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Theorem sqrlem6 13988
Description: Lemma for 01sqrex 13990. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrlem1.1 |- S = { x e. RR+ | ( x ^ 2 ) <_ A }
sqrlem1.2 |- B = sup ( S , RR , < )
sqrlem5.3 |- T = { y | E. a e. S E. b e. S y = ( a x. b ) }
Assertion
Ref Expression
sqrlem6 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B ^ 2 ) <_ A )
Distinct variable groups:   a, b, y, S   x, a, A, b, y   y, B
Allowed substitution hints:   B( x, a, b)   S( x)   T( x, y, a, b)
Proof of Theorem sqrlem6
Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrlem1.1 . . . 4 |- S = { x e. RR+ | ( x ^ 2 ) <_ A }
2 sqrlem1.2 . . . 4 |- B = sup ( S , RR , < )
3 sqrlem5.3 . . . 4 |- T = { y | E. a e. S E. b e. S y = ( a x. b ) }
41, 2, 3sqrlem5 13987 . . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. v e. RR A. u e. T u <_ v ) /\ ( B ^ 2 ) = sup ( T , RR , < ) ) )
54simprd 479 . 2 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B ^ 2 ) = sup ( T , RR , < ) )
6 vex 3203 . . . . . 6 |- v e. _V
7 eqeq1 2626 . . . . . . 7 |- ( y = v -> ( y = ( a x. b ) <-> v = ( a x. b ) ) )
872rexbidv 3057 . . . . . 6 |- ( y = v -> ( E. a e. S E. b e. S y = ( a x. b ) <-> E. a e. S E. b e. S v = ( a x. b ) ) )
96, 8, 3elab2 3354 . . . . 5 |- ( v e. T <-> E. a e. S E. b e. S v = ( a x. b ) )
10 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( x ^ 2 ) = ( a ^ 2 ) )
1110breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> ( ( x ^ 2 ) <_ A <-> ( a ^ 2 ) <_ A ) )
1211, 1elrab2 3366 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. S <-> ( a e. RR+ /\ ( a ^ 2 ) <_ A ) )
1312simplbi 476 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. S -> a e. RR+ )
14 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = b -> ( x ^ 2 ) = ( b ^ 2 ) )
1514breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = b -> ( ( x ^ 2 ) <_ A <-> ( b ^ 2 ) <_ A ) )
1615, 1elrab2 3366 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. S <-> ( b e. RR+ /\ ( b ^ 2 ) <_ A ) )
1716simplbi 476 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. S -> b e. RR+ )
18 rpre 11839 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. RR+ -> a e. RR )
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> a e. RR )
20 rpre 11839 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. RR+ -> b e. RR )
2120adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> b e. RR )
22 rpgt0 11844 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. RR+ -> 0 < b )
2322adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> 0 < b )
24 lemul1 10875 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ ( b e. RR /\ 0 < b ) ) -> ( a <_ b <-> ( a x. b ) <_ ( b x. b ) ) )
2519, 21, 21, 23, 24syl112anc 1330 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> ( a <_ b <-> ( a x. b ) <_ ( b x. b ) ) )
2613, 17, 25syl2an 494 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. S /\ b e. S ) -> ( a <_ b <-> ( a x. b ) <_ ( b x. b ) ) )
2717rpcnd 11874 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. S -> b e. CC )
2827sqvald 13005 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. S -> ( b ^ 2 ) = ( b x. b ) )
2928breq2d 4665 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. S -> ( ( a x. b ) <_ ( b ^ 2 ) <-> ( a x. b ) <_ ( b x. b ) ) )
3029adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. S /\ b e. S ) -> ( ( a x. b ) <_ ( b ^ 2 ) <-> ( a x. b ) <_ ( b x. b ) ) )
3126, 30bitr4d 271 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. S /\ b e. S ) -> ( a <_ b <-> ( a x. b ) <_ ( b ^ 2 ) ) )
3231adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( a <_ b <-> ( a x. b ) <_ ( b ^ 2 ) ) )
3316simprbi 480 . . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. S -> ( b ^ 2 ) <_ A )
3433ad2antll 765 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( b ^ 2 ) <_ A )
3513rpred 11872 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. S -> a e. RR )
3617rpred 11872 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. S -> b e. RR )
37 remulcl 10021 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( a x. b ) e. RR )
3835, 36, 37syl2an 494 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. S /\ b e. S ) -> ( a x. b ) e. RR )
3938adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( a x. b ) e. RR )
4036resqcld 13035 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. S -> ( b ^ 2 ) e. RR )
4140ad2antll 765 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( b ^ 2 ) e. RR )
42 rpre 11839 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
4342ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> A e. RR )
44 letr 10131 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a x. b ) e. RR /\ ( b ^ 2 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( ( a x. b ) <_ ( b ^ 2 ) /\ ( b ^ 2 ) <_ A ) -> ( a x. b ) <_ A ) )
4539, 41, 43, 44syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( ( ( a x. b ) <_ ( b ^ 2 ) /\ ( b ^ 2 ) <_ A ) -> ( a x. b ) <_ A ) )
