Theorem hgt750lemb 30734

Description: An upper bound on the contribution of the non-prime terms in the Statement 7.50 of [Helfgott] p. 69. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt750leme.o	|- O = { z e. ZZ | -. 2 || z }
hgt750leme.n	|- ( ph -> N e. NN )
hgt750lemb.2	|- ( ph -> 2 <_ N )
hgt750lemb.a	|- A = { c e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( c ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) }

Assertion

Ref	Expression
hgt750lemb	|- ( ph -> sum_ n e. A ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) <_ ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, O   A, c, i, j, n   N, c, i, j, n   ph, c, i, j, n

Allowed substitution hints:   ph( z)   A( z)   N( z)   O( i, j, n, c)

Proof of Theorem hgt750lemb

Dummy variables d u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgt750leme.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
2	1	nnnn0d 11351	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
3		3nn0 11310	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 3 e. NN0 )
5		ssid 3624	. . . . . 6 |- NN C_ NN
6	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> NN C_ NN )
7	2, 4, 6	reprfi2 30701	. . . 4 |- ( ph -> ( NN (repr ` 3 ) N ) e. Fin )
8		hgt750lemb.a	. . . . 5 |- A = { c e. ( NN (repr ` 3 ) N ) | -. ( c ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) }
9	8	ssrab3 3688	. . . 4 |- A C_ ( NN (repr ` 3 ) N )
10		ssfi 8180	. . . 4 |- ( ( ( NN (repr ` 3 ) N ) e. Fin /\ A C_ ( NN (repr ` 3 ) N ) ) -> A e. Fin )
11	7, 9, 10	sylancl 694	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
12		vmaf 24845	. . . . . 6 |- Λ : NN --> RR
13	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> Λ : NN --> RR )
14	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> NN C_ NN )
15	1	nnzd 11481	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ZZ )
16	15	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> N e. ZZ )
17	3	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> 3 e. NN0 )
18		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n e. A )
19	9, 18	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) )
20	14, 16, 17, 19	reprf 30690	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n : ( 0..^ 3 ) --> NN )
21		c0ex 10034	. . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
22	21	tpid1 4303	. . . . . . . 8 |- 0 e. { 0 , 1 , 2 }
23		fzo0to3tp 12554	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ 3 ) = { 0 , 1 , 2 }
24	22, 23	eleqtrri 2700	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0..^ 3 )
25	24	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> 0 e. ( 0..^ 3 ) )
26	20, 25	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( n ` 0 ) e. NN )
27	13, 26	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> (Λ ` ( n ` 0 ) ) e. RR )
28		1ex 10035	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. _V
29	28	tpid2 4304	. . . . . . . . 9 |- 1 e. { 0 , 1 , 2 }
30	29, 23	eleqtrri 2700	. . . . . . . 8 |- 1 e. ( 0..^ 3 )
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> 1 e. ( 0..^ 3 ) )
32	20, 31	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( n ` 1 ) e. NN )
33	13, 32	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> (Λ ` ( n ` 1 ) ) e. RR )
34		2ex 11092	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. _V
35	34	tpid3 4307	. . . . . . . . 9 |- 2 e. { 0 , 1 , 2 }
36	35, 23	eleqtrri 2700	. . . . . . . 8 |- 2 e. ( 0..^ 3 )
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> 2 e. ( 0..^ 3 ) )
38	20, 37	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( n ` 2 ) e. NN )
39	13, 38	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> (Λ ` ( n ` 2 ) ) e. RR )
40	33, 39	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) e. RR )
41	27, 40	remulcld 10070	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) e. RR )
42	11, 41	fsumrecl 14465	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. A ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) e. RR )
43	1	nnrpd 11870	. . . 4 |- ( ph -> N e. RR+ )
44	43	relogcld 24369	. . 3 |- ( ph -> ( log ` N ) e. RR )
45	27, 33	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. (Λ ` ( n ` 1 ) ) ) e. RR )
46	11, 45	fsumrecl 14465	. . 3 |- ( ph -> sum_ n e. A ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. (Λ ` ( n ` 1 ) ) ) e. RR )
47	44, 46	remulcld 10070	. 2 |- ( ph -> ( ( log ` N ) x. sum_ n e. A ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. (Λ ` ( n ` 1 ) ) ) ) e. RR )
48		fzfi 12771	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... N ) e. Fin
49		diffi 8192	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 ... N ) e. Fin -> ( ( 1 ... N ) \ Prime ) e. Fin )
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ... N ) \ Prime ) e. Fin
51		snfi 8038	. . . . . . 7 |- { 2 } e. Fin
