Theorem repswswrd 13531

Description: A subword of a "repeated symbol word" is again a "repeated symbol word". The assumption N <_ L is required, because otherwise ( L < N ): ( ( S repeatS L ) substr <. M , N >. ) = (/), but for M < N ( S repeatS ( N - M ) ) ) =/= (/)! The proof is relatively long because the border cases ( M = N, -. ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) must have been considered. (Contributed by AV, 6-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repswswrd	|- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( ( S repeatS L ) substr <. M , N >. ) = ( S repeatS ( N - M ) ) )

Proof of Theorem repswswrd

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repsw 13522	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> ( S repeatS L ) e. Word V )
2		nn0z 11400	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> M e. ZZ )
3		nn0z 11400	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
4	2, 3	anim12i 590	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
5	1, 4	anim12i 590	. . . . 5 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( S repeatS L ) e. Word V /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) )
6		3anass 1042	. . . . 5 |- ( ( ( S repeatS L ) e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) <-> ( ( S repeatS L ) e. Word V /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) )
7	5, 6	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( S repeatS L ) e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
8	7	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( ( S repeatS L ) e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
9		swrdval 13417	. . 3 |- ( ( ( S repeatS L ) e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( S repeatS L ) substr <. M , N >. ) = if ( ( M..^ N ) C_ dom ( S repeatS L ) , ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) , (/) ) )
10	8, 9	syl 17	. 2 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( ( S repeatS L ) substr <. M , N >. ) = if ( ( M..^ N ) C_ dom ( S repeatS L ) , ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) , (/) ) )
11		repsf 13520	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> ( S repeatS L ) : ( 0..^ L ) --> V )
12	11	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( S repeatS L ) : ( 0..^ L ) --> V )
13		fdm 6051	. . . . 5 |- ( ( S repeatS L ) : ( 0..^ L ) --> V -> dom ( S repeatS L ) = ( 0..^ L ) )
14	12, 13	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> dom ( S repeatS L ) = ( 0..^ L ) )
15	14	sseq2d 3633	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( ( M..^ N ) C_ dom ( S repeatS L ) <-> ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) ) )
16	15	ifbid 4108	. 2 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> if ( ( M..^ N ) C_ dom ( S repeatS L ) , ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) , (/) ) = if ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) , ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) , (/) ) )
17		fzon 12489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ M <-> ( M..^ N ) = (/) ) )
18	4, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N <_ M <-> ( M..^ N ) = (/) ) )
19	18	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( N <_ M <-> ( M..^ N ) = (/) ) )
20	19	biimpac 503	. . . . . . . 8 |- ( ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( M..^ N ) = (/) )
21		0ss 3972	. . . . . . . 8 |- (/) C_ ( 0..^ L )
22	20, 21	syl6eqss 3655	. . . . . . 7 |- ( ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) )
23		iftrue 4092	. . . . . . 7 |- ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) -> if ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) , ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) , (/) ) = ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> if ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) , ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) , (/) ) = ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) )
25		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
26		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
27	25, 26	anim12ci 591	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N e. RR /\ M e. RR ) )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( N e. RR /\ M e. RR ) )
29		suble0 10542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( N - M ) <_ 0 <-> N <_ M ) )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( N - M ) <_ 0 <-> N <_ M ) )
31	30	biimparc 504	. . . . . . . 8 |- ( ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( N - M ) <_ 0 )
32		0z 11388	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
33		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N - M ) e. ZZ )
34	3, 2, 33	syl2anr 495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N - M ) e. ZZ )
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( N - M ) e. ZZ )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( N - M ) e. ZZ )
37		fzon 12489	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( N - M ) e. ZZ ) -> ( ( N - M ) <_ 0 <-> ( 0..^ ( N - M ) ) = (/) ) )
38	32, 36, 37	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( ( N - M ) <_ 0 <-> ( 0..^ ( N - M ) ) = (/) ) )
39	31, 38	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( 0..^ ( N - M ) ) = (/) )
40	39	mpteq1d 4738	. . . . . 6 |- ( ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) = ( x e. (/) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) )
41		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M = N -> ( N - M ) = ( N - N ) )
42	41	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M = N -> ( S repeatS ( N - M ) ) = ( S repeatS ( N - N ) ) )
43		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. CC )
45	44	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N - N ) = 0 )
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( N - N ) = 0 )
47	46	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( S repeatS ( N - N ) ) = ( S repeatS 0 ) )
48		repsw0 13524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. V -> ( S repeatS 0 ) = (/) )
