Theorem uzsup 12662

Description: An upper set of integers is unbounded above. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
uzsup.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
uzsup	|- ( M e. ZZ -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )

Proof of Theorem uzsup

Dummy variables x n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> M e. ZZ )
2		flcl 12596	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. ZZ )
3	2	peano2zd 11485	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ZZ )
4		id 22	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ZZ )
5		ifcl 4130	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. ZZ )
6	3, 4, 5	syl2anr 495	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. ZZ )
7		zre 11381	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
8		reflcl 12597	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
9		peano2re 10209	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` x ) e. RR -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
11		max1 12016	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR ) -> M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) )
12	7, 10, 11	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) )
13		eluz2 11693	. . . . . 6 |- ( if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. ZZ /\ M <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) ) )
14	1, 6, 12, 13	syl3anbrc 1246	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. ( ZZ>= ` M ) )
15		uzsup.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
16	14, 15	syl6eleqr 2712	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. Z )
17		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> x e. RR )
18	10	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR )
19	6	zred 11482	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. RR )
20		fllep1 12602	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
21	20	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> x <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) )
22		max2 12018	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ ( ( |_ ` x ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) )
23	7, 10, 22	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> ( ( |_ ` x ) + 1 ) <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) )
24	17, 18, 19, 21, 23	letrd 10194	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> x <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) )
25		breq2 4657	. . . . 5 |- ( n = if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) -> ( x <_ n <-> x <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) ) )
26	25	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) e. Z /\ x <_ if ( M <_ ( ( |_ ` x ) + 1 ) , ( ( |_ ` x ) + 1 ) , M ) ) -> E. n e. Z x <_ n )
27	16, 24, 26	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. RR ) -> E. n e. Z x <_ n )
28	27	ralrimiva 2966	. 2 |- ( M e. ZZ -> A. x e. RR E. n e. Z x <_ n )
29		uzssz 11707	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
30	15, 29	eqsstri 3635	. . . . 5 |- Z C_ ZZ
31		zssre 11384	. . . . 5 |- ZZ C_ RR
32	30, 31	sstri 3612	. . . 4 |- Z C_ RR
33		ressxr 10083	. . . 4 |- RR C_ RR*
34	32, 33	sstri 3612	. . 3 |- Z C_ RR*
35		supxrunb1 12149	. . 3 |- ( Z C_ RR* -> ( A. x e. RR E. n e. Z x <_ n <-> sup ( Z , RR* , < ) = +oo ) )
36	34, 35	ax-mp 5	. 2 |- ( A. x e. RR E. n e. Z x <_ n <-> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )
37	28, 36	sylib 208	1 |- ( M e. ZZ -> sup ( Z , RR* , < ) = +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   |_cfl 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  climrecl  14314  climge0  14315  caurcvg  14407  caucvg  14409  mbflimsup  23433  limsupvaluz  39940  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149