Theorem pncan3d 10395

Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
pncan3d	|- ( ph -> ( A + ( B - A ) ) = B )

Proof of Theorem pncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		pncan3 10289	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( A + ( B - A ) ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   + caddc 9939   - cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268

This theorem is referenced by:  xralrple  12036  quoremz  12654  quoremnn0ALT  12656  intfrac2  12657  intfrac  12685  2cshwcshw  13571  isercoll2  14399  iseralt  14415  mertenslem1  14616  fprodser  14679  risefacfac  14766  fallfacfwd  14767  eflt  14847  efival  14882  bitsmod  15158  bitsinv1lem  15163  odzdvds  15500  modprm0  15510  pcaddlem  15592  vdwapun  15678  vdwlem12  15696  odmodnn0  17959  mndodconglem  17960  minveclem4  23203  ivthlem2  23221  dvn2bss  23693  ftc2  23807  mdegmullem  23838  plymullem1  23970  dvtaylp  24124  dvntaylp  24125  dvntaylp0  24126  taylthlem1  24127  ulmbdd  24152  affineequiv  24553  mcubic  24574  quart1lem  24582  quart1  24583  asinsin  24619  birthdaylem2  24679  emcllem6  24727  perfectlem2  24955  lgseisenlem4  25103  lgsquadlem1  25105  dchrisumlem1  25178  dchrvmasum2if  25186  dchrisum0lem1  25205  selberg3  25248  axsegconlem10  25806  smcnlem  27552  oddpwdc  30416  itg2addnclem3  33463  ftc2nc  33494  fzisoeu  39514  lptre2pt  39872  0ellimcdiv  39881  climleltrp  39908  ioodvbdlimc1lem2  40147  dvnprodlem1  40161  itgsinexp  40170  itgsbtaddcnst  40198  dirkertrigeqlem2  40316  fourierdlem4  40328  fourierdlem13  40337  fourierdlem26  40350  fourierdlem41  40365  fourierdlem42  40366  fourierdlem50  40373  fourierdlem60  40383  fourierdlem61  40384  fourierdlem74  40397  fourierdlem75  40398  fourierdlem76  40399  fourierdlem84  40407  fourierdlem89  40412  fourierdlem90  40413  fourierdlem91  40414  fourierdlem93  40416  fourierdlem101  40424  fourierdlem107  40430  fourierdlem111  40434  fourierdlem112  40435  fouriersw  40448  smfaddlem1  40971  sigarcol  41053  ccatpfx  41409  perfectALTVlem2  41631  nnpw2pmod  42377