Theorem smfaddlem1 40971

Description: Given the sum of two functions, the preimage of an unbounded below, open interval, expressed as the countable union of intersections of preimages of both functions. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfaddlem1.x	|- F/ x ph
smfaddlem1.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
smfaddlem1.d	|- ( ( ph /\ x e. C ) -> D e. RR )
smfaddlem1.r	|- ( ph -> R e. RR )
smfaddlem1.k	|- K = ( p e. QQ |-> { q e. QQ | ( p + q ) < R } )

Assertion

Ref	Expression
smfaddlem1	|- ( ph -> { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } = U_ p e. QQ U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } )

Distinct variable groups:   A, p, q   B, p, q   C, p, q   D, p, q   x, K   R, p, q   ph, p, q   x, p, q

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   B( x)   C( x)   D( x)   R( x)   K( q, p)

Proof of Theorem smfaddlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfaddlem1.x	. . 3 |- F/ x ph
2		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) -> ph )
3		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i C ) C_ A
4		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } <-> ( x e. ( A i^i C ) /\ ( B + D ) < R ) )
5	4	simplbi 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } -> x e. ( A i^i C ) )
6	3, 5	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } -> x e. A )
7	6	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) -> x e. A )
8		smfaddlem1.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
9	2, 7, 8	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) -> B e. RR )
10	9	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) -> B e. RR* )
11		smfaddlem1.r	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. RR )
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) -> R e. RR )
13		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( A i^i C ) -> x e. C )
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) ) -> x e. C )
15		smfaddlem1.d	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> D e. RR )
16	14, 15	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) ) -> D e. RR )
17	5, 16	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) -> D e. RR )
18	12, 17	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) -> ( R - D ) e. RR )
19	18	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) -> ( R - D ) e. RR* )
20	4	simprbi 480	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } -> ( B + D ) < R )
21	20	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) -> ( B + D ) < R )
22	9, 17, 12	ltaddsubd 10627	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) -> ( ( B + D ) < R <-> B < ( R - D ) ) )
23	21, 22	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) -> B < ( R - D ) )
24	10, 19, 23	qelioo 39773	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) -> E. p e. QQ p e. ( B (,) ( R - D ) ) )
25	17	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) -> D e. RR* )
26	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) -> D e. RR* )
27	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) -> R e. RR )
28		qre 11793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p e. QQ -> p e. RR )
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) -> p e. RR )
30	27, 29	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) -> ( R - p ) e. RR )
31	30	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) -> ( R - p ) e. RR* )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) -> ( R - p ) e. RR* )
33		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p e. ( B (,) ( R - D ) ) -> p e. RR )
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) -> p e. RR )
35	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) -> R e. RR )
36	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) -> D e. RR )
37	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) -> B e. RR* )
38	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) -> ( R - D ) e. RR* )
39		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) -> p e. ( B (,) ( R - D ) ) )
40		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR* /\ ( R - D ) e. RR* /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) -> p < ( R - D ) )
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) -> p < ( R - D ) )
42	34, 35, 36, 41	ltsub13d 10633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) -> D < ( R - p ) )
43	42	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) -> D < ( R - p ) )
44	26, 32, 43	qelioo 39773	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) -> E. q e. QQ q e. ( D (,) ( R - p ) ) )
45		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ q ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) )
46		nfre1 3005	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ q E. q e. ( K ` p ) x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) }
47		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) /\ q e. QQ ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> q e. QQ )
48		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( q e. ( D (,) ( R - p ) ) -> q e. RR )
49	48	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> q e. RR )
50	35	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> R e. RR )
51	33	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> p e. RR )
52	50, 51	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> ( R - p ) e. RR )
53	25	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> D e. RR* )
54	52	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> ( R - p ) e. RR* )
55		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> q e. ( D (,) ( R - p ) ) )
56		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( D e. RR* /\ ( R - p ) e. RR* /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> q < ( R - p ) )
57	53, 54, 55, 56	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> q < ( R - p ) )
58	49, 52, 51, 57	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> ( p + q ) < ( p + ( R - p ) ) )
59	51	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> p e. CC )
60	50	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> R e. CC )
61	59, 60	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> ( p + ( R - p ) ) = R )
