Theorem trclrelexplem 38003

Description: The union of relational powers to positive multiples of N is a subset to the transitive closure raised to the power of N. (Contributed by RP, 15-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
trclrelexplem	|- ( N e. NN -> U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r N ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r N ) )

Distinct variable groups:   D, j   D, k   k, N

Allowed substitution hint:   N( j)

Proof of Theorem trclrelexplem

Dummy variables x y l m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( D ^r k ) ^r x ) = ( ( D ^r k ) ^r 1 ) )
2	1	iuneq2d 4547	. . 3 |- ( x = 1 -> U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r x ) = U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r 1 ) )
3		oveq2 6658	. . 3 |- ( x = 1 -> ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r x ) = ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r 1 ) )
4	2, 3	sseq12d 3634	. 2 |- ( x = 1 -> ( U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r x ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r x ) <-> U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r 1 ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r 1 ) ) )
5		oveq2 6658	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( D ^r k ) ^r x ) = ( ( D ^r k ) ^r y ) )
6	5	iuneq2d 4547	. . 3 |- ( x = y -> U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r x ) = U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) )
7		oveq2 6658	. . 3 |- ( x = y -> ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r x ) = ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) )
8	6, 7	sseq12d 3634	. 2 |- ( x = y -> ( U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r x ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r x ) <-> U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) ) )
9		oveq2 6658	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( D ^r k ) ^r x ) = ( ( D ^r k ) ^r ( y + 1 ) ) )
10	9	iuneq2d 4547	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r x ) = U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r ( y + 1 ) ) )
11		oveq2 6658	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r x ) = ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r ( y + 1 ) ) )
12	10, 11	sseq12d 3634	. 2 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r x ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r x ) <-> U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r ( y + 1 ) ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r ( y + 1 ) ) ) )
13		oveq2 6658	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( D ^r k ) ^r x ) = ( ( D ^r k ) ^r N ) )
14	13	iuneq2d 4547	. . 3 |- ( x = N -> U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r x ) = U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r N ) )
15		oveq2 6658	. . 3 |- ( x = N -> ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r x ) = ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r N ) )
16	14, 15	sseq12d 3634	. 2 |- ( x = N -> ( U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r x ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r x ) <-> U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r N ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r N ) ) )
17		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( k = l -> ( D ^r k ) = ( D ^r l ) )
18	17	cbviunv 4559	. . . . 5 |- U_ k e. NN ( D ^r k ) = U_ l e. NN ( D ^r l )
19		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( l = j -> ( D ^r l ) = ( D ^r j ) )
20	19	cbviunv 4559	. . . . 5 |- U_ l e. NN ( D ^r l ) = U_ j e. NN ( D ^r j )
21	18, 20	eqtri 2644	. . . 4 |- U_ k e. NN ( D ^r k ) = U_ j e. NN ( D ^r j )
22		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( D ^r k ) e. _V
23		relexp1g 13766	. . . . . 6 |- ( ( D ^r k ) e. _V -> ( ( D ^r k ) ^r 1 ) = ( D ^r k ) )
24	22, 23	mp1i 13	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ( D ^r k ) ^r 1 ) = ( D ^r k ) )
25	24	iuneq2i 4539	. . . 4 |- U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r 1 ) = U_ k e. NN ( D ^r k )
26		nnex 11026	. . . . . 6 |- NN e. _V
27		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( D ^r j ) e. _V
28	26, 27	iunex 7147	. . . . 5 |- U_ j e. NN ( D ^r j ) e. _V
29		relexp1g 13766	. . . . 5 |- ( U_ j e. NN ( D ^r j ) e. _V -> ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r 1 ) = U_ j e. NN ( D ^r j ) )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . 4 |- ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r 1 ) = U_ j e. NN ( D ^r j )
31	21, 25, 30	3eqtr4i 2654	. . 3 |- U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r 1 ) = ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r 1 )
32	31	eqimssi 3659	. 2 |- U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r 1 ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r 1 )
33		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> ( D ^r k ) = ( D ^r m ) )
34	33	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( ( D ^r k ) ^r y ) = ( ( D ^r m ) ^r y ) )
35	34, 33	coeq12d 5286	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( ( ( D ^r k ) ^r y ) o. ( D ^r k ) ) = ( ( ( D ^r m ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) )
36	35	cbviunv 4559	. . . . . . 7 |- U_ k e. NN ( ( ( D ^r k ) ^r y ) o. ( D ^r k ) ) = U_ m e. NN ( ( ( D ^r m ) ^r y ) o. ( D ^r m ) )
37		ss2iun 4536	. . . . . . . 8 |- ( A. m e. NN ( ( ( D ^r m ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) C_ ( U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) -> U_ m e. NN ( ( ( D ^r m ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) C_ U_ m e. NN ( U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) )
