Theorem vdwlem10 15694

Description: Lemma for vdw 15698. Set up secondary induction on M. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdw.r	|- ( ph -> R e. Fin )
vdwlem9.k	|- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` 2 ) )
vdwlem9.s	|- ( ph -> A. s e. Fin E. n e. NN A. f e. ( s ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f )
vdwlem10.m	|- ( ph -> M e. NN )

Assertion

Ref	Expression
vdwlem10	|- ( ph -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. M , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) )

Distinct variable groups:   ph, n, f   f, s, K, n   f, M, n   R, f, n, s   ph, f

Allowed substitution hints:   ph( s)   M( s)

Proof of Theorem vdwlem10

Dummy variables a c d g h k m u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwlem10.m	. 2 |- ( ph -> M e. NN )
2		opeq1 4402	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> <. x , K >. = <. 1 , K >. )
3	2	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( <. x , K >. PolyAP f <-> <. 1 , K >. PolyAP f ) )
4	3	orbi1d 739	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( <. x , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) <-> ( <. 1 , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
5	4	rexralbidv 3058	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. x , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) <-> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. 1 , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
6	5	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = 1 -> ( ( ph -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. x , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) <-> ( ph -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. 1 , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) ) )
7		opeq1 4402	. . . . . . 7 |- ( x = m -> <. x , K >. = <. m , K >. )
8	7	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( x = m -> ( <. x , K >. PolyAP f <-> <. m , K >. PolyAP f ) )
9	8	orbi1d 739	. . . . 5 |- ( x = m -> ( ( <. x , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) <-> ( <. m , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
10	9	rexralbidv 3058	. . . 4 |- ( x = m -> ( E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. x , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) <-> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. m , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
11	10	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = m -> ( ( ph -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. x , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) <-> ( ph -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. m , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) ) )
12		opeq1 4402	. . . . . . 7 |- ( x = ( m + 1 ) -> <. x , K >. = <. ( m + 1 ) , K >. )
13	12	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( x = ( m + 1 ) -> ( <. x , K >. PolyAP f <-> <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP f ) )
14	13	orbi1d 739	. . . . 5 |- ( x = ( m + 1 ) -> ( ( <. x , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) <-> ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
15	14	rexralbidv 3058	. . . 4 |- ( x = ( m + 1 ) -> ( E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. x , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) <-> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
16	15	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = ( m + 1 ) -> ( ( ph -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. x , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) <-> ( ph -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) ) )
17		opeq1 4402	. . . . . . 7 |- ( x = M -> <. x , K >. = <. M , K >. )
18	17	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( <. x , K >. PolyAP f <-> <. M , K >. PolyAP f ) )
19	18	orbi1d 739	. . . . 5 |- ( x = M -> ( ( <. x , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) <-> ( <. M , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
20	19	rexralbidv 3058	. . . 4 |- ( x = M -> ( E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. x , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) <-> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. M , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
21	20	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = M -> ( ( ph -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. x , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) <-> ( ph -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. M , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) ) )
22		vdw.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. Fin )
23		vdwlem9.s	. . . . . 6 |- ( ph -> A. s e. Fin E. n e. NN A. f e. ( s ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f )
24		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( s = R -> ( s ^m ( 1 ... n ) ) = ( R ^m ( 1 ... n ) ) )
25	24	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( s = R -> ( A. f e. ( s ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f <-> A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f ) )
26	25	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( s = R -> ( E. n e. NN A. f e. ( s ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f <-> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f ) )
27	26	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( R e. Fin -> ( A. s e. Fin E. n e. NN A. f e. ( s ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f ) )
28	22, 23, 27	sylc 65	. . . . 5 |- ( ph -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f )
29		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( n = w -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... w ) )
30	29	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( n = w -> ( R ^m ( 1 ... n ) ) = ( R ^m ( 1 ... w ) ) )
31	30	raleqdv 3144	. . . . . 6 |- ( n = w -> ( A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f <-> A. f e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) K MonoAP f ) )
32	31	cbvrexv 3172	. . . . 5 |- ( E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f <-> E. w e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) K MonoAP f )
33	28, 32	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> E. w e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) K MonoAP f )
34		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( f = g -> ( K MonoAP f <-> K MonoAP g ) )