52		unfi 8227	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) e. Fin /\ { 2 } e. Fin ) -> ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) e. Fin )
53	50, 51, 52	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) e. Fin
54	53	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) e. Fin )
55	12	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) ) -> Λ : NN --> RR )
56		difss 3737	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 ... N ) \ Prime ) C_ ( 1 ... N )
57	56	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 ... N ) \ Prime ) C_ ( 1 ... N ) )
58		2nn 11185	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 e. NN )
60		hgt750lemb.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 <_ N )
61		elfz1b 12409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. ( 1 ... N ) <-> ( 2 e. NN /\ N e. NN /\ 2 <_ N ) )
62	61	biimpri 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN /\ 2 <_ N ) -> 2 e. ( 1 ... N ) )
63	59, 1, 60, 62	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. ( 1 ... N ) )
64	63	snssd 4340	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { 2 } C_ ( 1 ... N ) )
65	57, 64	unssd 3789	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) C_ ( 1 ... N ) )
66		fz1ssnn 12372	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... N ) C_ NN
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 ... N ) C_ NN )
68	65, 67	sstrd 3613	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) C_ NN )
69	68	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) ) -> i e. NN )
70	55, 69	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) ) -> (Λ ` i ) e. RR )
71	54, 70	fsumrecl 14465	. . . 4 |- ( ph -> sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) e. RR )
72		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
73	12	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> Λ : NN --> RR )
74	67	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> j e. NN )
75	73, 74	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> (Λ ` j ) e. RR )
76	72, 75	fsumrecl 14465	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) e. RR )
77	71, 76	remulcld 10070	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) e. RR )
78	44, 77	remulcld 10070	. 2 |- ( ph -> ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) e. RR )
79	1	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> N e. NN )
80	79	nnrpd 11870	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> N e. RR+ )
81		relogcl 24322	. . . . . . 7 |- ( N e. RR+ -> ( log ` N ) e. RR )
82	80, 81	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( log ` N ) e. RR )
83	33, 82	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( log ` N ) ) e. RR )
84	27, 83	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( log ` N ) ) ) e. RR )
85		vmage0 24847	. . . . . 6 |- ( ( n ` 0 ) e. NN -> 0 <_ (Λ ` ( n ` 0 ) ) )
86	26, 85	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> 0 <_ (Λ ` ( n ` 0 ) ) )
87		vmage0 24847	. . . . . . 7 |- ( ( n ` 1 ) e. NN -> 0 <_ (Λ ` ( n ` 1 ) ) )
88	32, 87	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> 0 <_ (Λ ` ( n ` 1 ) ) )
89	38	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( n ` 2 ) e. RR+ )
90	89	relogcld 24369	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( log ` ( n ` 2 ) ) e. RR )
91		vmalelog 24930	. . . . . . . 8 |- ( ( n ` 2 ) e. NN -> (Λ ` ( n ` 2 ) ) <_ ( log ` ( n ` 2 ) ) )
92	38, 91	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> (Λ ` ( n ` 2 ) ) <_ ( log ` ( n ` 2 ) ) )
93	14, 16, 17, 19, 37	reprle 30692	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( n ` 2 ) <_ N )
94		logleb 24349	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n ` 2 ) e. RR+ /\ N e. RR+ ) -> ( ( n ` 2 ) <_ N <-> ( log ` ( n ` 2 ) ) <_ ( log ` N ) ) )
95	94	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( n ` 2 ) e. RR+ /\ N e. RR+ ) /\ ( n ` 2 ) <_ N ) -> ( log ` ( n ` 2 ) ) <_ ( log ` N ) )
96	89, 80, 93, 95	syl21anc 1325	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( log ` ( n ` 2 ) ) <_ ( log ` N ) )
97	39, 90, 82, 92, 96	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> (Λ ` ( n ` 2 ) ) <_ ( log ` N ) )
98	39, 82, 33, 88, 97	lemul2ad 10964	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) <_ ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( log ` N ) ) )
99	40, 83, 27, 86, 98	lemul2ad 10964	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) <_ ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( log ` N ) ) ) )
100	11, 41, 84, 99	fsumle 14531	. . 3 |- ( ph -> sum_ n e. A ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) <_ sum_ n e. A ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( log ` N ) ) ) )
101	1	nncnd 11036	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. CC )
102	1	nnne0d 11065	. . . . . 6 |- ( ph -> N =/= 0 )
