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Theorem clwwlksf 26915

Description: Lemma 1 for clwwlksbij 26920: F is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-Apr-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
clwwlksbij.d	WWalksN lastS
clwwlksbij.f	substr

**Assertion**
Ref	Expression
clwwlksf	ClWWalksN

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem clwwlksf Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . 5 lastS lastS
2		fveq1 6190	. . . . 5
3	1, 2	eqeq12d 2637	. . . 4 lastS lastS
4		clwwlksbij.d	. . . 4 WWalksN lastS
5	3, 4	elrab2 3366	. . 3 WWalksN $/\$ lastS
6		nnnn0 11299	. . . . . . . 8
7		iswwlksn 26730	. . . . . . . 8 WWalksN WWalks $/\$
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 WWalksN WWalks $/\$
9		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 Vtx Vtx
10		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 Edg Edg
11	9, 10	iswwlks 26728	. . . . . . . . 9 WWalks $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 WWalks $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg
13	12	anbi1d 741	. . . . . . 7 WWalks $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$
14	8, 13	bitrd 268	. . . . . 6 WWalksN $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$
15		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 Word Vtx $/\$ $/\$ Word Vtx
16		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
17	6, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
18		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
19	18	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
20		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
21	6, 17, 19, 20	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word Vtx $/\$ $/\$
23		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24	23	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Vtx $/\$
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word Vtx $/\$ $/\$
27	22, 26	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 Word Vtx $/\$ $/\$
28	15, 27	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 Word Vtx $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$
29		swrd0len 13422	. . . . . . . . . . . . 13 Word Vtx $/\$ substr
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 Word Vtx $/\$ $/\$ substr
31	30	ex 450	. . . . . . . . . . 11 Word Vtx $/\$ substr
32	31	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . . 10 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ substr
33	32	impcom 446	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ substr
34	33	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS substr
35		swrdcl 13419	. . . . . . . . . . . . 13 Word Vtx substr Word Vtx
36	35	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg substr Word Vtx
37	36	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ substr Word Vtx
38	37	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 substr $/\$ $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS substr Word Vtx
39		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
40	39	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ ..^
41		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
42		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
43	41, 42	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
44	43	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ ..^
45	40, 44	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ ..^ ..^
46	45	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ ..^ Edg ..^ Edg
47		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
48		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
50	18	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
51		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
52	49, 47, 50, 51	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
53		fzoss2 12496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^ ..^
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^ ..^
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ ..^ ..^
56		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ ..^ ..^ Edg ..^ Edg
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ ..^ Edg ..^ Edg
58		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Word Vtx
59	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
60	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
61	59, 60	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
62	61	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^
63	54	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ..^ ..^
64	63	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ Word Vtx ..^ ..^
65	64	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ ..^
66		swrd0fv 13439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr
67	66	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr
68	58, 62, 65, 67	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ substr
69	47	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ Word Vtx
70		elfzom1elp1fzo 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ ..^ ..^
71	69, 70	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ ..^
72		swrd0fv 13439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr
73	72	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Word Vtx $/\$ $/\$ ..^ substr
74	58, 62, 71, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ substr
75	68, 74	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ substr substr
76	75	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg substr substr Edg
77	76	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ Word Vtx ..^ Edg ..^ substr substr Edg
78	77	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ Word Vtx ..^ Edg ..^ substr substr Edg
79	78	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ Word Vtx ..^ Edg ..^ substr substr Edg
80	79	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ ..^ Edg Word Vtx ..^ substr substr Edg
81	57, 80	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ ..^ Edg Word Vtx ..^ substr substr Edg
82	46, 81	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ ..^ Edg Word Vtx ..^ substr substr Edg
83	82	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ Edg Word Vtx ..^ substr substr Edg
84	83	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ Edg Word Vtx ..^ substr substr Edg
85	84	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Vtx ..^ Edg ..^ substr substr Edg
86	85	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word Vtx $/\$ ..^ Edg ..^ substr substr Edg
87	86	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg ..^ substr substr Edg
88	87	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ ..^ substr substr Edg
89	88	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ ..^ substr substr Edg
90	89	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 substr $/\$ $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS ..^ substr substr Edg
91		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 substr substr
92	91	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 substr ..^ substr ..^
