Theorem yoncl 16902

Description: The Yoneda embedding is a functor from the category to the category Q of presheaves on C. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
yonval.y	|- Y = (Yon ` C )
yonval.c	|- ( ph -> C e. Cat )
yonval.o	|- O = (oppCat ` C )
yoncl.s	|- S = ( SetCat ` U )
yoncl.q	|- Q = ( O FuncCat S )
yoncl.u	|- ( ph -> U e. V )
yoncl.h	|- ( ph -> ran ( Hom f ` C ) C_ U )

Assertion

Ref	Expression
yoncl	|- ( ph -> Y e. ( C Func Q ) )

Proof of Theorem yoncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		yonval.y	. . 3 |- Y = (Yon ` C )
2		yonval.c	. . 3 |- ( ph -> C e. Cat )
3		yonval.o	. . 3 |- O = (oppCat ` C )
4		eqid 2622	. . 3 |- (HomF ` O ) = (HomF ` O )
5	1, 2, 3, 4	yonval 16901	. 2 |- ( ph -> Y = ( <. C , O >. curryF (HomF ` O ) ) )
6		eqid 2622	. . 3 |- ( <. C , O >. curryF (HomF ` O ) ) = ( <. C , O >. curryF (HomF ` O ) )
7		yoncl.q	. . 3 |- Q = ( O FuncCat S )
8	3	oppccat 16382	. . . 4 |- ( C e. Cat -> O e. Cat )
9	2, 8	syl 17	. . 3 |- ( ph -> O e. Cat )
10		yoncl.s	. . . 4 |- S = ( SetCat ` U )
11		yoncl.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. V )
12		yoncl.h	. . . 4 |- ( ph -> ran ( Hom f ` C ) C_ U )
13	3, 4, 10, 2, 11, 12	oppchofcl 16900	. . 3 |- ( ph -> (HomF ` O ) e. ( ( C X.c O ) Func S ) )
14	6, 7, 2, 9, 13	curfcl 16872	. 2 |- ( ph -> ( <. C , O >. curryF (HomF ` O ) ) e. ( C Func Q ) )
15	5, 14	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> Y e. ( C Func Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   <.cop 4183   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Catccat 16325   Hom _f chomf 16327  oppCatcoppc 16371   Func cfunc 16514   FuncCat cfuc 16602   SetCatcsetc 16725   curry_F ccurf 16850  Hom_Fchof 16888  Yoncyon 16889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-hom 15966  df-cco 15967  df-cat 16329  df-cid 16330  df-homf 16331  df-comf 16332  df-oppc 16372  df-func 16518  df-nat 16603  df-fuc 16604  df-setc 16726  df-xpc 16812  df-curf 16854  df-hof 16890  df-yon 16891

This theorem is referenced by:  yon1cl  16903  oyoncl  16910  yonedalem1  16912  yonedalem21  16913  yonedalem22  16918  yonedalem3b  16919  yonedainv  16921  yonffthlem  16922  yoniso  16925