103	101, 102	logcld 24317	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` N ) e. CC )
104	45	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. (Λ ` ( n ` 1 ) ) ) e. CC )
105	11, 103, 104	fsummulc2 14516	. . . 4 |- ( ph -> ( ( log ` N ) x. sum_ n e. A ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. (Λ ` ( n ` 1 ) ) ) ) = sum_ n e. A ( ( log ` N ) x. ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. (Λ ` ( n ` 1 ) ) ) ) )
106	103	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( log ` N ) e. CC )
107	106, 104	mulcomd 10061	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( ( log ` N ) x. ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. (Λ ` ( n ` 1 ) ) ) ) = ( ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. (Λ ` ( n ` 1 ) ) ) x. ( log ` N ) ) )
108	27	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> (Λ ` ( n ` 0 ) ) e. CC )
109	33	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> (Λ ` ( n ` 1 ) ) e. CC )
110	108, 109, 106	mulassd 10063	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. (Λ ` ( n ` 1 ) ) ) x. ( log ` N ) ) = ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( log ` N ) ) ) )
111	107, 110	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( ( log ` N ) x. ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. (Λ ` ( n ` 1 ) ) ) ) = ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( log ` N ) ) ) )
112	111	sumeq2dv 14433	. . . 4 |- ( ph -> sum_ n e. A ( ( log ` N ) x. ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. (Λ ` ( n ` 1 ) ) ) ) = sum_ n e. A ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( log ` N ) ) ) )
113	105, 112	eqtr2d 2657	. . 3 |- ( ph -> sum_ n e. A ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. ( log ` N ) ) ) = ( ( log ` N ) x. sum_ n e. A ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. (Λ ` ( n ` 1 ) ) ) ) )
114	100, 113	breqtrd 4679	. 2 |- ( ph -> sum_ n e. A ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) <_ ( ( log ` N ) x. sum_ n e. A ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. (Λ ` ( n ` 1 ) ) ) ) )
115	1	nnred 11035	. . . 4 |- ( ph -> N e. RR )
116	1	nnge1d 11063	. . . 4 |- ( ph -> 1 <_ N )
117	115, 116	logge0d 24376	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( log ` N ) )
118		xpfi 8231	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin ) -> ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) e. Fin )
119	54, 72, 118	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) e. Fin )
120	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) ) -> Λ : NN --> RR )
121	68	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) C_ NN )
122		xp1st 7198	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) -> ( 1st ` u ) e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) )
123	122	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) ) -> ( 1st ` u ) e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) )
124	121, 123	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) ) -> ( 1st ` u ) e. NN )
125	120, 124	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) ) -> (Λ ` ( 1st ` u ) ) e. RR )
126		xp2nd 7199	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) -> ( 2nd ` u ) e. ( 1 ... N ) )
127	126	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) ) -> ( 2nd ` u ) e. ( 1 ... N ) )
128	66, 127	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) ) -> ( 2nd ` u ) e. NN )
129	120, 128	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) ) -> (Λ ` ( 2nd ` u ) ) e. RR )
130	125, 129	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) ) -> ( (Λ ` ( 1st ` u ) ) x. (Λ ` ( 2nd ` u ) ) ) e. RR )
131		vmage0 24847	. . . . . . 7 |- ( ( 1st ` u ) e. NN -> 0 <_ (Λ ` ( 1st ` u ) ) )
132	124, 131	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) ) -> 0 <_ (Λ ` ( 1st ` u ) ) )
133		vmage0 24847	. . . . . . 7 |- ( ( 2nd ` u ) e. NN -> 0 <_ (Λ ` ( 2nd ` u ) ) )
134	128, 133	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) ) -> 0 <_ (Λ ` ( 2nd ` u ) ) )
135	125, 129, 132, 134	mulge0d 10604	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) ) -> 0 <_ ( (Λ ` ( 1st ` u ) ) x. (Λ ` ( 2nd ` u ) ) ) )
136	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> NN C_ NN )
137	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> N e. ZZ )
138	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> 3 e. NN0 )
139		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> c e. A )
140	9, 139	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> c e. ( NN (repr ` 3 ) N ) )
141	136, 137, 138, 140	reprf 30690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> c : ( 0..^ 3 ) --> NN )
142	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> 0 e. ( 0..^ 3 ) )
143	141, 142	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> ( c ` 0 ) e. NN )
