e. U_ b e. A ran F ) )
212	211	eqrdv 2620	. 2 |- ( ph -> { c e. ( A ^m ( 0..^ ( S + 1 ) ) ) | sum_ a e. ( 0..^ ( S + 1 ) ) ( c ` a ) = M } = U_ b e. A ran F )
213	7, 212	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( A (repr ` ( S + 1 ) ) M ) = U_ b e. A ran F )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465   sum_csu 14416  reprcrepr 30686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-repr 30687

This theorem is referenced by:  breprexplema  30708