62	58, 61	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> ( p + q ) < R )
63	62	ad5ant135 1314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) /\ q e. QQ ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> ( p + q ) < R )
64	47, 63	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) /\ q e. QQ ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> ( q e. QQ /\ ( p + q ) < R ) )
65		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q e. { q e. QQ | ( p + q ) < R } <-> ( q e. QQ /\ ( p + q ) < R ) )
66	64, 65	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) /\ q e. QQ ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> q e. { q e. QQ | ( p + q ) < R } )
67		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. QQ -> p e. QQ )
68		qex 11800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- QQ e. _V
69	68	rabex 4813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { q e. QQ | ( p + q ) < R } e. _V
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. QQ -> { q e. QQ | ( p + q ) < R } e. _V )
71		smfaddlem1.k	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- K = ( p e. QQ |-> { q e. QQ | ( p + q ) < R } )
72	71	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( p e. QQ /\ { q e. QQ | ( p + q ) < R } e. _V ) -> ( K ` p ) = { q e. QQ | ( p + q ) < R } )
73	67, 70, 72	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p e. QQ -> ( K ` p ) = { q e. QQ | ( p + q ) < R } )
74	73	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) /\ q e. QQ ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> ( K ` p ) = { q e. QQ | ( p + q ) < R } )
75	66, 74	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) /\ q e. QQ ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> q e. ( K ` p ) )
76		simp-5r 809	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) /\ q e. QQ ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } )
77	76, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) /\ q e. QQ ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> x e. ( A i^i C ) )
78		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. RR* /\ ( R - D ) e. RR* /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) -> B < p )
79	37, 38, 39, 78	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) -> B < p )
80	79	ad5ant13 1301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) /\ q e. QQ ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> B < p )
81	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> D e. RR* )
82	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> ( R - p ) e. RR* )
83		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> q e. ( D (,) ( R - p ) ) )
84		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( D e. RR* /\ ( R - p ) e. RR* /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> D < q )
85	81, 82, 83, 84	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> D < q )
86	85	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) /\ q e. QQ ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> D < q )
87	77, 80, 86	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) /\ q e. QQ ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> ( x e. ( A i^i C ) /\ ( B < p /\ D < q ) ) )
88		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } <-> ( x e. ( A i^i C ) /\ ( B < p /\ D < q ) ) )
89	87, 88	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) /\ q e. QQ ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } )
90		rspe 3003	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( q e. ( K ` p ) /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> E. q e. ( K ` p ) x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } )
91	75, 89, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) /\ q e. QQ ) /\ q e. ( D (,) ( R - p ) ) ) -> E. q e. ( K ` p ) x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } )
92	91	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) /\ q e. QQ ) -> ( q e. ( D (,) ( R - p ) ) -> E. q e. ( K ` p ) x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) )
93	92	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) -> ( q e. QQ -> ( q e. ( D (,) ( R - p ) ) -> E. q e. ( K ` p ) x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) ) )
94	45, 46, 93	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) -> ( E. q e. QQ q e. ( D (,) ( R - p ) ) -> E. q e. ( K ` p ) x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) )
95	44, 94	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) -> E. q e. ( K ` p ) x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } )
96		eliun 4524	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } <-> E. q e. ( K ` p ) x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } )
97	95, 96	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) /\ p e. ( B (,) ( R - D ) ) ) -> x e. U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } )
98	97	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) /\ p e. QQ ) -> ( p e. ( B (,) ( R - D ) ) -> x e. U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) )
99	98	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) -> ( E. p e. QQ p e. ( B (,) ( R - D ) ) -> E. p e. QQ x e. U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) )
100	24, 99	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) -> E. p e. QQ x e. U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } )
101		eliun 4524	. . . . . 6 |- ( x e. U_ p e. QQ U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } <-> E. p e. QQ x e. U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } )
102	100, 101	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) -> x e. U_ p e. QQ U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } )
103	102	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } -> x e. U_ p e. QQ U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) )
104	96	rexbii 3041	. . . . . . . . 9 |- ( E. p e. QQ x e. U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } <-> E. p e. QQ E. q e. ( K ` p ) x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } )
105	101, 104	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( x e. U_ p e. QQ U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } <-> E. p e. QQ E. q e. ( K ` p ) x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } )
106	105	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( x e. U_ p e. QQ U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } -> E. p e. QQ E. q e. ( K ` p ) x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } )
107	106	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U_ p e. QQ U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> E. p e. QQ E. q e. ( K ` p ) x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } )
108	88	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } -> ( x e. ( A i^i C ) /\ ( B < p /\ D < q ) ) )
109	108	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } -> x e. ( A i^i C ) )
110	109	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> x e. ( A i^i C ) )
111		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( A i^i C ) -> x e. A )
112	111	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) ) -> x e. A )
113	112, 8	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( A i^i C ) ) -> B e. RR )
114	109, 113	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> B e. RR )
115	114	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> B e. RR )
116	109, 16	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> D e. RR )
117	116	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> D e. RR )
118	115, 117	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> ( B + D ) e. RR )
119		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> p e. QQ )
120	119, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> p e. RR )
121		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { q e. QQ | ( p + q ) < R } C_ QQ
122		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) -> q e. ( K ` p ) )
123	73	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) -> ( K ` p ) = { q e. QQ | ( p + q ) < R } )
124	122, 123	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) -> q e. { q e. QQ | ( p + q ) < R } )
125	121, 124	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) -> q e. QQ )
126	125	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> q e. QQ )
127	28	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- QQ C_ RR
128	127	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q e. QQ -> q e. RR )
129	126, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> q e. RR )
130	120, 129	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> ( p + q ) e. RR )
131	11	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> R e. RR )
132	108	simprld 795	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } -> B < p )
133	132	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> B < p )
134	108	simprrd 797	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } -> D < q )
135	134	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> D < q )
136	115, 117, 120, 129, 133, 135	ltadd12dd 39559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> ( B + D ) < ( p + q ) )
137		rabidim2 39284	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q e. { q e. QQ | ( p + q ) < R } -> ( p + q ) < R )
138	124, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) -> ( p + q ) < R )
139	138	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> ( p + q ) < R )
140	118, 130, 131, 136, 139	lttrd 10198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> ( B + D ) < R )
141	110, 140	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> ( x e. ( A i^i C ) /\ ( B + D ) < R ) )
142	141, 4	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) /\ x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } )
143	142	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( p e. QQ /\ q e. ( K ` p ) ) -> ( x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } -> x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) ) )
144	143	rexlimdvv 3037	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. p e. QQ E. q e. ( K ` p ) x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } -> x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) )
145	144	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U_ p e. QQ U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> ( E. p e. QQ E. q e. ( K ` p ) x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } -> x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) )
146	107, 145	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U_ p e. QQ U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) -> x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } )
147	146	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. U_ p e. QQ U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } -> x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } ) )
148	103, 147	impbid 202	. . 3 |- ( ph -> ( x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } <-> x e. U_ p e. QQ U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) )
149	1, 148	alrimi 2082	. 2 |- ( ph -> A. x ( x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } <-> x e. U_ p e. QQ U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) )
150		nfrab1 3122	. . 3 |- F/_ x { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R }
151		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ x QQ
152		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ x ( K ` p )
153		nfrab1 3122	. . . . 5 |- F/_ x { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) }
154	152, 153	nfiun 4548	. . . 4 |- F/_ x U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) }
155	151, 154	nfiun 4548	. . 3 |- F/_ x U_ p e. QQ U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) }
156	150, 155	dfcleqf 39255	. 2 |- ( { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } = U_ p e. QQ U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } <-> A. x ( x e. { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } <-> x e. U_ p e. QQ U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } ) )
157	149, 156	sylibr 224	1 |- ( ph -> { x e. ( A i^i C ) | ( B + D ) < R } = U_ p e. QQ U_ q e. ( K ` p ) { x e. ( A i^i C ) | ( B < p /\ D < q ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   - cmin 10266   QQcq 11788   (,)cioo 12175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-ioo 12179

This theorem is referenced by:  smfaddlem2  40972