144	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> N e. NN )
145	136, 137, 138, 140, 142	reprle 30692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> ( c ` 0 ) <_ N )
146		elfz1b 12409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c ` 0 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( ( c ` 0 ) e. NN /\ N e. NN /\ ( c ` 0 ) <_ N ) )
147	146	biimpri 218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( c ` 0 ) e. NN /\ N e. NN /\ ( c ` 0 ) <_ N ) -> ( c ` 0 ) e. ( 1 ... N ) )
148	143, 144, 145, 147	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> ( c ` 0 ) e. ( 1 ... N ) )
149	8	rabeq2i 3197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c e. A <-> ( c e. ( NN (repr ` 3 ) N ) /\ -. ( c ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) ) )
150	149	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. A -> -. ( c ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) )
151		hgt750leme.o	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- O = { z e. ZZ | -. 2 || z }
152	151	oddprm2 30733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Prime \ { 2 } ) = ( O i^i Prime )
153	152	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c ` 0 ) e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( c ` 0 ) e. ( O i^i Prime ) )
154	150, 153	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. A -> -. ( c ` 0 ) e. ( Prime \ { 2 } ) )
155	139, 154	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> -. ( c ` 0 ) e. ( Prime \ { 2 } ) )
156	148, 155	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> ( ( c ` 0 ) e. ( 1 ... N ) /\ -. ( c ` 0 ) e. ( Prime \ { 2 } ) ) )
157		eldif 3584	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c ` 0 ) e. ( ( 1 ... N ) \ ( Prime \ { 2 } ) ) <-> ( ( c ` 0 ) e. ( 1 ... N ) /\ -. ( c ` 0 ) e. ( Prime \ { 2 } ) ) )
158	156, 157	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> ( c ` 0 ) e. ( ( 1 ... N ) \ ( Prime \ { 2 } ) ) )
159		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) = ( { 2 } u. ( ( 1 ... N ) \ Prime ) )
160		undif3 3888	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { 2 } u. ( ( 1 ... N ) \ Prime ) ) = ( ( { 2 } u. ( 1 ... N ) ) \ ( Prime \ { 2 } ) )
161	159, 160	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) = ( ( { 2 } u. ( 1 ... N ) ) \ ( Prime \ { 2 } ) )
162		ssequn1 3783	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { 2 } C_ ( 1 ... N ) <-> ( { 2 } u. ( 1 ... N ) ) = ( 1 ... N ) )
163	64, 162	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( { 2 } u. ( 1 ... N ) ) = ( 1 ... N ) )
164	163	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( { 2 } u. ( 1 ... N ) ) \ ( Prime \ { 2 } ) ) = ( ( 1 ... N ) \ ( Prime \ { 2 } ) ) )
165	161, 164	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) = ( ( 1 ... N ) \ ( Prime \ { 2 } ) ) )
166	165	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( c ` 0 ) e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) <-> ( c ` 0 ) e. ( ( 1 ... N ) \ ( Prime \ { 2 } ) ) ) )
167	166	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> ( ( c ` 0 ) e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) <-> ( c ` 0 ) e. ( ( 1 ... N ) \ ( Prime \ { 2 } ) ) ) )
168	158, 167	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> ( c ` 0 ) e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) )
169	30	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> 1 e. ( 0..^ 3 ) )
170	141, 169	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> ( c ` 1 ) e. NN )
171	136, 137, 138, 140, 169	reprle 30692	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> ( c ` 1 ) <_ N )
172		elfz1b 12409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c ` 1 ) e. ( 1 ... N ) <-> ( ( c ` 1 ) e. NN /\ N e. NN /\ ( c ` 1 ) <_ N ) )
173	172	biimpri 218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( c ` 1 ) e. NN /\ N e. NN /\ ( c ` 1 ) <_ N ) -> ( c ` 1 ) e. ( 1 ... N ) )
174	170, 144, 171, 173	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> ( c ` 1 ) e. ( 1 ... N ) )
175	168, 174	opelxpd 5149	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> <. ( c ` 0 ) , ( c ` 1 ) >. e. ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) )
176	175	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. c e. A <. ( c ` 0 ) , ( c ` 1 ) >. e. ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) )
177		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( d = c -> ( d ` 0 ) = ( c ` 0 ) )
178		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( d = c -> ( d ` 1 ) = ( c ` 1 ) )
179	177, 178	opeq12d 4410	. . . . . . . 8 |- ( d = c -> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. = <. ( c ` 0 ) , ( c ` 1 ) >. )
180	179	cbvmptv 4750	. . . . . . 7 |- ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) = ( c e. A |-> <. ( c ` 0 ) , ( c ` 1 ) >. )