49	48	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( S repeatS 0 ) = (/) )
50	47, 49	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( S repeatS ( N - N ) ) = (/) )
51	42, 50	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) /\ M = N ) -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) )
52	51	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( M = N -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) ) )
53	52	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( M = N -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) ) )
54	53	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( M = N -> ( ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) ) )
55		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N - M ) e. NN0 <-> ( ( N - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N - M ) ) )
56		subge0 10541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. RR /\ M e. RR ) -> ( 0 <_ ( N - M ) <-> M <_ N ) )
57	26, 25, 56	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( N - M ) <-> M <_ N ) )
58	25, 26	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M e. RR /\ N e. RR ) )
59		letri3 10123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M = N <-> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M = N <-> ( M <_ N /\ N <_ M ) ) )
61	60	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M <_ N /\ N <_ M ) -> M = N ) )
62	61	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M <_ N -> ( N <_ M -> M = N ) ) )
63	57, 62	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 <_ ( N - M ) -> ( N <_ M -> M = N ) ) )
64	63	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N <_ M -> ( 0 <_ ( N - M ) -> M = N ) ) )
65	64	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( N <_ M -> ( 0 <_ ( N - M ) -> M = N ) ) )
66	65	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( 0 <_ ( N - M ) -> M = N ) )
67	66	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 <_ ( N - M ) -> ( ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> M = N ) )
68	67	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N - M ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N - M ) ) -> ( ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> M = N ) )
69	55, 68	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N - M ) e. NN0 -> ( ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> M = N ) )
70	69	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( ( N - M ) e. NN0 -> M = N ) )
71	70	con3d 148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( -. M = N -> -. ( N - M ) e. NN0 ) )
72	71	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. M = N /\ ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) ) -> -. ( N - M ) e. NN0 )
73		df-nel 2898	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N - M ) e/ NN0 <-> -. ( N - M ) e. NN0 )
74	72, 73	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. M = N /\ ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) ) -> ( N - M ) e/ NN0 )
75		repsundef 13518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N - M ) e/ NN0 -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) )
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. M = N /\ ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) ) -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) )
77	76	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( -. M = N -> ( ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) ) )
78	54, 77	pm2.61i 176	. . . . . . 7 |- ( ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) )
79		mpt0 6021	. . . . . . 7 |- ( x e. (/) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) = (/)
80	78, 79	syl6reqr 2675	. . . . . 6 |- ( ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( x e. (/) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) = ( S repeatS ( N - M ) ) )
81	24, 40, 80	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( N <_ M /\ ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> if ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) , ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) , (/) ) = ( S repeatS ( N - M ) ) )
82	81	expcom 451	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( N <_ M -> if ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) , ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) , (/) ) = ( S repeatS ( N - M ) ) ) )
83	82	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( N <_ M -> if ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) , ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) , (/) ) = ( S repeatS ( N - M ) ) ) )
84		ltnle 10117	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M < N <-> -. N <_ M ) )
85	58, 84	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M < N <-> -. N <_ M ) )
86	85	bicomd 213	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( -. N <_ M <-> M < N ) )
87	86	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( -. N <_ M <-> M < N ) )
88	23	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) /\ ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) ) -> if ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) , ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) , (/) ) = ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) )
89	4	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
91		0zd 11389	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. V -> 0 e. ZZ )
92		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L e. NN0 -> L e. ZZ )
93	91, 92	anim12i 590	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ ) )
94	93	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ ) )
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ ) )
96		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> M < N )
97		ssfzo12bi 12563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ M < N ) -> ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) <-> ( 0 <_ M /\ N <_ L ) ) )
98	90, 95, 96, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) <-> ( 0 <_ M /\ N <_ L ) ) )