4634, 45mpan2d 710 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( ( a x. b ) <_ ( b ^ 2 ) -> ( a x. b ) <_ A ) )
4732, 46sylbid 230 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( a <_ b -> ( a x. b ) <_ A ) )
48 rpgt0 11844 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. RR+ -> 0 < a )
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> 0 < a )
50 lemul2 10876 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. RR /\ a e. RR /\ ( a e. RR /\ 0 < a ) ) -> ( b <_ a <-> ( a x. b ) <_ ( a x. a ) ) )
5121, 19, 19, 49, 50syl112anc 1330 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR+ /\ b e. RR+ ) -> ( b <_ a <-> ( a x. b ) <_ ( a x. a ) ) )
5213, 17, 51syl2an 494 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. S /\ b e. S ) -> ( b <_ a <-> ( a x. b ) <_ ( a x. a ) ) )
5313rpcnd 11874 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. S -> a e. CC )
5453sqvald 13005 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. S -> ( a ^ 2 ) = ( a x. a ) )
5554breq2d 4665 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. S -> ( ( a x. b ) <_ ( a ^ 2 ) <-> ( a x. b ) <_ ( a x. a ) ) )
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. S /\ b e. S ) -> ( ( a x. b ) <_ ( a ^ 2 ) <-> ( a x. b ) <_ ( a x. a ) ) )
5752, 56bitr4d 271 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. S /\ b e. S ) -> ( b <_ a <-> ( a x. b ) <_ ( a ^ 2 ) ) )
5857adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( b <_ a <-> ( a x. b ) <_ ( a ^ 2 ) ) )
5912simprbi 480 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. S -> ( a ^ 2 ) <_ A )
6059ad2antrl 764 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( a ^ 2 ) <_ A )
6135resqcld 13035 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. S -> ( a ^ 2 ) e. RR )
6261ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( a ^ 2 ) e. RR )
63 letr 10131 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a x. b ) e. RR /\ ( a ^ 2 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( ( a x. b ) <_ ( a ^ 2 ) /\ ( a ^ 2 ) <_ A ) -> ( a x. b ) <_ A ) )
6439, 62, 43, 63syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( ( ( a x. b ) <_ ( a ^ 2 ) /\ ( a ^ 2 ) <_ A ) -> ( a x. b ) <_ A ) )
6560, 64mpan2d 710 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( ( a x. b ) <_ ( a ^ 2 ) -> ( a x. b ) <_ A ) )
6658, 65sylbid 230 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( b <_ a -> ( a x. b ) <_ A ) )
671, 2sqrlem3 13985 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. y e. RR A. v e. S v <_ y ) )
6867simp1d 1073 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> S C_ RR )
6968sseld 3602 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( a e. S -> a e. RR ) )
7068sseld 3602 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( b e. S -> b e. RR ) )
7169, 70anim12d 586 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( ( a e. S /\ b e. S ) -> ( a e. RR /\ b e. RR ) ) )
7271imp 445 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( a e. RR /\ b e. RR ) )
73 letric 10137 . . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( a <_ b \/ b <_ a ) )
7472, 73syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( a <_ b \/ b <_ a ) )
7547, 66, 74mpjaod 396 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( a x. b ) <_ A )
7675ex 450 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( ( a e. S /\ b e. S ) -> ( a x. b ) <_ A ) )
77 breq1 4656 . . . . . . . 8 |- ( v = ( a x. b ) -> ( v <_ A <-> ( a x. b ) <_ A ) )
7877biimprcd 240 . . . . . . 7 |- ( ( a x. b ) <_ A -> ( v = ( a x. b ) -> v <_ A ) )
7976, 78syl6 35 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( ( a e. S /\ b e. S ) -> ( v = ( a x. b ) -> v <_ A ) ) )
8079rexlimdvv 3037 . . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( E. a e. S E. b e. S v = ( a x. b ) -> v <_ A ) )
819, 80syl5bi 232 . . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( v e. T -> v <_ A ) )
8281ralrimiv 2965 . . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> A. v e. T v <_ A )
834simpld 475 . . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. v e. RR A. u e. T u <_ v ) )
8442adantr 481 . . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> A e. RR )
85 suprleub 10989 . . . 4 |- ( ( ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. v e. RR A. u e. T u <_ v ) /\ A e. RR ) -> ( sup ( T , RR , < ) <_ A <-> A. v e. T v <_ A ) )
8683, 84, 85syl2anc 693 . . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( sup ( T , RR , < ) <_ A <-> A. v e. T v <_ A ) )
8782, 86mpbird 247 . 2 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> sup ( T , RR , < ) <_ A )
885, 87eqbrtrd 4675 1 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B ^ 2 ) <_ A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   2c2 11070   RR+crp 11832   ^cexp 12860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861
This theorem is referenced by:  sqrlem7  13989
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