181	180	rnmptss 6392	. . . . . 6 |- ( A. c e. A <. ( c ` 0 ) , ( c ` 1 ) >. e. ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) -> ran ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) C_ ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) )
182	176, 181	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) C_ ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) )
183	119, 130, 135, 182	fsumless 14528	. . . 4 |- ( ph -> sum_ u e. ran ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ( (Λ ` ( 1st ` u ) ) x. (Λ ` ( 2nd ` u ) ) ) <_ sum_ u e. ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) ( (Λ ` ( 1st ` u ) ) x. (Λ ` ( 2nd ` u ) ) ) )
184		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( n ` 0 ) e. _V
185		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( n ` 1 ) e. _V
186	184, 185	op1std 7178	. . . . . . 7 |- ( u = <. ( n ` 0 ) , ( n ` 1 ) >. -> ( 1st ` u ) = ( n ` 0 ) )
187	186	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( u = <. ( n ` 0 ) , ( n ` 1 ) >. -> (Λ ` ( 1st ` u ) ) = (Λ ` ( n ` 0 ) ) )
188	184, 185	op2ndd 7179	. . . . . . 7 |- ( u = <. ( n ` 0 ) , ( n ` 1 ) >. -> ( 2nd ` u ) = ( n ` 1 ) )
189	188	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( u = <. ( n ` 0 ) , ( n ` 1 ) >. -> (Λ ` ( 2nd ` u ) ) = (Λ ` ( n ` 1 ) ) )
190	187, 189	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( u = <. ( n ` 0 ) , ( n ` 1 ) >. -> ( (Λ ` ( 1st ` u ) ) x. (Λ ` ( 2nd ` u ) ) ) = ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. (Λ ` ( n ` 1 ) ) ) )
191		opex 4932	. . . . . . . 8 |- <. ( c ` 0 ) , ( c ` 1 ) >. e. _V
192	191	rgenw 2924	. . . . . . 7 |- A. c e. A <. ( c ` 0 ) , ( c ` 1 ) >. e. _V
193	180	fnmpt 6020	. . . . . . 7 |- ( A. c e. A <. ( c ` 0 ) , ( c ` 1 ) >. e. _V -> ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) Fn A )
194	192, 193	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ph -> ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) Fn A )
195		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> ran ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) = ran ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) )
196	141	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) -> c : ( 0..^ 3 ) --> NN )
197	196	ffnd 6046	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) -> c Fn ( 0..^ 3 ) )
198	20	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) -> n : ( 0..^ 3 ) --> NN )
199	198	ffnd 6046	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) -> n Fn ( 0..^ 3 ) )
200		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) -> ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) )
201	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) = ( c e. A |-> <. ( c ` 0 ) , ( c ` 1 ) >. ) )
202	191	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> <. ( c ` 0 ) , ( c ` 1 ) >. e. _V )
203	201, 202	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = <. ( c ` 0 ) , ( c ` 1 ) >. )
204	203	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) -> ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = <. ( c ` 0 ) , ( c ` 1 ) >. )
205	204	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) -> ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = <. ( c ` 0 ) , ( c ` 1 ) >. )
206	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) = ( c e. A |-> <. ( c ` 0 ) , ( c ` 1 ) >. ) )
207		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( c = n -> ( c ` 0 ) = ( n ` 0 ) )
208		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( c = n -> ( c ` 1 ) = ( n ` 1 ) )
209	207, 208	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( c = n -> <. ( c ` 0 ) , ( c ` 1 ) >. = <. ( n ` 0 ) , ( n ` 1 ) >. )
210	209	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. A ) /\ c = n ) -> <. ( c ` 0 ) , ( c ` 1 ) >. = <. ( n ` 0 ) , ( n ` 1 ) >. )
211		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- <. ( n ` 0 ) , ( n ` 1 ) >. e. _V
212	211	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> <. ( n ` 0 ) , ( n ` 1 ) >. e. _V )
213	206, 210, 18, 212	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) = <. ( n ` 0 ) , ( n ` 1 ) >. )
214	213	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) -> ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) = <. ( n ` 0 ) , ( n ` 1 ) >. )
215	214	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) -> ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) = <. ( n ` 0 ) , ( n ` 1 ) >. )
216	200, 205, 215	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) -> <. ( c ` 0 ) , ( c ` 1 ) >. = <. ( n ` 0 ) , ( n ` 1 ) >. )
217	184, 185	opth2 4949	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. ( c ` 0 ) , ( c ` 1 ) >. = <. ( n ` 0 ) , ( n ` 1 ) >. <-> ( ( c ` 0 ) = ( n ` 0 ) /\ ( c ` 1 ) = ( n ` 1 ) ) )
218	216, 217	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) -> ( ( c ` 0 ) = ( n ` 0 ) /\ ( c ` 1 ) = ( n ` 1 ) ) )
