Theorem strlem1 29109

Description: Lemma for strong state theorem: if closed subspace A is not contained in B, there is a unit vector u in their difference. (Contributed by NM, 25-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
strlem1.1	|- A e. CH
strlem1.2	|- B e. CH

Assertion

Ref	Expression
strlem1	|- ( -. A C_ B -> E. u e. ( A \ B ) ( normh ` u ) = 1 )

Distinct variable groups:   u, A   u, B

Proof of Theorem strlem1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neq0 3930	. . 3 |- ( -. ( A \ B ) = (/) <-> E. x x e. ( A \ B ) )
2		ssdif0 3942	. . 3 |- ( A C_ B <-> ( A \ B ) = (/) )
3	1, 2	xchnxbir 323	. 2 |- ( -. A C_ B <-> E. x x e. ( A \ B ) )
4		eldifi 3732	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A \ B ) -> x e. A )
5		strlem1.1	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. CH
6	5	cheli 28089	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> x e. ~H )
7		normcl 27982	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~H -> ( normh ` x ) e. RR )
8	4, 6, 7	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( normh ` x ) e. RR )
9		strlem1.2	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B e. CH
10		ch0 28085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B e. CH -> 0h e. B )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0h e. B
12		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0h e. ( A \ B ) -> -. 0h e. B )
13	11, 12	mt2 191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. 0h e. ( A \ B )
14		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = 0h -> ( x e. ( A \ B ) <-> 0h e. ( A \ B ) ) )
15	13, 14	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 0h -> -. x e. ( A \ B ) )
16	15	con2i 134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( A \ B ) -> -. x = 0h )
17		norm-i 27986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ~H -> ( ( normh ` x ) = 0 <-> x = 0h ) )
18	4, 6, 17	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( ( normh ` x ) = 0 <-> x = 0h ) )
19	16, 18	mtbird 315	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A \ B ) -> -. ( normh ` x ) = 0 )
20	19	neqned 2801	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( normh ` x ) =/= 0 )
21	8, 20	rereccld 10852	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( 1 / ( normh ` x ) ) e. RR )
22	21	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( 1 / ( normh ` x ) ) e. CC )
23	5	chshii 28084	. . . . . . . . . 10 |- A e. SH
24		shmulcl 28075	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. SH /\ ( 1 / ( normh ` x ) ) e. CC /\ x e. A ) -> ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) e. A )
25	23, 24	mp3an1 1411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / ( normh ` x ) ) e. CC /\ x e. A ) -> ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) e. A )
26	25	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / ( normh ` x ) ) e. CC -> ( x e. A -> ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) e. A ) )
27	22, 26	syl 17	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( x e. A -> ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) e. A ) )
28	8	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( normh ` x ) e. CC )
29	9	chshii 28084	. . . . . . . . . . . 12 |- B e. SH
30		shmulcl 28075	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. SH /\ ( normh ` x ) e. CC /\ ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) e. B ) -> ( ( normh ` x ) .h ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) ) e. B )
31	29, 30	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( normh ` x ) e. CC /\ ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) e. B ) -> ( ( normh ` x ) .h ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) ) e. B )
32	31	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( normh ` x ) e. CC -> ( ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) e. B -> ( ( normh ` x ) .h ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) ) e. B ) )
33	28, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) e. B -> ( ( normh ` x ) .h ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) ) e. B ) )
34	28, 20	recidd 10796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( ( normh ` x ) x. ( 1 / ( normh ` x ) ) ) = 1 )
35	34	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( ( ( normh ` x ) x. ( 1 / ( normh ` x ) ) ) .h x ) = ( 1 .h x ) )
36	4, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( A \ B ) -> x e. ~H )
37		ax-hvmulass 27864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( normh ` x ) e. CC /\ ( 1 / ( normh ` x ) ) e. CC /\ x e. ~H ) -> ( ( ( normh ` x ) x. ( 1 / ( normh ` x ) ) ) .h x ) = ( ( normh ` x ) .h ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) ) )