99		simpl1l 1112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> S e. V )
100	99	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) /\ ( 0 <_ M /\ N <_ L ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> S e. V )
101		simpl1r 1113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> L e. NN0 )
102	101	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) /\ ( 0 <_ M /\ N <_ L ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> L e. NN0 )
103		elfzonn0 12512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> x e. NN0 )
104		nn0addcl 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( x + M ) e. NN0 )
105	104	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( M e. NN0 -> ( x e. NN0 -> ( x + M ) e. NN0 ) )
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( x e. NN0 -> ( x + M ) e. NN0 ) )
107	106	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( x e. NN0 -> ( x + M ) e. NN0 ) )
108	107	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) /\ ( 0 <_ M /\ N <_ L ) ) -> ( x e. NN0 -> ( x + M ) e. NN0 ) )
109	103, 108	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) /\ ( 0 <_ M /\ N <_ L ) ) -> ( x + M ) e. NN0 ) )
110	109	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) /\ ( 0 <_ M /\ N <_ L ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> ( x + M ) e. NN0 )
111	92	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> L e. ZZ )
112	111	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> L e. ZZ )
113	112	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> L e. ZZ )
114		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( L e. NN0 -> L e. RR )
115	114	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> L e. RR )
116	115, 58	anim12ci 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( M e. RR /\ N e. RR ) /\ L e. RR ) )
117		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ L e. RR ) <-> ( ( M e. RR /\ N e. RR ) /\ L e. RR ) )
118	116, 117	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( M e. RR /\ N e. RR /\ L e. RR ) )
119		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( M < N /\ N <_ L ) -> M < L ) )
120	118, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( M < N /\ N <_ L ) -> M < L ) )
121		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) )
122		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. ZZ /\ ( S e. V /\ L e. NN0 ) ) -> 0 e. RR )
123		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
124	123	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. ZZ /\ ( S e. V /\ L e. NN0 ) ) -> M e. RR )
125	115	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( M e. ZZ /\ ( S e. V /\ L e. NN0 ) ) -> L e. RR )
126		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( 0 <_ M /\ M < L ) -> 0 < L ) )
127	122, 124, 125, 126	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( M e. ZZ /\ ( S e. V /\ L e. NN0 ) ) -> ( ( 0 <_ M /\ M < L ) -> 0 < L ) )
128	127	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( M e. ZZ /\ ( S e. V /\ L e. NN0 ) ) -> ( 0 <_ M -> ( M < L -> 0 < L ) ) )
129	128	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) -> ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> ( M < L -> 0 < L ) ) )
130	121, 129	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN0 -> ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> ( M < L -> 0 < L ) ) )
131	130	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> ( M < L -> 0 < L ) ) )
132	131	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( M < L -> 0 < L ) )
133	120, 132	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( M < N /\ N <_ L ) -> 0 < L ) )
134	133	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( N <_ L -> ( M < N -> 0 < L ) ) )
135	134	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( M < N -> 0 < L ) )
136	135	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> 0 < L )
137		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( L e. NN <-> ( L e. ZZ /\ 0 < L ) )
138	113, 136, 137	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> L e. NN )
139	138	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) /\ ( 0 <_ M /\ N <_ L ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> L e. NN )
140		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) <-> ( x e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN /\ x < ( N - M ) ) )
141		nn0readdcl 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( x e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( x + M ) e. RR )
142	141	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( M e. NN0 -> ( x e. NN0 -> ( x + M ) e. RR ) )
143	142	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( x e. NN0 -> ( x + M ) e. RR ) )
144	143	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( x e. NN0 /\ ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( x + M ) e. RR )
145	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. RR )
146	145	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> N e. RR )
147	146	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( x e. NN0 /\ ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> N e. RR )
148	114	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( x e. NN0 /\ ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> L e. RR )
149	144, 147, 148	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( x e. NN0 /\ ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( ( x + M ) e. RR /\ N e. RR /\ L e. RR ) )
150	149	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x e. NN0 -> ( ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( x + M ) e. RR /\ N e. RR /\ L e. RR ) ) )
151	150	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. NN0 /\ x < ( N - M ) ) -> ( ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( x + M ) e. RR /\ N e. RR /\ L e. RR ) ) )
152	151	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) /\ ( x e. NN0 /\ x < ( N - M ) ) ) -> ( ( x + M ) e. RR /\ N e. RR /\ L e. RR ) )
153	152	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) /\ ( x e. NN0 /\ x < ( N - M ) ) ) /\ N <_ L ) -> ( ( x + M ) e. RR /\ N e. RR /\ L e. RR ) )