35	34	cbvralv 3171	. . . . . 6 |- ( A. f e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) K MonoAP f <-> A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) K MonoAP g )
36		2nn 11185	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
37		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. NN ) -> w e. NN )
38		nnmulcl 11043	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN /\ w e. NN ) -> ( 2 x. w ) e. NN )
39	36, 37, 38	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. NN ) -> ( 2 x. w ) e. NN )
40	22	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. NN ) -> R e. Fin )
41		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... ( 2 x. w ) ) e. _V
42		elmapg 7870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Fin /\ ( 1 ... ( 2 x. w ) ) e. _V ) -> ( f e. ( R ^m ( 1 ... ( 2 x. w ) ) ) <-> f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) )
43	40, 41, 42	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. NN ) -> ( f e. ( R ^m ( 1 ... ( 2 x. w ) ) ) <-> f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) )
44	43	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f e. ( R ^m ( 1 ... ( 2 x. w ) ) ) ) -> f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R )
45		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ y e. ( 1 ... w ) ) -> f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R )
46		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( 1 ... w ) -> y e. NN )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ y e. ( 1 ... w ) ) -> y e. NN )
48	47	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ y e. ( 1 ... w ) ) -> y e. RR )
49		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ y e. ( 1 ... w ) ) -> w e. NN )
50	49	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ y e. ( 1 ... w ) ) -> w e. RR )
51		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( 1 ... w ) -> y <_ w )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ y e. ( 1 ... w ) ) -> y <_ w )
53	48, 50, 50, 52	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ y e. ( 1 ... w ) ) -> ( y + w ) <_ ( w + w ) )
54	49	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ y e. ( 1 ... w ) ) -> w e. CC )
55	54	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ y e. ( 1 ... w ) ) -> ( 2 x. w ) = ( w + w ) )
56	53, 55	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ y e. ( 1 ... w ) ) -> ( y + w ) <_ ( 2 x. w ) )
57	47, 49	nnaddcld 11067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ y e. ( 1 ... w ) ) -> ( y + w ) e. NN )
58		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
59	57, 58	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ y e. ( 1 ... w ) ) -> ( y + w ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
60	39	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ y e. ( 1 ... w ) ) -> ( 2 x. w ) e. NN )
61	60	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ y e. ( 1 ... w ) ) -> ( 2 x. w ) e. ZZ )
62		elfz5 12334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y + w ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( 2 x. w ) e. ZZ ) -> ( ( y + w ) e. ( 1 ... ( 2 x. w ) ) <-> ( y + w ) <_ ( 2 x. w ) ) )
63	59, 61, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ y e. ( 1 ... w ) ) -> ( ( y + w ) e. ( 1 ... ( 2 x. w ) ) <-> ( y + w ) <_ ( 2 x. w ) ) )
64	56, 63	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ y e. ( 1 ... w ) ) -> ( y + w ) e. ( 1 ... ( 2 x. w ) ) )
65	45, 64	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ y e. ( 1 ... w ) ) -> ( f ` ( y + w ) ) e. R )
66		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( x + w ) = ( y + w ) )
67	66	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( f ` ( x + w ) ) = ( f ` ( y + w ) ) )
68	67	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) = ( y e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( y + w ) ) )
69	65, 68	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) -> ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) : ( 1 ... w ) --> R )
70		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... w ) e. _V
71		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Fin /\ ( 1 ... w ) e. _V ) -> ( ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) <-> ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) : ( 1 ... w ) --> R ) )
72	40, 70, 71	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. NN ) -> ( ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) <-> ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) : ( 1 ... w ) --> R ) )
73	72	biimpar 502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) : ( 1 ... w ) --> R ) -> ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) )
74	69, 73	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) -> ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) )
75		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) -> ( K MonoAP g <-> K MonoAP ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) ) )
76	75	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) -> ( A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) K MonoAP g -> K MonoAP ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) ) )
77	74, 76	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) -> ( A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) K MonoAP g -> K MonoAP ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) ) )
78		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN0
79		vdwlem9.k	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` 2 ) )
80	79	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) -> K e. ( ZZ>= ` 2 ) )
81		eluznn0 11757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. NN0 /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> K e. NN0 )
82	78, 80, 81	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) -> K e. NN0 )
83	70, 82, 69	vdwmc 15682	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) -> ( K MonoAP ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) <-> E. c E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) " { c } ) ) )
84	40	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) " { c } ) ) ) -> R e. Fin )
85	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) " { c } ) ) ) -> K e. ( ZZ>= ` 2 ) )
86		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) " { c } ) ) ) -> w e. NN )
87		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) " { c } ) ) ) -> f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R )
