sseqp1 - Mathbox for Thierry Arnoux

	Mathbox for Thierry Arnoux		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > sseqp1		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem sseqp1 30457

Description: Value of the strong sequence builder function at a successor. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Apr-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sseqval.1
sseqval.2	Word
sseqval.3	Word
sseqval.4
sseqfv2.4

**Assertion**
Ref	Expression
sseqp1	seq_str seq_str ..^

Proof of Theorem sseqp1 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqval.1	. . 3
2		sseqval.2	. . 3 Word
3		sseqval.3	. . 3 Word
4		sseqval.4	. . 3
5		sseqfv2.4	. . 3
6	1, 2, 3, 4, 5	sseqfv2 30456	. 2 seq_str lastS ++ ++
7		fveq2 6191	. . . . . . 7 ++ ++ ++ ++
8		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ..^ ..^
9	8	reseq2d 5396	. . . . . . . 8 seq_str ..^ seq_str ..^
10	9	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 seq_str ..^ seq_str ..^
11	10	s1eqd 13381	. . . . . . . 8 seq_str ..^ seq_str ..^
12	9, 11	oveq12d 6668	. . . . . . 7 seq_str ..^ ++ seq_str ..^ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
13	7, 12	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
14	13	imbi2d 330	. . . . 5 ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
15		fveq2 6191	. . . . . . 7 ++ ++ ++ ++
16		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ..^ ..^
17	16	reseq2d 5396	. . . . . . . 8 seq_str ..^ seq_str ..^
18	17	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 seq_str ..^ seq_str ..^
19	18	s1eqd 13381	. . . . . . . 8 seq_str ..^ seq_str ..^
20	17, 19	oveq12d 6668	. . . . . . 7 seq_str ..^ ++ seq_str ..^ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
21	15, 20	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
22	21	imbi2d 330	. . . . 5 ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
23		fveq2 6191	. . . . . . 7 ++ ++ ++ ++
24		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ..^ ..^
25	24	reseq2d 5396	. . . . . . . 8 seq_str ..^ seq_str ..^
26	25	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 seq_str ..^ seq_str ..^
27	26	s1eqd 13381	. . . . . . . 8 seq_str ..^ seq_str ..^
28	25, 27	oveq12d 6668	. . . . . . 7 seq_str ..^ ++ seq_str ..^ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
29	23, 28	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
30	29	imbi2d 330	. . . . 5 ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
31		fveq2 6191	. . . . . . 7 ++ ++ ++ ++
32		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ..^ ..^
33	32	reseq2d 5396	. . . . . . . 8 seq_str ..^ seq_str ..^
34	33	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 seq_str ..^ seq_str ..^
35	34	s1eqd 13381	. . . . . . . 8 seq_str ..^ seq_str ..^
36	33, 35	oveq12d 6668	. . . . . . 7 seq_str ..^ ++ seq_str ..^ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
37	31, 36	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
38	37	imbi2d 330	. . . . 5 ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
39		ovex 6678	. . . . . . . 8 ++
40		lencl 13324	. . . . . . . . 9 Word
41	2, 40	syl 17	. . . . . . . 8
42		fvconst2g 6467	. . . . . . . 8 ++ $/\$ ++ ++
43	39, 41, 42	sylancr 695	. . . . . . 7 ++ ++
44	40	nn0zd 11480	. . . . . . . 8 Word
45		seq1 12814	. . . . . . . 8 ++ ++ ++
46	2, 44, 45	3syl 18	. . . . . . 7 ++ ++ ++
47	1, 2, 3, 4	sseqfres 30455	. . . . . . . 8 seq_str ..^
48	47	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 seq_str ..^
49	48	s1eqd 13381	. . . . . . . 8 seq_str ..^
50	47, 49	oveq12d 6668	. . . . . . 7 seq_str ..^ ++ seq_str ..^ ++
51	43, 46, 50	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
52	51	a1i 11	. . . . 5 ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
53		seqp1 12816	. . . . . . . . . . . 12 ++ ++ ++ ++ ++ ++
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ++ ++ ++ ++ ++ ++
55		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15
56		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
57	56	s1eqd 13381	. . . . . . . . . . . . . . 15
58	55, 57	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 ++ ++
59		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 ++ ++
60	58, 59	cbvmpt2v 6735	. . . . . . . . . . . . 13 ++ ++
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ++ ++
62		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ ++ ++ $/\$ ++ ++ ++
63	62	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ ++ ++ $/\$ ++ ++ ++
64	63	s1eqd 13381	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ ++ ++ $/\$ ++ ++ ++
65	62, 64	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ ++ ++ $/\$ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++
66		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ++ ++
67		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ++
68		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 ++ ++ ++ ++ ++
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ++ ++ ++ ++ ++
70	61, 65, 66, 67, 69	ovmpt2d 6788	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++
71	54, 70	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++
72	71	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++
73	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
74	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ Word
75	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
76		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
77	73, 74, 3, 75, 76	sseqfv2 30456	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ seq_str lastS ++ ++
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ seq_str lastS ++ ++
79		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
