Theorem uzlidlring 41929

Description: Only the zero (left) ideal or the unit (left) ideal of a domain is a unital ring. (Contributed by AV, 18-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlabl.l	|- L = (LIdeal ` R )
lidlabl.i	|- I = ( R ↾s U )
zlidlring.b	|- B = ( Base ` R )
zlidlring.0	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
uzlidlring	|- ( ( R e. Domn /\ U e. L ) -> ( I e. Ring <-> ( U = { .0. } \/ U = B ) ) )

Proof of Theorem uzlidlring

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` I ) = ( Base ` I )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( .r ` I ) = ( .r ` I )
3	1, 2	isringrng 41881	. 2 |- ( I e. Ring <-> ( I e. Rng /\ E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) ) )
4		domnring 19296	. . . . 5 |- ( R e. Domn -> R e. Ring )
5	4	anim1i 592	. . . 4 |- ( ( R e. Domn /\ U e. L ) -> ( R e. Ring /\ U e. L ) )
6		lidlabl.l	. . . . 5 |- L = (LIdeal ` R )
7		lidlabl.i	. . . . 5 |- I = ( R ↾s U )
8	6, 7	lidlrng 41927	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ U e. L ) -> I e. Rng )
9	5, 8	syl 17	. . 3 |- ( ( R e. Domn /\ U e. L ) -> I e. Rng )
10		ibar 525	. . . . . 6 |- ( I e. Rng -> ( E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) <-> ( I e. Rng /\ E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) ) ) )
11	10	bicomd 213	. . . . 5 |- ( I e. Rng -> ( ( I e. Rng /\ E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) ) <-> E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) ) )
12	11	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) -> ( ( I e. Rng /\ E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) ) <-> E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) ) )
13		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
14	7, 13	ressmulr 16006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( U e. L -> ( .r ` R ) = ( .r ` I ) )
15	14	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( U e. L -> ( .r ` I ) = ( .r ` R ) )
16	15	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U e. L -> ( x ( .r ` I ) y ) = ( x ( .r ` R ) y ) )
17	16	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. L -> ( ( x ( .r ` I ) y ) = y <-> ( x ( .r ` R ) y ) = y ) )
18	15	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U e. L -> ( y ( .r ` I ) x ) = ( y ( .r ` R ) x ) )
19	18	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. L -> ( ( y ( .r ` I ) x ) = y <-> ( y ( .r ` R ) x ) = y ) )
20	17, 19	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U e. L -> ( ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) <-> ( ( x ( .r ` R ) y ) = y /\ ( y ( .r ` R ) x ) = y ) ) )
21	20	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) -> ( ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) <-> ( ( x ( .r ` R ) y ) = y /\ ( y ( .r ` R ) x ) = y ) ) )
22	21	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ -. U = { .0. } ) /\ x e. ( Base ` I ) ) -> ( ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) <-> ( ( x ( .r ` R ) y ) = y /\ ( y ( .r ` R ) x ) = y ) ) )
23	22	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ -. U = { .0. } ) /\ x e. ( Base ` I ) ) -> ( A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) <-> A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` R ) y ) = y /\ ( y ( .r ` R ) x ) = y ) ) )
24		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ -. U = { .0. } ) /\ x e. ( Base ` I ) ) -> R e. Domn )
25	6, 7	lidlbas 41923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( U e. L -> ( Base ` I ) = U )
26	25	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U e. L -> ( ( Base ` I ) e. L <-> U e. L ) )
27	26	ibir 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. L -> ( Base ` I ) e. L )
28	27	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ -. U = { .0. } ) -> ( Base ` I ) e. L )
29	25	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) -> ( Base ` I ) = U )
30	29	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) -> ( ( Base ` I ) = { .0. } <-> U = { .0. } ) )
31	30	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) -> ( ( Base ` I ) = { .0. } -> U = { .0. } ) )
32	31	necon3bd 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) -> ( -. U = { .0. } -> ( Base ` I ) =/= { .0. } ) )
33	32	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ -. U = { .0. } ) -> ( Base ` I ) =/= { .0. } )
34	28, 33	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ -. U = { .0. } ) -> ( ( Base ` I ) e. L /\ ( Base ` I ) =/= { .0. } ) )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ -. U = { .0. } ) /\ x e. ( Base ` I ) ) -> ( ( Base ` I ) e. L /\ ( Base ` I ) =/= { .0. } ) )
36		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ -. U = { .0. } ) /\ x e. ( Base ` I ) ) -> x e. ( Base ` I ) )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
38		zlidlring.0	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- .0. = ( 0g ` R )
39	6, 13, 37, 38	lidldomn1 41921	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. Domn /\ ( ( Base ` I ) e. L /\ ( Base ` I ) =/= { .0. } ) /\ x e. ( Base ` I ) ) -> ( A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` R ) y ) = y /\ ( y ( .r ` R ) x ) = y ) -> x = ( 1r ` R ) ) )
40	24, 35, 36, 39	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ -. U = { .0. } ) /\ x e. ( Base ` I ) ) -> ( A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` R ) y ) = y /\ ( y ( .r ` R ) x ) = y ) -> x = ( 1r ` R ) ) )
41	23, 40	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ -. U = { .0. } ) /\ x e. ( Base ` I ) ) -> ( A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) -> x = ( 1r ` R ) ) )
42	41	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ -. U = { .0. } ) /\ x e. ( Base ` I ) ) /\ A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) ) -> x = ( 1r ` R ) )
43	25	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ -. U = { .0. } ) -> ( Base ` I ) = U )
44	43	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ -. U = { .0. } ) -> ( x e. ( Base ` I ) <-> x e. U ) )
45	44	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ -. U = { .0. } ) -> ( x e. ( Base ` I ) -> x e. U ) )