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 substr $/\$ $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS ..^ substr ..^
94	93	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . 11 substr $/\$ $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS ..^ substr substr substr Edg ..^ substr substr Edg
95	90, 94	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 substr $/\$ $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS ..^ substr substr substr Edg
96		simprl2 1107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ Word Vtx
97	19	ancli 574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
98	47	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
99		fznn 12408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
101	97, 100	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$
103		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104	103	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105	104	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$
106	105	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$
107	102, 106	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$
108	96, 107	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ Word Vtx $/\$
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS Word Vtx $/\$
110		swrd0fvlsw 13443	. . . . . . . . . . . . . 14 Word Vtx $/\$ lastS substr
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS lastS substr
112		swrd0fv0 13440	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word Vtx $/\$ substr
113	108, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ substr
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS substr
115	111, 114	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS lastS substr substr
116		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 lastS lastS
117	116	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 lastS lastS
118	117	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS lastS
119		lsw 13351	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word Vtx lastS
120	119	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg lastS
121	120	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ lastS
122	121	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS lastS
123	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$
124	123, 43	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS
126	125	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS
127	118, 122, 126	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS
128	127	preq2d 4275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS
129	39, 43	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
130	129	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ ..^ ..^
131	130	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ ..^ Edg ..^ Edg
132		fzo0end 12560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^
133		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
134		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
135	134	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
136	133, 135	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
137	136	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Edg Edg
138	137	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^ $/\$ ..^ Edg Edg
139	132, 138	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ ..^ Edg Edg
140	41, 42	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
141	140	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
142	141	preq2d 4275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
143	142	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Edg Edg
144	143	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Edg Edg
145	144	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ ..^ Edg Edg Edg
146	139, 145	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ ..^ Edg Edg
147	146	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ Edg Edg
148	147	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ ..^ Edg Edg
149	131, 148	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ ..^ Edg Edg
150	149	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ Edg Edg
151	150	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ Edg Edg
152	151	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg Edg
153	152	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ Edg
154	153	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ Edg
155	154	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS Edg
156	128, 155	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS Edg
157	115, 156	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS lastS substr substr Edg
158	157	adantl 482	. . . . . . . . . 10 substr $/\$ $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS lastS substr substr Edg
159	38, 95, 158	3jca 1242	. . . . . . . . 9 substr $/\$ $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS substr Word Vtx $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ lastS substr substr Edg
160		simpl 473	. . . . . . . . 9 substr $/\$ $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS substr
161	159, 160	jca 554	. . . . . . . 8 substr $/\$ $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS substr Word Vtx $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ lastS substr substr Edg $/\$ substr
162	34, 161	mpancom 703	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ $/\$ lastS substr Word Vtx $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ lastS substr substr Edg $/\$ substr
163	162	exp31 630	. . . . . 6 $/\$ Word Vtx $/\$ ..^ Edg $/\$ lastS substr Word Vtx $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ lastS substr substr Edg $/\$ substr
164	14, 163	sylbid 230	. . . . 5 WWalksN lastS substr Word Vtx $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ lastS substr substr Edg $/\$ substr
165	164	imp32 449	. . . 4 $/\$ WWalksN $/\$ lastS substr Word Vtx $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ lastS substr substr Edg $/\$ substr
166	9, 10	isclwwlksnx 26889	. . . . 5 substr ClWWalksN substr Word Vtx $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ lastS substr substr Edg $/\$ substr
167	166	adantr 481	. . . 4 $/\$ WWalksN $/\$ lastS substr ClWWalksN substr Word Vtx $/\$ ..^ substr substr substr Edg $/\$ lastS substr substr Edg $/\$ substr
168	165, 167	mpbird 247	. . 3 $/\$ WWalksN $/\$ lastS substr ClWWalksN
169	5, 168	sylan2b 492	. 2 $/\$ substr ClWWalksN
170		clwwlksbij.f	. 2 substr
171	169, 170	fmptd 6385	1 ClWWalksN

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

crab 2916

wss 3574

c0 3915

cpr 4179

cop 4183 class class class wbr 4653

cmpt 4729

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326 ..^cfzo 12465

chash 13117 Word cword 13291 lastS clsw 13292 substr csubstr 13295 Vtxcvtx 25874 Edgcedg 25939 WWalkscwwlks 26717 WWalksN cwwlksn 26718 ClWWalksN cclwwlksn 26876

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-lsw 13300 df-substr 13303 df-wwlks 26722 df-wwlksn 26723 df-clwwlks 26877 df-clwwlksn 26878

This theorem is referenced by: clwwlksf1 26917 clwwlksfo 26918

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