219	218	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) -> ( c ` 0 ) = ( n ` 0 ) )
220	219	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 0 ) -> ( c ` 0 ) = ( n ` 0 ) )
221		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 0 ) -> i = 0 )
222	221	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 0 ) -> ( c ` i ) = ( c ` 0 ) )
223	221	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 0 ) -> ( n ` i ) = ( n ` 0 ) )
224	220, 222, 223	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 0 ) -> ( c ` i ) = ( n ` i ) )
225	218	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) -> ( c ` 1 ) = ( n ` 1 ) )
226	225	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 1 ) -> ( c ` 1 ) = ( n ` 1 ) )
227		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 1 ) -> i = 1 )
228	227	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 1 ) -> ( c ` i ) = ( c ` 1 ) )
229	227	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 1 ) -> ( n ` i ) = ( n ` 1 ) )
230	226, 228, 229	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 1 ) -> ( c ` i ) = ( n ` i ) )
231	219	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( c ` 0 ) = ( n ` 0 ) )
232	225	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( c ` 1 ) = ( n ` 1 ) )
233	231, 232	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) = ( ( n ` 0 ) + ( n ` 1 ) ) )
234	233	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( N - ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) ) = ( N - ( ( n ` 0 ) + ( n ` 1 ) ) ) )
235	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( 0..^ 3 ) = { 0 , 1 , 2 } )
236	235	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> sum_ j e. ( 0..^ 3 ) ( c ` j ) = sum_ j e. { 0 , 1 , 2 } ( c ` j ) )
237	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> NN C_ NN )
238	137	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> N e. ZZ )
239	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> 3 e. NN0 )
240	140	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> c e. ( NN (repr ` 3 ) N ) )
241	237, 238, 239, 240	reprsum 30691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> sum_ j e. ( 0..^ 3 ) ( c ` j ) = N )
242		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = 0 -> ( c ` j ) = ( c ` 0 ) )
243		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = 1 -> ( c ` j ) = ( c ` 1 ) )
244		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = 2 -> ( c ` j ) = ( c ` 2 ) )
245	143	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> ( c ` 0 ) e. CC )
246	245	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( c ` 0 ) e. CC )
247	170	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> ( c ` 1 ) e. CC )
248	247	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( c ` 1 ) e. CC )
249	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> 2 e. ( 0..^ 3 ) )
250	141, 249	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> ( c ` 2 ) e. NN )
251	250	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> ( c ` 2 ) e. CC )
252	251	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( c ` 2 ) e. CC )
253	246, 248, 252	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( ( c ` 0 ) e. CC /\ ( c ` 1 ) e. CC /\ ( c ` 2 ) e. CC ) )
254	21, 28, 34	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 e. _V /\ 1 e. _V /\ 2 e. _V )
255	254	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( 0 e. _V /\ 1 e. _V /\ 2 e. _V ) )
256		0ne1 11088	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 =/= 1
257	256	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> 0 =/= 1 )
258		0ne2 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 =/= 2
259	258	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> 0 =/= 2 )
260		1ne2 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 =/= 2
261	260	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> 1 =/= 2 )
262	242, 243, 244, 253, 255, 257, 259, 261	sumtp 14478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> sum_ j e. { 0 , 1 , 2 } ( c ` j ) = ( ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) + ( c ` 2 ) ) )
263	236, 241, 262	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) + ( c ` 2 ) ) = N )
264	246, 248	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) e. CC )
265	101	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> N e. CC )
266	264, 252, 265	addrsub 10448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( ( ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) + ( c ` 2 ) ) = N <-> ( c ` 2 ) = ( N - ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) ) ) )
267	263, 266	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( c ` 2 ) = ( N - ( ( c ` 0 ) + ( c ` 1 ) ) ) )
268	235	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> sum_ j e. ( 0..^ 3 ) ( n ` j ) = sum_ j e. { 0 , 1 , 2 } ( n ` j ) )