46	45	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ -. U = { .0. } ) /\ x e. ( Base ` I ) ) -> x e. U )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ -. U = { .0. } ) /\ x e. ( Base ` I ) ) /\ A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) ) -> x e. U )
48	42, 47	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ -. U = { .0. } ) /\ x e. ( Base ` I ) ) /\ A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) ) -> ( 1r ` R ) e. U )
49	48	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ -. U = { .0. } ) /\ x e. ( Base ` I ) ) -> ( A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) -> ( 1r ` R ) e. U ) )
50	49	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ -. U = { .0. } ) -> ( E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) -> ( 1r ` R ) e. U ) )
51	50	impancom 456	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) ) -> ( -. U = { .0. } -> ( 1r ` R ) e. U ) )
52	5	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) -> ( R e. Ring /\ U e. L ) )
53		zlidlring.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` R )
54	6, 53, 37	lidl1el 19218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ U e. L ) -> ( ( 1r ` R ) e. U <-> U = B ) )
55	52, 54	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) -> ( ( 1r ` R ) e. U <-> U = B ) )
56	55	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) ) -> ( ( 1r ` R ) e. U <-> U = B ) )
57	51, 56	sylibd 229	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) ) -> ( -. U = { .0. } -> U = B ) )
58	57	orrd 393	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) ) -> ( U = { .0. } \/ U = B ) )
59	58	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) -> ( E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) -> ( U = { .0. } \/ U = B ) ) )
60	6, 7, 53, 38	zlidlring 41928	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ U = { .0. } ) -> I e. Ring )
61	3	simprbi 480	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. Ring -> E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ U = { .0. } ) -> E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) )
63	62	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> ( U = { .0. } -> E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) ) )
64	4, 63	syl 17	. . . . . . 7 |- ( R e. Domn -> ( U = { .0. } -> E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) ) )
65	64	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) -> ( U = { .0. } -> E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) ) )
66	5	anim1i 592	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) -> ( ( R e. Ring /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) )
67	53, 13	ringideu 18565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> E! x e. B A. y e. B ( ( x ( .r ` R ) y ) = y /\ ( y ( .r ` R ) x ) = y ) )
68		reurex 3160	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E! x e. B A. y e. B ( ( x ( .r ` R ) y ) = y /\ ( y ( .r ` R ) x ) = y ) -> E. x e. B A. y e. B ( ( x ( .r ` R ) y ) = y /\ ( y ( .r ` R ) x ) = y ) )
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> E. x e. B A. y e. B ( ( x ( .r ` R ) y ) = y /\ ( y ( .r ` R ) x ) = y ) )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ U e. L ) -> E. x e. B A. y e. B ( ( x ( .r ` R ) y ) = y /\ ( y ( .r ` R ) x ) = y ) )
71	70	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ U = B ) -> E. x e. B A. y e. B ( ( x ( .r ` R ) y ) = y /\ ( y ( .r ` R ) x ) = y ) )
72	7, 53	ressbas 15930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. L -> ( U i^i B ) = ( Base ` I ) )
73	72	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ U = B ) -> ( U i^i B ) = ( Base ` I ) )
74		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U = B -> ( U i^i B ) = ( B i^i B ) )
75		inidm 3822	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B i^i B ) = B
76	74, 75	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U = B -> ( U i^i B ) = B )
77	76	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ U = B ) -> ( U i^i B ) = B )
78	73, 77	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ U = B ) -> ( Base ` I ) = B )
79	20	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ U = B ) -> ( ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) <-> ( ( x ( .r ` R ) y ) = y /\ ( y ( .r ` R ) x ) = y ) ) )
80	78, 79	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ U = B ) -> ( A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) <-> A. y e. B ( ( x ( .r ` R ) y ) = y /\ ( y ( .r ` R ) x ) = y ) ) )
81	78, 80	rexeqbidv 3153	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ U = B ) -> ( E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) <-> E. x e. B A. y e. B ( ( x ( .r ` R ) y ) = y /\ ( y ( .r ` R ) x ) = y ) ) )
82	71, 81	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) /\ U = B ) -> E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) )
83	82	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) -> ( U = B -> E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) ) )
84	66, 83	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) -> ( U = B -> E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) ) )
85	65, 84	jaod 395	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) -> ( ( U = { .0. } \/ U = B ) -> E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) ) )
86	59, 85	impbid 202	. . . 4 |- ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) -> ( E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) <-> ( U = { .0. } \/ U = B ) ) )
87	12, 86	bitrd 268	. . 3 |- ( ( ( R e. Domn /\ U e. L ) /\ I e. Rng ) -> ( ( I e. Rng /\ E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) ) <-> ( U = { .0. } \/ U = B ) ) )
88	9, 87	mpdan 702	. 2 |- ( ( R e. Domn /\ U e. L ) -> ( ( I e. Rng /\ E. x e. ( Base ` I ) A. y e. ( Base ` I ) ( ( x ( .r ` I ) y ) = y /\ ( y ( .r ` I ) x ) = y ) ) <-> ( U = { .0. } \/ U = B ) ) )
89	3, 88	syl5bb 272	1 |- ( ( R e. Domn /\ U e. L ) -> ( I e. Ring <-> ( U = { .0. } \/ U = B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   i^i cin 3573   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   1rcur 18501   Ringcrg 18547  LIdealclidl 19170  Domncdomn 19280  Rngcrng 41874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-nzr 19258  df-domn 19284  df-rng0 41875

This theorem is referenced by:  lidldomnnring  41930