88		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- c e. _V
89		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) " { c } ) ) ) -> a e. NN )
90		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) " { c } ) ) ) -> d e. NN )
91		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) " { c } ) ) ) -> ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) " { c } ) )
92	84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 68	vdwlem8 15692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) " { c } ) ) ) -> <. 1 , K >. PolyAP f )
93	92	orcd 407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) " { c } ) ) ) -> ( <. 1 , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) )
94	93	expr 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) /\ ( a e. NN /\ d e. NN ) ) -> ( ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) " { c } ) -> ( <. 1 , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
95	94	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) -> ( E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) " { c } ) -> ( <. 1 , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
96	95	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) -> ( E. c E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) " { c } ) -> ( <. 1 , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
97	83, 96	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) -> ( K MonoAP ( x e. ( 1 ... w ) |-> ( f ` ( x + w ) ) ) -> ( <. 1 , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
98	77, 97	syld 47	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f : ( 1 ... ( 2 x. w ) ) --> R ) -> ( A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) K MonoAP g -> ( <. 1 , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
99	44, 98	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ w e. NN ) /\ f e. ( R ^m ( 1 ... ( 2 x. w ) ) ) ) -> ( A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) K MonoAP g -> ( <. 1 , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
100	99	ralrimdva 2969	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. NN ) -> ( A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) K MonoAP g -> A. f e. ( R ^m ( 1 ... ( 2 x. w ) ) ) ( <. 1 , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
101		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( 2 x. w ) -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... ( 2 x. w ) ) )
102	101	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( 2 x. w ) -> ( R ^m ( 1 ... n ) ) = ( R ^m ( 1 ... ( 2 x. w ) ) ) )
103	102	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( n = ( 2 x. w ) -> ( A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. 1 , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) <-> A. f e. ( R ^m ( 1 ... ( 2 x. w ) ) ) ( <. 1 , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
104	103	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. w ) e. NN /\ A. f e. ( R ^m ( 1 ... ( 2 x. w ) ) ) ( <. 1 , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. 1 , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) )
105	39, 100, 104	syl6an 568	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. NN ) -> ( A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) K MonoAP g -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. 1 , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
106	35, 105	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. NN ) -> ( A. f e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) K MonoAP f -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. 1 , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
107	106	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( ph -> ( E. w e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) K MonoAP f -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. 1 , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
108	33, 107	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. 1 , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) )
109		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( <. m , K >. PolyAP f <-> <. m , K >. PolyAP g ) )
110		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( ( K + 1 ) MonoAP f <-> ( K + 1 ) MonoAP g ) )
111	109, 110	orbi12d 746	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( ( <. m , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) <-> ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) )
112	111	cbvralv 3171	. . . . . . . 8 |- ( A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. m , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) <-> A. g e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) )
113	30	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 |- ( n = w -> ( A. g e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) <-> A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) )
114	112, 113	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( n = w -> ( A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. m , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) <-> A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) )
115	114	cbvrexv 3172	. . . . . 6 |- ( E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. m , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) <-> E. w e. NN A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) )
116	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) ) -> R e. Fin )
117		fzfi 12771	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 ... w ) e. Fin
118		mapfi 8262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Fin /\ ( 1 ... w ) e. Fin ) -> ( R ^m ( 1 ... w ) ) e. Fin )
119	116, 117, 118	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) ) -> ( R ^m ( 1 ... w ) ) e. Fin )
120	23	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) ) -> A. s e. Fin E. n e. NN A. f e. ( s ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f )
121		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = v -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... v ) )
122	121	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = v -> ( s ^m ( 1 ... n ) ) = ( s ^m ( 1 ... v ) ) )
123	122	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = v -> ( A. f e. ( s ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f <-> A. f e. ( s ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) )