80	79	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ lastS ++ ++ lastS seq_str ..^ ++ seq_str ..^
81	1, 2, 3, 4	sseqf 30454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 seq_str
82		fzo0ssnn0 12548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
83		fssres 6070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 seq_str $/\$ ..^ seq_str ..^..^
84	81, 82, 83	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 seq_str ..^..^
85		iswrdi 13309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 seq_str ..^..^ seq_str ..^ Word
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 seq_str ..^ Word
87	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ seq_str ..^ Word
88		elex 3212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 seq_str ..^ Word seq_str ..^
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ seq_str ..^
90	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ seq_str
91		eluznn0 11757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
92	41, 91	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
93	73, 90, 92	subiwrdlen 30448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ seq_str ..^
94	93, 76	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ seq_str ..^
95		hashf 13125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
96		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
97		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 seq_str ..^ seq_str ..^ $/\$ seq_str ..^
98	95, 96, 97	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 seq_str ..^ seq_str ..^ $/\$ seq_str ..^
99	89, 94, 98	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ seq_str ..^
100	87, 99	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ seq_str ..^ Word
101	100, 3	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ seq_str ..^
102	75, 101	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ seq_str ..^
103		lswccats1 13411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 seq_str ..^ Word $/\$ seq_str ..^ lastS seq_str ..^ ++ seq_str ..^ seq_str ..^
104	87, 102, 103	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ lastS seq_str ..^ ++ seq_str ..^ seq_str ..^
105	104	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ lastS seq_str ..^ ++ seq_str ..^ seq_str ..^
106	78, 80, 105	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ seq_str ..^ seq_str
107	106	s1eqd 13381	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ seq_str ..^ seq_str
108	107	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ seq_str ..^ ++ seq_str
109	73, 90, 92	iwrdsplit 30449	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ seq_str ..^ seq_str ..^ ++ seq_str
110	109	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ seq_str ..^ seq_str ..^ ++ seq_str
111	108, 79, 110	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ ++ ++ seq_str ..^
112	111	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ ++ ++ seq_str ..^
113	112	s1eqd 13381	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ ++ ++ seq_str ..^
114	111, 113	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ ++ ++ ++ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
115	72, 114	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
116	115	ex 450	. . . . . . 7 $/\$ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
117	116	expcom 451	. . . . . 6 ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
118	117	a2d 29	. . . . 5 ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^ ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
119	14, 22, 30, 38, 52, 118	uzind4 11746	. . . 4 ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
120	5, 119	mpcom 38	. . 3 ++ ++ seq_str ..^ ++ seq_str ..^
121	120	fveq2d 6195	. 2 lastS ++ ++ lastS seq_str ..^ ++ seq_str ..^
122		fzo0ssnn0 12548	. . . . 5 ..^
123		fssres 6070	. . . . 5 seq_str $/\$ ..^ seq_str ..^..^
124	81, 122, 123	sylancl 694	. . . 4 seq_str ..^..^
125		iswrdi 13309	. . . 4 seq_str ..^..^ seq_str ..^ Word
126	124, 125	syl 17	. . 3 seq_str ..^ Word
127		elex 3212	. . . . . . . 8 seq_str ..^ Word seq_str ..^
128	126, 127	syl 17	. . . . . . 7 seq_str ..^
129		eluznn0 11757	. . . . . . . . . 10 $/\$
130	41, 5, 129	syl2anc 693	. . . . . . . . 9
131	1, 81, 130	subiwrdlen 30448	. . . . . . . 8 seq_str ..^
132	131, 5	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 seq_str ..^
133		elpreima 6337	. . . . . . . 8 seq_str ..^ seq_str ..^ $/\$ seq_str ..^
134	95, 96, 133	mp2b 10	. . . . . . 7 seq_str ..^ seq_str ..^ $/\$ seq_str ..^
135	128, 132, 134	sylanbrc 698	. . . . . 6 seq_str ..^
136	126, 135	elind 3798	. . . . 5 seq_str ..^ Word
137	136, 3	syl6eleqr 2712	. . . 4 seq_str ..^
138	4, 137	ffvelrnd 6360	. . 3 seq_str ..^
139		lswccats1 13411	. . 3 seq_str ..^ Word $/\$ seq_str ..^ lastS seq_str ..^ ++ seq_str ..^ seq_str ..^
140	126, 138, 139	syl2anc 693	. 2 lastS seq_str ..^ ++ seq_str ..^ seq_str ..^
141	6, 121, 140	3eqtrd 2660	1 seq_str seq_str ..^

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

cvv 3200

cun 3572

cin 3573

wss 3574

csn 4177

cxp 5112

ccnv 5113

cres 5116

cima 5117

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmpt2 6652

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cpnf 10071

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687 ..^cfzo 12465

cseq 12801

chash 13117 Word cword 13291 lastS clsw 13292 ++ cconcat 13293

cs1 13294 seq_strcsseq 30445

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-hash 13118 df-word 13299 df-lsw 13300 df-concat 13301 df-s1 13302 df-substr 13303 df-sseq 30446

This theorem is referenced by: fibp1 30463

W3C validator