269	19	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) -> n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) )
270	269	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> n e. ( NN (repr ` 3 ) N ) )
271	237, 238, 239, 270	reprsum 30691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> sum_ j e. ( 0..^ 3 ) ( n ` j ) = N )
272		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = 0 -> ( n ` j ) = ( n ` 0 ) )
273		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = 1 -> ( n ` j ) = ( n ` 1 ) )
274		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = 2 -> ( n ` j ) = ( n ` 2 ) )
275	26	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( n ` 0 ) e. CC )
276	275	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) -> ( n ` 0 ) e. CC )
277	276	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( n ` 0 ) e. CC )
278	32	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( n ` 1 ) e. CC )
279	278	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) -> ( n ` 1 ) e. CC )
280	279	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( n ` 1 ) e. CC )
281	38	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( n ` 2 ) e. CC )
282	281	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) -> ( n ` 2 ) e. CC )
283	282	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( n ` 2 ) e. CC )
284	277, 280, 283	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( ( n ` 0 ) e. CC /\ ( n ` 1 ) e. CC /\ ( n ` 2 ) e. CC ) )
285	272, 273, 274, 284, 255, 257, 259, 261	sumtp 14478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> sum_ j e. { 0 , 1 , 2 } ( n ` j ) = ( ( ( n ` 0 ) + ( n ` 1 ) ) + ( n ` 2 ) ) )
286	268, 271, 285	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( ( ( n ` 0 ) + ( n ` 1 ) ) + ( n ` 2 ) ) = N )
287	277, 280	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( ( n ` 0 ) + ( n ` 1 ) ) e. CC )
288	287, 283, 265	addrsub 10448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( ( ( ( n ` 0 ) + ( n ` 1 ) ) + ( n ` 2 ) ) = N <-> ( n ` 2 ) = ( N - ( ( n ` 0 ) + ( n ` 1 ) ) ) ) )
289	286, 288	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( n ` 2 ) = ( N - ( ( n ` 0 ) + ( n ` 1 ) ) ) )
290	234, 267, 289	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( c ` 2 ) = ( n ` 2 ) )
291		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> i = 2 )
292	291	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( c ` i ) = ( c ` 2 ) )
293	291	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( n ` i ) = ( n ` 2 ) )
294	290, 292, 293	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) /\ i = 2 ) -> ( c ` i ) = ( n ` i ) )
295		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) -> i e. ( 0..^ 3 ) )
296	295, 23	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) -> i e. { 0 , 1 , 2 } )
297		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- i e. _V
298	297	eltp 4230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. { 0 , 1 , 2 } <-> ( i = 0 \/ i = 1 \/ i = 2 ) )
299	296, 298	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) -> ( i = 0 \/ i = 1 \/ i = 2 ) )
300	224, 230, 294, 299	mpjao3dan 1395	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) /\ i e. ( 0..^ 3 ) ) -> ( c ` i ) = ( n ` i ) )
301	197, 199, 300	eqfnfvd 6314	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) /\ ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) ) -> c = n )
302	301	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. A ) /\ n e. A ) -> ( ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) -> c = n ) )
303	302	anasss 679	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ n e. A ) ) -> ( ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) -> c = n ) )
304	303	ralrimivva 2971	. . . . . 6 |- ( ph -> A. c e. A A. n e. A ( ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) -> c = n ) )
305		dff1o6 6531	. . . . . . 7 |- ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) : A -1-1-onto-> ran ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) <-> ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) Fn A /\ ran ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) = ran ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) /\ A. c e. A A. n e. A ( ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) -> c = n ) ) )
306	305	biimpri 218	. . . . . 6 |- ( ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) Fn A /\ ran ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) = ran ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) /\ A. c e. A A. n e. A ( ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` c ) = ( ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ` n ) -> c = n ) ) -> ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) : A -1-1-onto-> ran ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) )