38	34	ssiun2s 4564	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> ( ( D ^r m ) ^r y ) C_ U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) )
39		coss1 5277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D ^r m ) ^r y ) C_ U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) -> ( ( ( D ^r m ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) C_ ( U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> ( ( ( D ^r m ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) C_ ( U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) )
41	37, 40	mprg 2926	. . . . . . 7 |- U_ m e. NN ( ( ( D ^r m ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) C_ U_ m e. NN ( U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) o. ( D ^r m ) )
42	36, 41	eqsstri 3635	. . . . . 6 |- U_ k e. NN ( ( ( D ^r k ) ^r y ) o. ( D ^r k ) ) C_ U_ m e. NN ( U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) o. ( D ^r m ) )
43		coss1 5277	. . . . . . . 8 |- ( U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) -> ( U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) C_ ( ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) )
44	43	ralrimivw 2967	. . . . . . 7 |- ( U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) -> A. m e. NN ( U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) C_ ( ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) )
45		ss2iun 4536	. . . . . . 7 |- ( A. m e. NN ( U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) C_ ( ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) -> U_ m e. NN ( U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) C_ U_ m e. NN ( ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) )
46	44, 45	syl 17	. . . . . 6 |- ( U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) -> U_ m e. NN ( U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) C_ U_ m e. NN ( ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) )
47	42, 46	syl5ss 3614	. . . . 5 |- ( U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) -> U_ k e. NN ( ( ( D ^r k ) ^r y ) o. ( D ^r k ) ) C_ U_ m e. NN ( ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) )
48	47	adantl 482	. . . 4 |- ( ( y e. NN /\ U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) ) -> U_ k e. NN ( ( ( D ^r k ) ^r y ) o. ( D ^r k ) ) C_ U_ m e. NN ( ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) )
49		relexpsucnnr 13765	. . . . . . 7 |- ( ( ( D ^r k ) e. _V /\ y e. NN ) -> ( ( D ^r k ) ^r ( y + 1 ) ) = ( ( ( D ^r k ) ^r y ) o. ( D ^r k ) ) )
50	22, 49	mpan 706	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( ( D ^r k ) ^r ( y + 1 ) ) = ( ( ( D ^r k ) ^r y ) o. ( D ^r k ) ) )
51	50	iuneq2d 4547	. . . . 5 |- ( y e. NN -> U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r ( y + 1 ) ) = U_ k e. NN ( ( ( D ^r k ) ^r y ) o. ( D ^r k ) ) )
52	51	adantr 481	. . . 4 |- ( ( y e. NN /\ U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) ) -> U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r ( y + 1 ) ) = U_ k e. NN ( ( ( D ^r k ) ^r y ) o. ( D ^r k ) ) )
53		relexpsucnnr 13765	. . . . . . 7 |- ( ( U_ j e. NN ( D ^r j ) e. _V /\ y e. NN ) -> ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r ( y + 1 ) ) = ( ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) o. U_ j e. NN ( D ^r j ) ) )
54	28, 53	mpan 706	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r ( y + 1 ) ) = ( ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) o. U_ j e. NN ( D ^r j ) ) )
55		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( D ^r j ) = ( D ^r m ) )
56	55	cbviunv 4559	. . . . . . . 8 |- U_ j e. NN ( D ^r j ) = U_ m e. NN ( D ^r m )
57	56	coeq2i 5282	. . . . . . 7 |- ( ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) o. U_ j e. NN ( D ^r j ) ) = ( ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) o. U_ m e. NN ( D ^r m ) )
58		coiun 5645	. . . . . . 7 |- ( ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) o. U_ m e. NN ( D ^r m ) ) = U_ m e. NN ( ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) o. ( D ^r m ) )
59	57, 58	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) o. U_ j e. NN ( D ^r j ) ) = U_ m e. NN ( ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) o. ( D ^r m ) )
60	54, 59	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( y e. NN -> ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r ( y + 1 ) ) = U_ m e. NN ( ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) )
61	60	adantr 481	. . . 4 |- ( ( y e. NN /\ U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) ) -> ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r ( y + 1 ) ) = U_ m e. NN ( ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) o. ( D ^r m ) ) )
62	48, 52, 61	3sstr4d 3648	. . 3 |- ( ( y e. NN /\ U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) ) -> U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r ( y + 1 ) ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r ( y + 1 ) ) )
63	62	ex 450	. 2 |- ( y e. NN -> ( U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r y ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r y ) -> U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r ( y + 1 ) ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r ( y + 1 ) ) ) )
64	4, 8, 12, 16, 32, 63	nnind 11038	1 |- ( N e. NN -> U_ k e. NN ( ( D ^r k ) ^r N ) C_ ( U_ j e. NN ( D ^r j ) ^r N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U_ciun 4520   o. ccom 5118  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   ^r crelexp 13760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-relexp 13761

This theorem is referenced by: (None)