Theorem absidd 14161

Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrcld.1	|- ( ph -> A e. RR )
resqrcld.2	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
absidd	|- ( ph -> ( abs ` A ) = A )

Proof of Theorem absidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		resqrcld.2	. 2 |- ( ph -> 0 <_ A )
3		absid 14036	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( abs ` A ) = A )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( abs ` A ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   RRcr 9935   0cc0 9936   <_ cle 10075   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  rlimno1  14384  iseralt  14415  cvgcmpce  14550  divrcnv  14584  geomulcvg  14607  cvgrat  14615  mertenslem2  14617  eftabs  14806  efcllem  14808  efaddlem  14823  eftlub  14839  eflegeo  14851  ef01bndlem  14914  absef  14927  efieq1re  14929  dvdseq  15036  divalg2  15128  nn0gcdid0  15242  absmulgcd  15266  gcdmultiple  15269  gcdmultiplez  15270  lcmgcdlem  15319  mulgcddvds  15369  phibndlem  15475  dfphi2  15479  mul4sqlem  15657  4sqlem11  15659  prmirredlem  19841  prmirred  19843  blcvx  22601  reperflem  22621  reconnlem2  22630  nmoleub2lem3  22915  nmoleub3  22919  tchcphlem1  23034  iscmet3lem3  23088  pjthlem1  23208  lhop1lem  23776  ftc1lem4  23802  plyeq0lem  23966  aalioulem4  24090  mtest  24158  radcnvlem1  24167  radcnvlt1  24172  radcnvle  24174  dvradcnv  24175  pserdvlem2  24182  abelth2  24196  tanabsge  24258  sineq0  24273  divlogrlim  24381  logcnlem3  24390  logcnlem4  24391  logtayllem  24405  logtayl  24406  abscxp2  24439  chordthmlem4  24562  rlimcnp  24692  lgamgulmlem2  24756  lgamgulmlem5  24759  lgamcvg2  24781  ftalem5  24803  lgsval2lem  25032  lgsval4a  25044  2sqlem3  25145  chebbnd1  25161  chtppilimlem2  25163  chto1ub  25165  vmadivsum  25171  vmadivsumb  25172  rpvmasumlem  25176  dchrisumlem2  25179  dchrisumlem3  25180  dchrvmasumlem2  25187  dchrvmasumiflem1  25190  dchrisum0fno1  25200  dchrisum0re  25202  rplogsum  25216  mulog2sumlem1  25223  mulog2sumlem2  25224  2vmadivsumlem  25229  selbergb  25238  selberg2lem  25239  selberg2b  25241  selberg3lem1  25246  selberg3lem2  25247  selberg4lem1  25249  pntrsumo1  25254  pntrlog2bndlem1  25266  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem3  25268  pntrlog2bndlem5  25270  pntrlog2bndlem6  25272  pntrlog2bnd  25273  pntpbnd1a  25274  pntpbnd1  25275  pntibndlem2  25280  ostth2  25326  htthlem  27774  bcsiALT  28036  norm1  28106  pjhthlem1  28250  nmbdoplbi  28883  nmcexi  28885  nmcopexi  28886  nmcoplbi  28887  nmbdfnlbi  28908  nmcfnexi  28910  nmcfnlbi  28911  cnlnadjlem7  28932  nmopcoi  28954  nmopcoadji  28960  branmfn  28964  strlem1  29109  subfaclim  31170  dnizphlfeqhlf  32466  dnibndlem6  32473  dnibndlem9  32476  knoppndvlem11  32513  knoppndvlem14  32516  poimirlem29  33438  ftc1cnnclem  33483  ftc1anclem5  33489  lmclim2  33554  geomcau  33555  cntotbnd  33595  irrapxlem2  37387  irrapxlem5  37390  pellexlem2  37394  oddcomabszz  37509  jm2.19  37560  jm2.26lem3  37568  absmulrposd  38457  nzprmdif  38518  0ellimcdiv  39881  stoweidlem7  40224  fourierdlem30  40354  fourierdlem39  40363  etransclem23  40474  etransclem41  40492  hoiqssbllem2  40837  blenre  42368  blennn  42369