Theorem sqrlem7 13989

Description: Lemma for 01sqrex 13990. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	|- S = { x e. RR+ | ( x ^ 2 ) <_ A }
sqrlem1.2	|- B = sup ( S , RR , < )
sqrlem5.3	|- T = { y | E. a e. S E. b e. S y = ( a x. b ) }

Assertion

Ref	Expression
sqrlem7	|- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B ^ 2 ) = A )

Distinct variable groups:   a, b, y, S   x, a, A, b, y   y, B

Allowed substitution hints:   B( x, a, b)   S( x)   T( x, y, a, b)

Proof of Theorem sqrlem7

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem1.1	. . 3 |- S = { x e. RR+ | ( x ^ 2 ) <_ A }
2		sqrlem1.2	. . 3 |- B = sup ( S , RR , < )
3		sqrlem5.3	. . 3 |- T = { y | E. a e. S E. b e. S y = ( a x. b ) }
4	1, 2, 3	sqrlem6 13988	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B ^ 2 ) <_ A )
5	1, 2	sqrlem3 13985	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. S z <_ y ) )
6	5	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. S z <_ y ) )
7	1, 2	sqrlem4 13986	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B e. RR+ /\ B <_ 1 ) )
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( B e. RR+ /\ B <_ 1 ) )
9	8	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> B e. RR+ )
10		rpre 11839	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> A e. RR )
12		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR+ -> B e. RR )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR+ /\ B <_ 1 ) -> B e. RR )
14	7, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> B e. RR )
15	14	resqcld 13035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B ^ 2 ) e. RR )
16	11, 15	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR )
17	16	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR )
18	15, 11	posdifd 10614	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( ( B ^ 2 ) < A <-> 0 < ( A - ( B ^ 2 ) ) ) )
19	18	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> 0 < ( A - ( B ^ 2 ) ) )
20	17, 19	elrpd 11869	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR+ )
21		3re 11094	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
22		3pos 11114	. . . . . . . 8 |- 0 < 3
23	21, 22	elrpii 11835	. . . . . . 7 |- 3 e. RR+
24		rpdivcl 11856	. . . . . . 7 |- ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR+ /\ 3 e. RR+ ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. RR+ )
25	20, 23, 24	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. RR+ )
26	9, 25	rpaddcld 11887	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. RR+ )
27	14	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> B e. RR )
28	27	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> B e. CC )
29		3nn 11186	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. NN
30		nndivre 11056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. RR )
31	16, 29, 30	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. RR )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. RR )
33	32	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. CC )
34		binom2 12979	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. CC ) -> ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
35	28, 33, 34	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) )
36	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( B ^ 2 ) e. RR )
37	36	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
38		2re 11090	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
39	27, 32	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. RR )
40		remulcl 10021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) e. RR )
41	38, 39, 40	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) e. RR )
42	41	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) e. CC )
43	32	resqcld 13035	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) e. RR )
44	43	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) e. CC )
45	37, 42, 44	addassd 10062	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( B ^ 2 ) + ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) = ( ( B ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) )
46	35, 45	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( B ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) )
47		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
48		mulass 10024	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. CC /\ B e. CC /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. CC ) -> ( ( 2 x. B ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) = ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) )
49	47, 48	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. CC /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. CC ) -> ( ( 2 x. B ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) = ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) )
50	28, 33, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. B ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) = ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) )
51	50	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) = ( ( 2 x. B ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) )
52	33	sqvald 13005	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) = ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) )
53	51, 52	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. B ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) )
54		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR /\ B e. RR ) -> ( 2 x. B ) e. RR )
55	38, 27, 54	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 2 x. B ) e. RR )
56	55	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 2 x. B ) e. CC )
57	56, 33, 33	adddird 10065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) = ( ( ( 2 x. B ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) )
58	53, 57	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) )
59	7	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> B <_ 1 )
60		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < 2
61		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR
62		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( B <_ 1 <-> ( 2 x. B ) <_ ( 2 x. 1 ) ) )
63	61, 62	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( B <_ 1 <-> ( 2 x. B ) <_ ( 2 x. 1 ) ) )
64	38, 60, 63	mpanr12 721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B e. RR -> ( B <_ 1 <-> ( 2 x. B ) <_ ( 2 x. 1 ) ) )
65	14, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B <_ 1 <-> ( 2 x. B ) <_ ( 2 x. 1 ) ) )
66	59, 65	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( 2 x. B ) <_ ( 2 x. 1 ) )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 2 x. B ) <_ ( 2 x. 1 ) )
68		2t1e2 11176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. 1 ) = 2
69	67, 68	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 2 x. B ) <_ 2 )
70	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> A e. RR )
71	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> 1 e. RR )
72	27	sqge0d 13036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> 0 <_ ( B ^ 2 ) )
73	70, 36	addge01d 10615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 0 <_ ( B ^ 2 ) <-> A <_ ( A + ( B ^ 2 ) ) ) )
74	72, 73	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> A <_ ( A + ( B ^ 2 ) ) )
75	70, 36, 70	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ A <-> A <_ ( A + ( B ^ 2 ) ) ) )
76	74, 75	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ A )
77		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> A <_ 1 )
78	17, 70, 71, 76, 77	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 1 )
79		1le3 11244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 <_ 3
80		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR /\ 1 e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 1 /\ 1 <_ 3 ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 3 ) )