154		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( x e. NN0 -> x e. RR )
155	154	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( x e. NN0 /\ ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> x e. RR )
156	25	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> M e. RR )
157	156	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( x e. NN0 /\ ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> M e. RR )
158	155, 157, 147	ltaddsubd 10627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( x e. NN0 /\ ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( ( x + M ) < N <-> x < ( N - M ) ) )
159		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( x e. NN0 /\ ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) /\ N <_ L ) -> ( ( x + M ) < N -> ( x + M ) < N ) )
160	159	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( x e. NN0 /\ ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( N <_ L -> ( ( x + M ) < N -> ( x + M ) < N ) ) )
161	160	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( x e. NN0 /\ ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( ( x + M ) < N -> ( N <_ L -> ( x + M ) < N ) ) )
162	158, 161	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( x e. NN0 /\ ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) ) -> ( x < ( N - M ) -> ( N <_ L -> ( x + M ) < N ) ) )
163	162	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. NN0 /\ x < ( N - M ) ) -> ( ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( N <_ L -> ( x + M ) < N ) ) )
164	163	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) /\ ( x e. NN0 /\ x < ( N - M ) ) ) -> ( N <_ L -> ( x + M ) < N ) )
165	164	impac 651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) /\ ( x e. NN0 /\ x < ( N - M ) ) ) /\ N <_ L ) -> ( ( x + M ) < N /\ N <_ L ) )
166		ltletr 10129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( x + M ) e. RR /\ N e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( ( x + M ) < N /\ N <_ L ) -> ( x + M ) < L ) )
167	153, 165, 166	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) /\ ( x e. NN0 /\ x < ( N - M ) ) ) /\ N <_ L ) -> ( x + M ) < L )
168	167	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( x e. NN0 /\ x < ( N - M ) ) -> ( N <_ L -> ( x + M ) < L ) ) )
169	168	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( L e. NN0 /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( N <_ L -> ( ( x e. NN0 /\ x < ( N - M ) ) -> ( x + M ) < L ) ) )
170	169	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( L e. NN0 -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N <_ L -> ( ( x e. NN0 /\ x < ( N - M ) ) -> ( x + M ) < L ) ) ) )
171	170	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) -> ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N <_ L -> ( ( x e. NN0 /\ x < ( N - M ) ) -> ( x + M ) < L ) ) ) )
172	171	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( ( x e. NN0 /\ x < ( N - M ) ) -> ( x + M ) < L ) )
173	172	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) /\ ( 0 <_ M /\ N <_ L ) ) -> ( ( x e. NN0 /\ x < ( N - M ) ) -> ( x + M ) < L ) )
174	173	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. NN0 /\ x < ( N - M ) ) -> ( ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) /\ ( 0 <_ M /\ N <_ L ) ) -> ( x + M ) < L ) )
175	174	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. NN0 /\ ( N - M ) e. NN /\ x < ( N - M ) ) -> ( ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) /\ ( 0 <_ M /\ N <_ L ) ) -> ( x + M ) < L ) )
176	140, 175	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) /\ ( 0 <_ M /\ N <_ L ) ) -> ( x + M ) < L ) )
177	176	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) /\ ( 0 <_ M /\ N <_ L ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> ( x + M ) < L )
178		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x + M ) e. ( 0..^ L ) <-> ( ( x + M ) e. NN0 /\ L e. NN /\ ( x + M ) < L ) )
179	110, 139, 177, 178	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) /\ ( 0 <_ M /\ N <_ L ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> ( x + M ) e. ( 0..^ L ) )
180		repswsymb 13521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. V /\ L e. NN0 /\ ( x + M ) e. ( 0..^ L ) ) -> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) = S )
181	100, 102, 179, 180	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) /\ ( 0 <_ M /\ N <_ L ) ) /\ x e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) = S )
182	181	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) /\ ( 0 <_ M /\ N <_ L ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> S ) )
183	34	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( N - M ) e. ZZ )
184	183	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> ( N - M ) e. ZZ )
185	58	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( M e. RR /\ N e. RR ) )
186		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M < N -> M <_ N ) )
187	185, 186	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( M < N -> M <_ N ) )
188	27	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( N e. RR /\ M e. RR ) )
189	188, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( 0 <_ ( N - M ) <-> M <_ N ) )
190	187, 189	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( M < N -> 0 <_ ( N - M ) ) )
191	190	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> 0 <_ ( N - M ) )
192	184, 191, 55	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> ( N - M ) e. NN0 )
193	99, 192	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> ( S e. V /\ ( N - M ) e. NN0 ) )
194	193	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) /\ ( 0 <_ M /\ N <_ L ) ) -> ( S e. V /\ ( N - M ) e. NN0 ) )
195		reps 13517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. V /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( S repeatS ( N - M ) ) = ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> S ) )