307	194, 195, 304, 306	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) : A -1-1-onto-> ran ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) )
308	182	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. ran ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ) -> u e. ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) )
309	308, 125	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ran ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ) -> (Λ ` ( 1st ` u ) ) e. RR )
310	308, 129	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ran ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ) -> (Λ ` ( 2nd ` u ) ) e. RR )
311	309, 310	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. ran ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ) -> ( (Λ ` ( 1st ` u ) ) x. (Λ ` ( 2nd ` u ) ) ) e. RR )
312	311	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. ran ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ) -> ( (Λ ` ( 1st ` u ) ) x. (Λ ` ( 2nd ` u ) ) ) e. CC )
313	190, 11, 307, 213, 312	fsumf1o 14454	. . . 4 |- ( ph -> sum_ u e. ran ( d e. A |-> <. ( d ` 0 ) , ( d ` 1 ) >. ) ( (Λ ` ( 1st ` u ) ) x. (Λ ` ( 2nd ` u ) ) ) = sum_ n e. A ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. (Λ ` ( n ` 1 ) ) ) )
314	76	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) e. CC )
315	70	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) ) -> (Λ ` i ) e. CC )
316	54, 314, 315	fsummulc1 14517	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) = sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) ( (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) )
317	48	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
318	75	adantrl 752	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) ) -> (Λ ` j ) e. RR )
319	318	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> (Λ ` j ) e. RR )
320	319	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> (Λ ` j ) e. CC )
321	317, 315, 320	fsummulc2 14516	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) ) -> ( (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( (Λ ` i ) x. (Λ ` j ) ) )
322	321	sumeq2dv 14433	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) ( (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) = sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) sum_ j e. ( 1 ... N ) ( (Λ ` i ) x. (Λ ` j ) ) )
323		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- j e. _V
324	297, 323	op1std 7178	. . . . . . . 8 |- ( u = <. i , j >. -> ( 1st ` u ) = i )
325	324	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( u = <. i , j >. -> (Λ ` ( 1st ` u ) ) = (Λ ` i ) )
326	297, 323	op2ndd 7179	. . . . . . . 8 |- ( u = <. i , j >. -> ( 2nd ` u ) = j )
327	326	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( u = <. i , j >. -> (Λ ` ( 2nd ` u ) ) = (Λ ` j ) )
328	325, 327	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( u = <. i , j >. -> ( (Λ ` ( 1st ` u ) ) x. (Λ ` ( 2nd ` u ) ) ) = ( (Λ ` i ) x. (Λ ` j ) ) )
329	70	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) ) -> (Λ ` i ) e. RR )
330	329, 318	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( (Λ ` i ) x. (Λ ` j ) ) e. RR )
331	330	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( (Λ ` i ) x. (Λ ` j ) ) e. CC )
332	328, 54, 72, 331	fsumxp 14503	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) sum_ j e. ( 1 ... N ) ( (Λ ` i ) x. (Λ ` j ) ) = sum_ u e. ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) ( (Λ ` ( 1st ` u ) ) x. (Λ ` ( 2nd ` u ) ) ) )
333	316, 322, 332	3eqtrrd 2661	. . . 4 |- ( ph -> sum_ u e. ( ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) X. ( 1 ... N ) ) ( (Λ ` ( 1st ` u ) ) x. (Λ ` ( 2nd ` u ) ) ) = ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) )
334	183, 313, 333	3brtr3d 4684	. . 3 |- ( ph -> sum_ n e. A ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. (Λ ` ( n ` 1 ) ) ) <_ ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) )
335	46, 77, 44, 117, 334	lemul2ad 10964	. 2 |- ( ph -> ( ( log ` N ) x. sum_ n e. A ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. (Λ ` ( n ` 1 ) ) ) ) <_ ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) )
336	42, 47, 78, 114, 335	letrd 10194	1 |- ( ph -> sum_ n e. A ( (Λ ` ( n ` 0 ) ) x. ( (Λ ` ( n ` 1 ) ) x. (Λ ` ( n ` 2 ) ) ) ) <_ ( ( log ` N ) x. ( sum_ i e. ( ( ( 1 ... N ) \ Prime ) u. { 2 } ) (Λ ` i ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) (Λ ` j ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   {ctp 4181   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   sum_csu 14416   || cdvds 14983   Primecprime 15385   logclog 24301  Λcvma 24818  reprcrepr 30686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-vma 24824  df-repr 30687

This theorem is referenced by:  hgt750leme  30736