124	123	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. n e. NN A. f e. ( s ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f <-> E. v e. NN A. f e. ( s ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f )
125		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = ( R ^m ( 1 ... w ) ) -> ( s ^m ( 1 ... v ) ) = ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) )
126	125	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = ( R ^m ( 1 ... w ) ) -> ( A. f e. ( s ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f <-> A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) )
127	126	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( R ^m ( 1 ... w ) ) -> ( E. v e. NN A. f e. ( s ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f <-> E. v e. NN A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) )
128	124, 127	syl5bb 272	. . . . . . . . . 10 |- ( s = ( R ^m ( 1 ... w ) ) -> ( E. n e. NN A. f e. ( s ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f <-> E. v e. NN A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) )
129	128	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) e. Fin -> ( A. s e. Fin E. n e. NN A. f e. ( s ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f -> E. v e. NN A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) )
130	119, 120, 129	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) ) -> E. v e. NN A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f )
131		simprll 802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) /\ ( v e. NN /\ A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) ) ) -> w e. NN )
132		simprrl 804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) /\ ( v e. NN /\ A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) ) ) -> v e. NN )
133		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. NN /\ v e. NN ) -> ( 2 x. v ) e. NN )
134	36, 133	mpan 706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v e. NN -> ( 2 x. v ) e. NN )
135		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. NN /\ ( 2 x. v ) e. NN ) -> ( w x. ( 2 x. v ) ) e. NN )
136	134, 135	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. NN /\ v e. NN ) -> ( w x. ( 2 x. v ) ) e. NN )
137	131, 132, 136	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) /\ ( v e. NN /\ A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) ) ) -> ( w x. ( 2 x. v ) ) e. NN )
138		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) /\ ( v e. NN /\ A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) ) /\ h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) ) -> ph )
139	138, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) /\ ( v e. NN /\ A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) ) /\ h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) ) -> R e. Fin )
140	138, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) /\ ( v e. NN /\ A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) ) /\ h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) ) -> K e. ( ZZ>= ` 2 ) )
141	138, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) /\ ( v e. NN /\ A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) ) /\ h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) ) -> A. s e. Fin E. n e. NN A. f e. ( s ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f )
142		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) /\ ( v e. NN /\ A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) ) /\ h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) ) -> m e. NN )
143		simp2ll 1128	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) /\ ( v e. NN /\ A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) ) /\ h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) ) -> w e. NN )
144		simp2lr 1129	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) /\ ( v e. NN /\ A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) ) /\ h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) ) -> A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) )
145		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = k -> ( <. m , K >. PolyAP g <-> <. m , K >. PolyAP k ) )
146		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = k -> ( ( K + 1 ) MonoAP g <-> ( K + 1 ) MonoAP k ) )
147	145, 146	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = k -> ( ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) <-> ( <. m , K >. PolyAP k \/ ( K + 1 ) MonoAP k ) ) )
148	147	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) <-> A. k e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP k \/ ( K + 1 ) MonoAP k ) )
149	144, 148	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) /\ ( v e. NN /\ A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) ) /\ h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) ) -> A. k e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP k \/ ( K + 1 ) MonoAP k ) )
150		simp2rl 1130	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) /\ ( v e. NN /\ A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) ) /\ h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) ) -> v e. NN )
151		simp2rr 1131	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) /\ ( v e. NN /\ A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) ) /\ h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) ) -> A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f )
152		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) /\ ( v e. NN /\ A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) ) /\ h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) ) -> h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) )
153		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) e. _V
154		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. Fin /\ ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) e. _V ) -> ( h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) <-> h : ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) --> R ) )
155	139, 153, 154	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) /\ ( v e. NN /\ A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) ) /\ h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) ) -> ( h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) <-> h : ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) --> R ) )
156	152, 155	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) /\ ( v e. NN /\ A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) ) /\ h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) ) -> h : ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) --> R )
