upgrwlkdvdelem - Metamath Proof Explorer

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Theorem upgrwlkdvdelem 26632

Description: Lemma for upgrwlkdvde 26633. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 17-Jan-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
upgrwlkdvdelem	$/\$ Word ..^

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem upgrwlkdvdelem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 13323	. . 3 Word
2		wrdf 13310	. . 3 Word ..^
3		simpr 477	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ ..^
4	3	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^ ..^
5		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6	5	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
7		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9	8	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10	7, 9	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
11	6, 10	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . 16
12	11	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
13		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14	13	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
15		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
16		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17	16	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18	15, 17	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
19	14, 18	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . 16
20	19	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
21	12, 20	anim12ii 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $/\$ ..^ ..^ $/\$
22		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
24	23	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
26		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
27		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
29	25, 26, 28	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
30		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
31		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
33		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
34	30, 31, 32, 33	preq12b 4382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\/$ $/\$
35		dff13 6512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
36		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^
37		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^
38		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
39	38	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
40		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
41	39, 40	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
42		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
43	42	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
44		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
45	43, 44	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
46	41, 45	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
47	36, 37, 46	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^ $/\$ ..^
48	47	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ..^ $/\$ ..^
49	48	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^ $/\$ ..^
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ ..^ $/\$ ..^
51		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
52	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ..^
53		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ..^
54	52, 53	anim12d1 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ..^ $/\$ ..^ $/\$
55	54	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$
56		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
57	56	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
58		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
59	57, 58	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
60	41, 59	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$
61	55, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ ..^ $/\$ ..^
62	61	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$
63		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ..^
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ..^
65	64, 37	anim12d1 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ..^ $/\$ ..^ $/\$
66	65	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$
67		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
68	67	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
69		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
70	68, 69	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
71	42	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
72		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
73	71, 72	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
74	70, 73	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$
75	66, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ ..^ $/\$ ..^
76	75	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$
77	62, 76	anim12d 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ $/\$
78	77	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ $/\$ $/\$
79		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
80	79	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ..^ $/\$ ..^ $/\$
82		elfzonn0 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ..^
83		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
84		add1p1 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
86	85	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
87		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
88		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
90		addn0nid 10451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$ $/\$
91	83, 87, 89, 90	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
92		eqneqall 2805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
93	91, 92	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
94	86, 93	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
95	82, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ..^
96	95	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ..^ $/\$ ..^
97	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ..^ $/\$ ..^ $/\$
98	81, 97	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ..^ $/\$ ..^ $/\$
99	98	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ..^ $/\$ ..^ $/\$
100	99	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$
101	78, 100	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ $/\$
102	101	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^ $/\$ ..^ $/\$ $/\$
103	51, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ..^ $/\$ ..^ $/\$ $/\$
104	103	com3l 89	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^ $/\$ ..^ $/\$ $/\$
105	104	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ..^ $/\$ ..^ $/\$
106	105	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^ $/\$ ..^ $/\$
107	106	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ ..^ $/\$ ..^
108	50, 107	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $\/$ $/\$ ..^ $/\$ ..^
109	108	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ ..^ $/\$ ..^
110	35, 109	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $\/$ $/\$ ..^ $/\$ ..^
111	110	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\/$ $/\$ ..^ $/\$ ..^
112	34, 111	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ $/\$ ..^
113	29, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ ..^ $/\$ ..^
114	113	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $/\$ ..^
115	22, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^ $/\$ ..^
116	115	com15 101	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $/\$ ..^ $/\$
117	21, 116	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ $/\$ ..^ ..^
118	117	com14 96	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^ $/\$ ..^
119	118	imp 445	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ ..^ $/\$ ..^
120	119	impcom 446	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ ..^ ..^ $/\$ ..^
121	120	ralrimivv 2970	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ ..^ ..^ ..^
122	121	adantlr 751	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^ ..^ ..^
123		dff13 6512	. . . . . . . 8 ..^ ..^ $/\$ ..^ ..^
124	4, 122, 123	sylanbrc 698	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^ ..^
125		df-f1 5893	. . . . . . 7 ..^ ..^ $/\$
126	124, 125	sylib 208	. . . . . 6 $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^ ..^ $/\$
127		simpr 477	. . . . . 6 ..^ $/\$
128	126, 127	syl 17	. . . . 5 $/\$ ..^ $/\$ $/\$ ..^
129	128	ex 450	. . . 4 $/\$ ..^ $/\$ ..^
130	129	expd 452	. . 3 $/\$ ..^ ..^
131	1, 2, 130	syl2anc 693	. 2 Word ..^
132	131	impcom 446	1 $/\$ Word ..^

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

cpr 4179

ccnv 5113

cdm 5114

wfun 5882

wf 5884

wf1 5885

cfv 5888 (class class class)co 6650

cfn 7955

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

c2 11070

cn0 11292

cfz 12326 ..^cfzo 12465

chash 13117 Word cword 13291

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299

This theorem is referenced by: upgrwlkdvde 26633

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