Theorem stoweidlem46 40263

Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, are a cover of T \ U. Using this lemma, in a later theorem we will prove that a finite subcover exists. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem46.1	|- F/_ t U
stoweidlem46.2	|- F/_ h Q
stoweidlem46.3	|- F/ q ph
stoweidlem46.4	|- F/ t ph
stoweidlem46.5	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem46.6	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem46.7	|- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
stoweidlem46.8	|- T = U. J
stoweidlem46.9	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem46.10	|- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
stoweidlem46.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem46.12	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem46.13	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem46.14	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem46.15	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem46.16	|- ( ph -> Z e. U )
stoweidlem46.17	|- ( ph -> T e. _V )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem46	|- ( ph -> ( T \ U ) C_ U. W )

Distinct variable groups:   f, g, h, t, T   f, q, g, t, T   f, r, q, t, T   x, f, q, t, T   A, f, g, h, t   Q, f, g   U, f, g, q   f, Z, g, h, t   ph, f, g   w, g, h, t, T   g, W   A, q, r   Z, q, x   U, r   ph, r   t, J, w   t, K   w, Q   x, A   x, U   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( w, t, h, q)   A( w)   Q( x, t, h, r, q)   U( w, t, h)   J( x, f, g, h, r, q)   K( x, w, f, g, h, r, q)   W( x, w, t, f, h, r, q)   Z( w, r)

