Theorem swrdnd 13432

Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdnd	|- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ ( # ` W ) < L ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )

Proof of Theorem swrdnd

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orcomb 1048	. . . 4 |- ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ ( # ` W ) < L ) <-> ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L \/ L <_ F ) )
2		df-3or 1038	. . . 4 |- ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L \/ L <_ F ) <-> ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) \/ L <_ F ) )
3	1, 2	bitri 264	. . 3 |- ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ ( # ` W ) < L ) <-> ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) \/ L <_ F ) )
4		swrdlend 13431	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ F -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
5	4	com12 32	. . . . 5 |- ( L <_ F -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
6		swrdval 13417	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) )
7	6	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( W substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) )
8		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. ZZ -> F e. RR )
9		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. ZZ -> 0 e. RR )
10	8, 9	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. ZZ -> ( F < 0 <-> -. 0 <_ F ) )
11	10	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < 0 <-> -. 0 <_ F ) )
12		lencl 13324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( W e. Word V -> ( # ` W ) e. NN0 )
13	12	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( W e. Word V -> ( # ` W ) e. RR )
14		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
15	13, 14	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ZZ ) -> ( ( # ` W ) e. RR /\ L e. RR ) )
16	15	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( # ` W ) e. RR /\ L e. RR ) )
17		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( # ` W ) e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( # ` W ) < L <-> -. L <_ ( # ` W ) ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( # ` W ) < L <-> -. L <_ ( # ` W ) ) )
19	11, 18	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) <-> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ ( # ` W ) ) ) )
20	19	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ ( # ` W ) ) ) )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ ( # ` W ) ) ) )
22	21	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ ( # ` W ) ) )
23		ianor 509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( 0 <_ F /\ L <_ ( # ` W ) ) <-> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ ( # ` W ) ) )
24	22, 23	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( 0 <_ F /\ L <_ ( # ` W ) ) )
25		3simpc 1060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) )
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) )
27	12	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( W e. Word V -> ( # ` W ) e. ZZ )
28		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. ZZ
29	27, 28	jctil 560	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W e. Word V -> ( 0 e. ZZ /\ ( # ` W ) e. ZZ ) )
30	29	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 e. ZZ /\ ( # ` W ) e. ZZ ) )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ ( # ` W ) e. ZZ ) )
32		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F e. RR /\ L e. RR ) -> ( F < L <-> -. L <_ F ) )
33	8, 14, 32	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L <-> -. L <_ F ) )
34	33	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L <-> -. L <_ F ) )
35	34	biimprcd 240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. L <_ F -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> F < L ) )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> F < L ) )
37	36	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> F < L )
38		ssfzo12bi 12563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( 0 e. ZZ /\ ( # ` W ) e. ZZ ) /\ F < L ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ ( # ` W ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ ( # ` W ) ) ) )
39	26, 31, 37, 38	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ ( # ` W ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ ( # ` W ) ) ) )
40	24, 39	mtbird 315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ ( # ` W ) ) )
41		wrddm 13312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W e. Word V -> dom W = ( 0..^ ( # ` W ) ) )
42	41	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. Word V -> ( ( F..^ L ) C_ dom W <-> ( F..^ L ) C_ ( 0..^ ( # ` W ) ) ) )
43	42	notbid 308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. Word V -> ( -. ( F..^ L ) C_ dom W <-> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ ( # ` W ) ) ) )
44	43	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. ( F..^ L ) C_ dom W <-> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ ( # ` W ) ) ) )
45	44	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( -. ( F..^ L ) C_ dom W <-> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ ( # ` W ) ) ) )
46	40, 45	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ dom W )
47	46	iffalsed 4097	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
48	7, 47	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) )
49	48	exp31 630	. . . . . 6 |- ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) -> ( -. L <_ F -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) ) )
50	49	impcom 446	. . . . 5 |- ( ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
51	5, 50	jaoi3 1011	. . . 4 |- ( ( L <_ F \/ ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
52	51	orcoms 404	. . 3 |- ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) \/ L <_ F ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
53	3, 52	sylbi 207	. 2 |- ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ ( # ` W ) < L ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
54	53	com12 32	1 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ ( # ` W ) < L ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   substr csubstr 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-substr 13303

This theorem is referenced by:  pfxnd  41395