196	195	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. V /\ ( N - M ) e. NN0 ) -> ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> S ) = ( S repeatS ( N - M ) ) )
197	194, 196	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) /\ ( 0 <_ M /\ N <_ L ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> S ) = ( S repeatS ( N - M ) ) )
198	182, 197	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) /\ ( 0 <_ M /\ N <_ L ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) = ( S repeatS ( N - M ) ) )
199	198	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> ( ( 0 <_ M /\ N <_ L ) -> ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) = ( S repeatS ( N - M ) ) ) )
200	98, 199	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) -> ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) = ( S repeatS ( N - M ) ) ) )
201	200	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) /\ ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) = ( S repeatS ( N - M ) ) )
202	88, 201	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) /\ ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) ) -> if ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) , ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) , (/) ) = ( S repeatS ( N - M ) ) )
203		iffalse 4095	. . . . . . . 8 |- ( -. ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) -> if ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) , ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) , (/) ) = (/) )
204	203	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( -. ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) /\ ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) ) -> if ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) , ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) , (/) ) = (/) )
205	98	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> ( -. ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) <-> -. ( 0 <_ M /\ N <_ L ) ) )
206		ianor 509	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( 0 <_ M /\ N <_ L ) <-> ( -. 0 <_ M \/ -. N <_ L ) )
207		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. NN0 -> 0 <_ M )
208		pm2.24 121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 <_ M -> ( -. 0 <_ M -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) ) )
209	207, 208	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN0 -> ( -. 0 <_ M -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) ) )
210	209	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( -. 0 <_ M -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) ) )
211	210	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( -. 0 <_ M -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) ) )
212	211	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> ( -. 0 <_ M -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) ) )
213	212	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. 0 <_ M -> ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) ) )
214		pm2.24 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N <_ L -> ( -. N <_ L -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) ) )
215	214	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( -. N <_ L -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) ) )
216	215	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> ( -. N <_ L -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) ) )
217	216	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. N <_ L -> ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) ) )
218	213, 217	jaoi 394	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. 0 <_ M \/ -. N <_ L ) -> ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) ) )
219	206, 218	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( 0 <_ M /\ N <_ L ) -> ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) ) )
220	219	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> ( -. ( 0 <_ M /\ N <_ L ) -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) ) )
221	205, 220	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> ( -. ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) ) )
222	221	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( -. ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) /\ ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) ) -> ( S repeatS ( N - M ) ) = (/) )
223	204, 222	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( -. ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) /\ ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) ) -> if ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) , ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) , (/) ) = ( S repeatS ( N - M ) ) )
224	202, 223	pm2.61ian 831	. . . . 5 |- ( ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) /\ M < N ) -> if ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) , ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) , (/) ) = ( S repeatS ( N - M ) ) )
225	224	ex 450	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( M < N -> if ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) , ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) , (/) ) = ( S repeatS ( N - M ) ) ) )
226	87, 225	sylbid 230	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( -. N <_ M -> if ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) , ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) , (/) ) = ( S repeatS ( N - M ) ) ) )
227	83, 226	pm2.61d 170	. 2 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> if ( ( M..^ N ) C_ ( 0..^ L ) , ( x e. ( 0..^ ( N - M ) ) |-> ( ( S repeatS L ) ` ( x + M ) ) ) , (/) ) = ( S repeatS ( N - M ) ) )
228	10, 16, 227	3eqtrd 2660	1 |- ( ( ( S e. V /\ L e. NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ N <_ L ) -> ( ( S repeatS L ) substr <. M , N >. ) = ( S repeatS ( N - M ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465  Word cword 13291   substr csubstr 13295   repeatS creps 13298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-substr 13303  df-reps 13306

This theorem is referenced by:  repswcshw  13558