38	28, 22, 36, 37	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( ( ( normh ` x ) x. ( 1 / ( normh ` x ) ) ) .h x ) = ( ( normh ` x ) .h ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) ) )
39		ax-hvmulid 27863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~H -> ( 1 .h x ) = x )
40	4, 6, 39	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( 1 .h x ) = x )
41	35, 38, 40	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( ( normh ` x ) .h ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) ) = x )
42	41	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( ( ( normh ` x ) .h ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) ) e. B <-> x e. B ) )
43	33, 42	sylibd 229	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) e. B -> x e. B ) )
44	43	con3d 148	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( -. x e. B -> -. ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) e. B ) )
45	27, 44	anim12d 586	. . . . . 6 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) -> ( ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) e. A /\ -. ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) e. B ) ) )
46		eldif 3584	. . . . . 6 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
47		eldif 3584	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) e. ( A \ B ) <-> ( ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) e. A /\ -. ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) e. B ) )
48	45, 46, 47	3imtr4g 285	. . . . 5 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( x e. ( A \ B ) -> ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) e. ( A \ B ) ) )
49	48	pm2.43i 52	. . . 4 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) e. ( A \ B ) )
50		norm-iii 27997	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / ( normh ` x ) ) e. CC /\ x e. ~H ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) ) = ( ( abs ` ( 1 / ( normh ` x ) ) ) x. ( normh ` x ) ) )
51	22, 36, 50	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) ) = ( ( abs ` ( 1 / ( normh ` x ) ) ) x. ( normh ` x ) ) )
52	15	necon2ai 2823	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A \ B ) -> x =/= 0h )
53		normgt0 27984	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~H -> ( x =/= 0h <-> 0 < ( normh ` x ) ) )
54	4, 6, 53	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( x =/= 0h <-> 0 < ( normh ` x ) ) )
55	52, 54	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( A \ B ) -> 0 < ( normh ` x ) )
56		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
57		0le1 10551	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 1
58		divge0 10892	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( ( normh ` x ) e. RR /\ 0 < ( normh ` x ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( normh ` x ) ) )
59	56, 57, 58	mpanl12 718	. . . . . . . 8 |- ( ( ( normh ` x ) e. RR /\ 0 < ( normh ` x ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( normh ` x ) ) )
60	8, 55, 59	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A \ B ) -> 0 <_ ( 1 / ( normh ` x ) ) )
61	21, 60	absidd 14161	. . . . . 6 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( abs ` ( 1 / ( normh ` x ) ) ) = ( 1 / ( normh ` x ) ) )
62	61	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( ( abs ` ( 1 / ( normh ` x ) ) ) x. ( normh ` x ) ) = ( ( 1 / ( normh ` x ) ) x. ( normh ` x ) ) )
63	28, 20	recid2d 10797	. . . . 5 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( ( 1 / ( normh ` x ) ) x. ( normh ` x ) ) = 1 )
64	51, 62, 63	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( x e. ( A \ B ) -> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) ) = 1 )
65		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( u = ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) -> ( normh ` u ) = ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) ) )
66	65	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( u = ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) -> ( ( normh ` u ) = 1 <-> ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) ) = 1 ) )
67	66	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) e. ( A \ B ) /\ ( normh ` ( ( 1 / ( normh ` x ) ) .h x ) ) = 1 ) -> E. u e. ( A \ B ) ( normh ` u ) = 1 )
68	49, 64, 67	syl2anc 693	. . 3 |- ( x e. ( A \ B ) -> E. u e. ( A \ B ) ( normh ` u ) = 1 )
69	68	exlimiv 1858	. 2 |- ( E. x x e. ( A \ B ) -> E. u e. ( A \ B ) ( normh ` u ) = 1 )
70	3, 69	sylbi 207	1 |- ( -. A C_ B -> E. u e. ( A \ B ) ( normh ` u ) = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   abscabs 13974   ~Hchil 27776   .h csm 27778   normhcno 27780   0hc0v 27781   SHcsh 27785   CHcch 27786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hv0cl 27860  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-hnorm 27825  df-sh 28064  df-ch 28078

This theorem is referenced by:  stri  29116  hstri  29124