Proof of Theorem stoweidlem46

Dummy variable s is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem46.3	. . . . . . . 8 |- F/ q ph
2		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ q s e. ( T \ U )
3	1, 2	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ q ( ph /\ s e. ( T \ U ) )
4		stoweidlem46.4	. . . . . . . 8 |- F/ t ph
5		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t T
6		stoweidlem46.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t U
7	5, 6	nfdif 3731	. . . . . . . . 9 |- F/_ t ( T \ U )
8	7	nfel2 2781	. . . . . . . 8 |- F/ t s e. ( T \ U )
9	4, 8	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ t ( ph /\ s e. ( T \ U ) )
10		stoweidlem46.2	. . . . . . 7 |- F/_ h Q
11		stoweidlem46.5	. . . . . . 7 |- K = ( topGen ` ran (,) )
12		stoweidlem46.6	. . . . . . 7 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
13		stoweidlem46.8	. . . . . . 7 |- T = U. J
14		stoweidlem46.9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. Comp )
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> J e. Comp )
16		stoweidlem46.10	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> A C_ ( J Cn K ) )
18		stoweidlem46.11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
19	18	3adant1r 1319	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
20		stoweidlem46.12	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
21	20	3adant1r 1319	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
22		stoweidlem46.13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
23	22	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
24		stoweidlem46.14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
25	24	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
26		stoweidlem46.15	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. J )
27	26	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> U e. J )
28		stoweidlem46.16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. U )
29	28	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> Z e. U )
30		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> s e. ( T \ U ) )
31	3, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 30	stoweidlem43 40260	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` s ) ) )
32		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ g ( h e. Q /\ 0 < ( h ` s ) )
33	10	nfel2 2781	. . . . . . . 8 |- F/ h g e. Q
34		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ h 0 < ( g ` s )
35	33, 34	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ h ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) )
36		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( h = g -> ( h e. Q <-> g e. Q ) )
37		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( h = g -> ( h ` s ) = ( g ` s ) )
38	37	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( h = g -> ( 0 < ( h ` s ) <-> 0 < ( g ` s ) ) )
39	36, 38	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( h = g -> ( ( h e. Q /\ 0 < ( h ` s ) ) <-> ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) )
40	32, 35, 39	cbvex 2272	. . . . . 6 |- ( E. h ( h e. Q /\ 0 < ( h ` s ) ) <-> E. g ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) )
41	31, 40	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> E. g ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) )
42		stoweidlem46.17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. _V )
43		rabexg 4812	. . . . . . . 8 |- ( T e. _V -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V )
45	44	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V )
46		eldifi 3732	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( T \ U ) -> s e. T )
47	46	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> s e. T )
48		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> 0 < ( g ` s ) )
49		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( t = s -> ( g ` t ) = ( g ` s ) )
50	49	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( t = s -> ( 0 < ( g ` t ) <-> 0 < ( g ` s ) ) )
51	50	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } <-> ( s e. T /\ 0 < ( g ` s ) ) )
52	47, 48, 51	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } )
53		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> ph )
54	16	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> A C_ ( J Cn K ) )
55		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> g e. Q )
56	55, 12	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> g e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } )
57		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h = g -> ( h ` Z ) = ( g ` Z ) )
58	57	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = g -> ( ( h ` Z ) = 0 <-> ( g ` Z ) = 0 ) )
59		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h = g -> ( h ` t ) = ( g ` t ) )
60	59	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( h = g -> ( 0 <_ ( h ` t ) <-> 0 <_ ( g ` t ) ) )
61	59	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( h = g -> ( ( h ` t ) <_ 1 <-> ( g ` t ) <_ 1 ) )
62	60, 61	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( h = g -> ( ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
63	62	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = g -> ( A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) <-> A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) )
64	58, 63	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = g -> ( ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) <-> ( ( g ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) ) )
65	64	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) } <-> ( g e. A /\ ( ( g ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) ) )
66	56, 65	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> ( g e. A /\ ( ( g ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( g ` t ) /\ ( g ` t ) <_ 1 ) ) ) )
67	66	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> g e. A )
68	54, 67	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> g e. ( J Cn K ) )
69	68	ad2ant2r 783	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> g e. ( J Cn K ) )
70		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t 0
71		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t g
72		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t g e. ( J Cn K )
73	4, 72	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( ph /\ g e. ( J Cn K ) )
74		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) }
75		0xr 10086	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn K ) ) -> 0 e. RR* )
77		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn K ) ) -> g e. ( J Cn K ) )
78	70, 71, 73, 11, 13, 74, 76, 77	rfcnpre1 39178	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. ( J Cn K ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. J )
79	53, 69, 78	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. J )
80		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } )
81		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ h { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) }
82		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h g
83	59	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = g -> ( 0 < ( h ` t ) <-> 0 < ( g ` t ) ) )
84	83	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = g -> { t e. T | 0 < ( h ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } )
85	84	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = g -> ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } <-> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } ) )
86	81, 82, 10, 85	rspcegf 39182	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g e. Q /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } ) -> E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } )
87	55, 80, 86	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g e. Q ) -> E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } )
88	87	ad2ant2r 783	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } )
89		eqeq1 2626	. . . . . . . . . 10 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } <-> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } ) )
90	89	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } <-> E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } ) )
91	90	elrab 3363	. . . . . . . 8 |- ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } <-> ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. J /\ E. h e. Q { t e. T | 0 < ( g ` t ) } = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } ) )
92	79, 88, 91	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } )
93		stoweidlem46.7	. . . . . . 7 |- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
94	92, 93	syl6eleqr 2712	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W )
95		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ w { t e. T | 0 < ( g ` t ) }
96		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ w s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) }
97		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ w { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
98	93, 97	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . 10 |- F/_ w W
99	98	nfel2 2781	. . . . . . . . 9 |- F/ w { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W
100	96, 99	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ w ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W )
101		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( s e. w <-> s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } ) )
102		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( w e. W <-> { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W ) )
103	101, 102	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( w = { t e. T | 0 < ( g ` t ) } -> ( ( s e. w /\ w e. W ) <-> ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W ) ) )
104	95, 100, 103	spcegf 3289	. . . . . . 7 |- ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V -> ( ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W ) -> E. w ( s e. w /\ w e. W ) ) )
105	104	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. _V /\ ( s e. { t e. T | 0 < ( g ` t ) } /\ { t e. T | 0 < ( g ` t ) } e. W ) ) -> E. w ( s e. w /\ w e. W ) )
106	45, 52, 94, 105	syl12anc 1324	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) /\ ( g e. Q /\ 0 < ( g ` s ) ) ) -> E. w ( s e. w /\ w e. W ) )
107	41, 106	exlimddv 1863	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> E. w ( s e. w /\ w e. W ) )
108		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ w s
109	108, 98	elunif 39175	. . . 4 |- ( s e. U. W <-> E. w ( s e. w /\ w e. W ) )
110	107, 109	sylibr 224	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( T \ U ) ) -> s e. U. W )
111	110	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( s e. ( T \ U ) -> s e. U. W ) )
112	111	ssrdv 3609	1 |- ( ph -> ( T \ U ) C_ U. W )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   topGenctg 16098   Cn ccn 21028   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  stoweidlem50  40267