157		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = u -> ( y + ( w x. ( ( x - 1 ) + v ) ) ) = ( u + ( w x. ( ( x - 1 ) + v ) ) ) )
158	157	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = u -> ( h ` ( y + ( w x. ( ( x - 1 ) + v ) ) ) ) = ( h ` ( u + ( w x. ( ( x - 1 ) + v ) ) ) ) )
159	158	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( 1 ... w ) |-> ( h ` ( y + ( w x. ( ( x - 1 ) + v ) ) ) ) ) = ( u e. ( 1 ... w ) |-> ( h ` ( u + ( w x. ( ( x - 1 ) + v ) ) ) ) )
160		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = z -> ( x - 1 ) = ( z - 1 ) )
161	160	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = z -> ( ( x - 1 ) + v ) = ( ( z - 1 ) + v ) )
162	161	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( w x. ( ( x - 1 ) + v ) ) = ( w x. ( ( z - 1 ) + v ) ) )
163	162	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( u + ( w x. ( ( x - 1 ) + v ) ) ) = ( u + ( w x. ( ( z - 1 ) + v ) ) ) )
164	163	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( h ` ( u + ( w x. ( ( x - 1 ) + v ) ) ) ) = ( h ` ( u + ( w x. ( ( z - 1 ) + v ) ) ) ) )
165	164	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( u e. ( 1 ... w ) |-> ( h ` ( u + ( w x. ( ( x - 1 ) + v ) ) ) ) ) = ( u e. ( 1 ... w ) |-> ( h ` ( u + ( w x. ( ( z - 1 ) + v ) ) ) ) ) )
166	159, 165	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( y e. ( 1 ... w ) |-> ( h ` ( y + ( w x. ( ( x - 1 ) + v ) ) ) ) ) = ( u e. ( 1 ... w ) |-> ( h ` ( u + ( w x. ( ( z - 1 ) + v ) ) ) ) ) )
167	166	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 1 ... v ) |-> ( y e. ( 1 ... w ) |-> ( h ` ( y + ( w x. ( ( x - 1 ) + v ) ) ) ) ) ) = ( z e. ( 1 ... v ) |-> ( u e. ( 1 ... w ) |-> ( h ` ( u + ( w x. ( ( z - 1 ) + v ) ) ) ) ) )
168	139, 140, 141, 142, 143, 149, 150, 151, 156, 167	vdwlem9 15693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) /\ ( v e. NN /\ A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) ) /\ h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) ) -> ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP h \/ ( K + 1 ) MonoAP h ) )
169	168	3expia 1267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) /\ ( v e. NN /\ A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) ) ) -> ( h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) -> ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP h \/ ( K + 1 ) MonoAP h ) ) )
170	169	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) /\ ( v e. NN /\ A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) ) ) -> A. h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP h \/ ( K + 1 ) MonoAP h ) )
171		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( w x. ( 2 x. v ) ) -> ( 1 ... n ) = ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) )
172	171	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( w x. ( 2 x. v ) ) -> ( R ^m ( 1 ... n ) ) = ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) )
173	172	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( w x. ( 2 x. v ) ) -> ( A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) <-> A. f e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
174		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = h -> ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP f <-> <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP h ) )
175		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = h -> ( ( K + 1 ) MonoAP f <-> ( K + 1 ) MonoAP h ) )
176	174, 175	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = h -> ( ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) <-> ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP h \/ ( K + 1 ) MonoAP h ) ) )
177	176	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. f e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) <-> A. h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP h \/ ( K + 1 ) MonoAP h ) )
178	173, 177	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( w x. ( 2 x. v ) ) -> ( A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) <-> A. h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP h \/ ( K + 1 ) MonoAP h ) ) )
179	178	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w x. ( 2 x. v ) ) e. NN /\ A. h e. ( R ^m ( 1 ... ( w x. ( 2 x. v ) ) ) ) ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP h \/ ( K + 1 ) MonoAP h ) ) -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) )
180	137, 170, 179	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) /\ ( v e. NN /\ A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) ) ) -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) )
181	180	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) ) /\ ( v e. NN /\ A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... w ) ) ^m ( 1 ... v ) ) K MonoAP f ) ) -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) )
182	130, 181	rexlimddv 3035	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( w e. NN /\ A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) ) -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) )
183	182	rexlimdvaa 3032	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( E. w e. NN A. g e. ( R ^m ( 1 ... w ) ) ( <. m , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
184	115, 183	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. m , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
185	184	expcom 451	. . . 4 |- ( m e. NN -> ( ph -> ( E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. m , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) ) )
186	185	a2d 29	. . 3 |- ( m e. NN -> ( ( ph -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. m , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) -> ( ph -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. ( m + 1 ) , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) ) )
187	6, 11, 16, 21, 108, 186	nnind 11038	. 2 |- ( M e. NN -> ( ph -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. M , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) ) )
188	1, 187	mpcom 38	1 |- ( ph -> E. n e. NN A. f e. ( R ^m ( 1 ... n ) ) ( <. M , K >. PolyAP f \/ ( K + 1 ) MonoAP f ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  APcvdwa 15669   MonoAP cvdwm 15670   PolyAP cvdwp 15671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-hash 13118  df-vdwap 15672  df-vdwmc 15673  df-vdwpc 15674

This theorem is referenced by:  vdwlem11  15695