81	61, 21, 80	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 1 /\ 1 <_ 3 ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 3 ) )
82	17, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 1 /\ 1 <_ 3 ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 3 ) )
83	79, 82	mpan2i 713	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 1 -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 3 ) )
84	78, 83	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ 3 )
85		3t1e3 11178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 x. 1 ) = 3
86	84, 85	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ ( 3 x. 1 ) )
87		ledivmul 10899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 <-> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ ( 3 x. 1 ) ) )
88	61, 87	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 <-> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ ( 3 x. 1 ) ) )
89	21, 22, 88	mpanr12 721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. RR -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 <-> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ ( 3 x. 1 ) ) )
90	17, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 <-> ( A - ( B ^ 2 ) ) <_ ( 3 x. 1 ) ) )
91	86, 90	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 )
92		le2add 10510	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( 2 x. B ) e. RR /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. RR ) /\ ( 2 e. RR /\ 1 e. RR ) ) -> ( ( ( 2 x. B ) <_ 2 /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 ) -> ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ ( 2 + 1 ) ) )
93	38, 61, 92	mpanr12 721	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 x. B ) e. RR /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) e. RR ) -> ( ( ( 2 x. B ) <_ 2 /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 ) -> ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ ( 2 + 1 ) ) )
94	55, 32, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( 2 x. B ) <_ 2 /\ ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <_ 1 ) -> ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ ( 2 + 1 ) ) )
95	69, 91, 94	mp2and 715	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ ( 2 + 1 ) )
96		df-3 11080	. . . . . . . . . . 11 |- 3 = ( 2 + 1 )
97	95, 96	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ 3 )
98	55, 32	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. RR )
99	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> 3 e. RR )
100	98, 99, 25	lemul1d 11915	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ 3 <-> ( ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ ( 3 x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) )
101	97, 100	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ ( 3 x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) )
102	17	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( A - ( B ^ 2 ) ) e. CC )
103		3cn 11095	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. CC
104		3ne0 11115	. . . . . . . . . . 11 |- 3 =/= 0
105		divcan2 10693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. CC /\ 3 e. CC /\ 3 =/= 0 ) -> ( 3 x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) = ( A - ( B ^ 2 ) ) )
106	103, 104, 105	mp3an23 1416	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A - ( B ^ 2 ) ) e. CC -> ( 3 x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) = ( A - ( B ^ 2 ) ) )
107	102, 106	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( 3 x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) = ( A - ( B ^ 2 ) ) )
108	101, 107	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( 2 x. B ) + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ ( A - ( B ^ 2 ) ) )
109	58, 108	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) <_ ( A - ( B ^ 2 ) ) )
110	41, 43	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) e. RR )
111	36, 110, 70	leaddsub2d 10629	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( ( B ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) <_ A <-> ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) <_ ( A - ( B ^ 2 ) ) ) )
112	109, 111	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( B ^ 2 ) + ( ( 2 x. ( B x. ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) + ( ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ^ 2 ) ) ) <_ A )
113	46, 112	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ^ 2 ) <_ A )
114		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( y = ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) -> ( y ^ 2 ) = ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ^ 2 ) )
115	114	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( y = ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) -> ( ( y ^ 2 ) <_ A <-> ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ^ 2 ) <_ A ) )
116		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
117	116	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( x ^ 2 ) <_ A <-> ( y ^ 2 ) <_ A ) )
118	117	cbvrabv 3199	. . . . . . 7 |- { x e. RR+ | ( x ^ 2 ) <_ A } = { y e. RR+ | ( y ^ 2 ) <_ A }
119	1, 118	eqtri 2644	. . . . . 6 |- S = { y e. RR+ | ( y ^ 2 ) <_ A }
120	115, 119	elrab2 3366	. . . . 5 |- ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. S <-> ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. RR+ /\ ( ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ^ 2 ) <_ A ) )
121	26, 113, 120	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. S )
122		suprub 10984	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. S z <_ y ) /\ ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. S ) -> ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ sup ( S , RR , < ) )
123	122, 2	syl6breqr 4695	. . . 4 |- ( ( ( S C_ RR /\ S =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. S z <_ y ) /\ ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. S ) -> ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ B )
124	6, 121, 123	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ B )
125	25	rpgt0d 11875	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> 0 < ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) )
126	31, 14	ltaddposd 10611	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( 0 < ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <-> B < ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) ) )
127	14, 31	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) e. RR )
128	14, 127	ltnled 10184	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B < ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <-> -. ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ B ) )
129	126, 128	bitrd 268	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( 0 < ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) <-> -. ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ B ) )
130	129	biimpa 501	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ 0 < ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) -> -. ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ B )
131	125, 130	syldan 487	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) /\ ( B ^ 2 ) < A ) -> -. ( B + ( ( A - ( B ^ 2 ) ) / 3 ) ) <_ B )
132	124, 131	pm2.65da 600	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> -. ( B ^ 2 ) < A )
133	15, 11	eqleltd 10181	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( ( B ^ 2 ) = A <-> ( ( B ^ 2 ) <_ A /\ -. ( B ^ 2 ) < A ) ) )
134	4, 132, 133	mpbir2and 957	1 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> ( B ^ 2 ) = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   RR+crp 11832   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  01sqrex  13990