Theorem stoweidlem49 40266

Description: There exists a function q_n as in the proof of Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 91 (at the top of page 91): 0 <= q_n <= 1 , q_n < ε on T \ U, and q_n > 1 - ε on V. Here y is used to represent the final q_n in the paper (the one with n large enough), N represents n in the paper, K represents k, D represents δ, E represents ε, and P represents p. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem49.1	|- F/_ t P
stoweidlem49.2	|- F/ t ph
stoweidlem49.3	|- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
stoweidlem49.4	|- ( ph -> D e. RR+ )
stoweidlem49.5	|- ( ph -> D < 1 )
stoweidlem49.6	|- ( ph -> P e. A )
stoweidlem49.7	|- ( ph -> P : T --> RR )
stoweidlem49.8	|- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
stoweidlem49.9	|- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
stoweidlem49.10	|- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
stoweidlem49.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem49.12	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem49.13	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem49.14	|- ( ph -> E e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem49	|- ( ph -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) )

Distinct variable groups:   f, g, t, A   D, f, g, t   f, E, g, t   P, f, g   T, f, g, t   ph, f, g   x, D   x, E   ph, x   y, t, A   y, U   y, V   x, t, A   x, T   y, E   y, P   y, T

Allowed substitution hints:   ph( y, t)   D( y)   P( x, t)   U( x, t, f, g)   V( x, t, f, g)

Proof of Theorem stoweidlem49

Dummy variables k n i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4657	. . . . 5 |- ( j = i -> ( ( 1 / D ) < j <-> ( 1 / D ) < i ) )
2	1	cbvrabv 3199	. . . 4 |- { j e. NN | ( 1 / D ) < j } = { i e. NN | ( 1 / D ) < i }
3		stoweidlem49.4	. . . 4 |- ( ph -> D e. RR+ )
4		stoweidlem49.5	. . . 4 |- ( ph -> D < 1 )
5	2, 3, 4	stoweidlem14 40231	. . 3 |- ( ph -> E. k e. NN ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) )
6		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( i e. NN0 |-> ( ( 1 / ( k x. D ) ) ^ i ) ) = ( i e. NN0 |-> ( ( 1 / ( k x. D ) ) ^ i ) )
7		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( i e. NN0 |-> ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ i ) ) = ( i e. NN0 |-> ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ i ) )
8		nnre 11027	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> k e. RR )
9	8	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. RR )
10	3	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. RR )
11	10	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> D e. RR )
12	9, 11	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k x. D ) e. RR )
13	12	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> ( k x. D ) e. RR )
14		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> 1 < ( k x. D ) )
15	12	rehalfcld 11279	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) e. RR )
16		nngt0 11049	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> 0 < k )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < k )
18	3	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < D )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < D )
20	9, 11, 17, 19	mulgt0d 10192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < ( k x. D ) )
21		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
22		2pos 11112	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 2
23	21, 22	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
25		divgt0 10891	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( k x. D ) e. RR /\ 0 < ( k x. D ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 < ( ( k x. D ) / 2 ) )
26	12, 20, 24, 25	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < ( ( k x. D ) / 2 ) )
27	15, 26	elrpd 11869	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) e. RR+ )
28	27	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) e. RR+ )
29		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 )
30		stoweidlem49.14	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR+ )
31	30	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> E e. RR+ )
32	6, 7, 13, 14, 28, 29, 31	stoweidlem7 40224	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) ) -> E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) )
33	32	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) -> E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) )
34	33	reximdva 3017	. . 3 |- ( ph -> ( E. k e. NN ( 1 < ( k x. D ) /\ ( ( k x. D ) / 2 ) < 1 ) -> E. k e. NN E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) )
35	5, 34	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. k e. NN E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) )
36		stoweidlem49.1	. . . . 5 |- F/_ t P
37		stoweidlem49.2	. . . . . . 7 |- F/ t ph
38		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ t ( k e. NN /\ n e. NN )
39	37, 38	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ t ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) )
40		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ t ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E )
41	39, 40	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ t ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) )
42		stoweidlem49.3	. . . . 5 |- V = { t e. T | ( P ` t ) < ( D / 2 ) }
43		eqid 2622	. . . . 5 |- ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ n ) ) ^ ( k ^ n ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( 1 - ( ( P ` t ) ^ n ) ) ^ ( k ^ n ) ) )
44		simplrr 801	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> n e. NN )
45		simplrl 800	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> k e. NN )
46	3	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> D e. RR+ )
47	4	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> D < 1 )
48		stoweidlem49.6	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. A )
49	48	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> P e. A )
50		stoweidlem49.7	. . . . . 6 |- ( ph -> P : T --> RR )
51	50	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> P : T --> RR )
52		stoweidlem49.8	. . . . . 6 |- ( ph -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
53	52	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> A. t e. T ( 0 <_ ( P ` t ) /\ ( P ` t ) <_ 1 ) )
54		stoweidlem49.9	. . . . . 6 |- ( ph -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
55	54	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> A. t e. ( T \ U ) D <_ ( P ` t ) )
56		stoweidlem49.10	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
57	56	ad4ant14 1293	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A ) -> f : T --> RR )
58		simp1ll 1124	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ph )
59		stoweidlem49.11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
60	58, 59	syld3an1 1372	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
61		stoweidlem49.12	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
62	58, 61	syld3an1 1372	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
63		stoweidlem49.13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
64	63	ad4ant14 1293	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
65	30	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> E e. RR+ )
66		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) )
67		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E )
68	36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 60, 62, 64, 65, 66, 67	stoweidlem45 40262	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) ) -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) )
69	68	ex 450	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) ) )
70	69	rexlimdvva 3038	. 2 |- ( ph -> ( E. k e. NN E. n e. NN ( ( 1 - E ) < ( 1 - ( ( ( k x. D ) / 2 ) ^ n ) ) /\ ( 1 / ( ( k x. D ) ^ n ) ) < E ) -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) ) )
71	35, 70	mpd 15	1 |- ( ph -> E. y e. A ( A. t e. T ( 0 <_ ( y ` t ) /\ ( y ` t ) <_ 1 ) /\ A. t e. V ( 1 - E ) < ( y ` t ) /\ A. t e. ( T \ U ) ( y ` t ) < E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   RR+crp 11832   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  stoweidlem52  40269