Theorem swrd0val 13421

Description: Value of the subword extractor for left-anchored subwords. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrd0val	|- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) = ( S |` ( 0..^ L ) ) )

Proof of Theorem swrd0val

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 12342	. . . . . . . 8 |- ( L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) -> L e. ZZ )
2	1	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) -> L e. ZZ )
3	2	zcnd 11483	. . . . . 6 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) -> L e. CC )
4	3	subid1d 10381	. . . . 5 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) -> ( L - 0 ) = L )
5	4	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) -> ( 0..^ ( L - 0 ) ) = ( 0..^ L ) )
6	5	mpteq1d 4738	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) |-> ( S ` ( x + 0 ) ) ) = ( x e. ( 0..^ L ) |-> ( S ` ( x + 0 ) ) ) )
7		elfzoelz 12470	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0..^ L ) -> x e. ZZ )
8	7	zcnd 11483	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0..^ L ) -> x e. CC )
9	8	addid1d 10236	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0..^ L ) -> ( x + 0 ) = x )
10	9	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( x e. ( 0..^ L ) -> ( S ` ( x + 0 ) ) = ( S ` x ) )
11	10	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) /\ x e. ( 0..^ L ) ) -> ( S ` ( x + 0 ) ) = ( S ` x ) )
12	11	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ L ) |-> ( S ` ( x + 0 ) ) ) = ( x e. ( 0..^ L ) |-> ( S ` x ) ) )
13	6, 12	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) |-> ( S ` ( x + 0 ) ) ) = ( x e. ( 0..^ L ) |-> ( S ` x ) ) )
14		simpl 473	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) -> S e. Word A )
15		elfzuz 12338	. . . . 5 |- ( L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) -> L e. ( ZZ>= ` 0 ) )
16	15	adantl 482	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) -> L e. ( ZZ>= ` 0 ) )
17		eluzfz1 12348	. . . 4 |- ( L e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
18	16, 17	syl 17	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) -> 0 e. ( 0 ... L ) )
19		simpr 477	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) -> L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) )
20		swrdval2 13420	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ 0 e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) = ( x e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) |-> ( S ` ( x + 0 ) ) ) )
21	14, 18, 19, 20	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) = ( x e. ( 0..^ ( L - 0 ) ) |-> ( S ` ( x + 0 ) ) ) )
22		wrdf 13310	. . . 4 |- ( S e. Word A -> S : ( 0..^ ( # ` S ) ) --> A )
23	22	adantr 481	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) -> S : ( 0..^ ( # ` S ) ) --> A )
24		elfzuz3 12339	. . . . 5 |- ( L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) -> ( # ` S ) e. ( ZZ>= ` L ) )
25	24	adantl 482	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) -> ( # ` S ) e. ( ZZ>= ` L ) )
26		fzoss2 12496	. . . 4 |- ( ( # ` S ) e. ( ZZ>= ` L ) -> ( 0..^ L ) C_ ( 0..^ ( # ` S ) ) )
27	25, 26	syl 17	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) -> ( 0..^ L ) C_ ( 0..^ ( # ` S ) ) )
28	23, 27	feqresmpt 6250	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) -> ( S |` ( 0..^ L ) ) = ( x e. ( 0..^ L ) |-> ( S ` x ) ) )
29	13, 21, 28	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( S e. Word A /\ L e. ( 0 ... ( # ` S ) ) ) -> ( S substr <. 0 , L >. ) = ( S |` ( 0..^ L ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   + caddc 9939   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   substr csubstr 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-substr 13303

This theorem is referenced by:  swrd0len  13422  swrdccat1  13457  psgnunilem5  17914  efgsres  18151  efgredlemd  18157  efgredlem  18160  wlkreslem0  26565  wwlksm1edg  26767  iwrdsplit  30449  wrdsplex  30618  signsvtn0  30647