Theorem uzwo3 11783

Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has a unique least element. This generalization of uzwo2 11752 allows the lower bound B to be any real number. See also nnwo 11753 and nnwos 11755. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uzwo3	|- ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) -> E! x e. A A. y e. A x <_ y )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Proof of Theorem uzwo3

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 10344	. . . 4 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
2	1	adantr 481	. . 3 |- ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) -> -u B e. RR )
3		arch 11289	. . 3 |- ( -u B e. RR -> E. n e. NN -u B < n )
4	2, 3	syl 17	. 2 |- ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) -> E. n e. NN -u B < n )
5		simplrl 800	. . . . 5 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A C_ { z e. ZZ | B <_ z } )
6		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> n e. NN )
7		nnnegz 11380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> -u n e. ZZ )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u n e. ZZ )
9	8	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u n e. RR )
10		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> z e. ZZ )
11	10	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> z e. RR )
12		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> B e. RR )
13	6	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> n e. RR )
14		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u B < n )
15	12, 13, 14	ltnegcon1d 10607	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u n < B )
16		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> B <_ z )
17	9, 12, 11, 15, 16	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u n < z )
18	9, 11, 17	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> -u n <_ z )
19		eluz 11701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u n e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( z e. ( ZZ>= ` -u n ) <-> -u n <_ z ) )
20	8, 10, 19	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> ( z e. ( ZZ>= ` -u n ) <-> -u n <_ z ) )
21	18, 20	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( z e. ZZ /\ B <_ z ) ) -> z e. ( ZZ>= ` -u n ) )
22	21	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ z e. ZZ ) -> ( B <_ z -> z e. ( ZZ>= ` -u n ) ) )
23	22	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A. z e. ZZ ( B <_ z -> z e. ( ZZ>= ` -u n ) ) )
24		rabss 3679	. . . . . . 7 |- ( { z e. ZZ | B <_ z } C_ ( ZZ>= ` -u n ) <-> A. z e. ZZ ( B <_ z -> z e. ( ZZ>= ` -u n ) ) )
25	23, 24	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> { z e. ZZ | B <_ z } C_ ( ZZ>= ` -u n ) )
26	25	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> { z e. ZZ | B <_ z } C_ ( ZZ>= ` -u n ) )
27	5, 26	sstrd 3613	. . . 4 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` -u n ) )
28		simplrr 801	. . . 4 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A =/= (/) )
29		infssuzcl 11772	. . . 4 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` -u n ) /\ A =/= (/) ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )
30	27, 28, 29	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )
31		infssuzle 11771	. . . . 5 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` -u n ) /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ y )
32	27, 31	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ y )
33	32	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A. y e. A inf ( A , RR , < ) <_ y )
34	30	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )
35		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> A. y e. A x <_ y )
36		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( y = inf ( A , RR , < ) -> ( x <_ y <-> x <_ inf ( A , RR , < ) ) )
37	36	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- (inf ( A , RR , < ) e. A -> ( A. y e. A x <_ y -> x <_ inf ( A , RR , < ) ) )
38	34, 35, 37	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> x <_ inf ( A , RR , < ) )
39	27	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` -u n ) )
40		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> x e. A )
41		infssuzle 11771	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` -u n ) /\ x e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ x )
42	39, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> inf ( A , RR , < ) <_ x )
43		uzssz 11707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ZZ>= ` -u n ) C_ ZZ
44		zssre 11384	. . . . . . . . . . 11 |- ZZ C_ RR
45	43, 44	sstri 3612	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` -u n ) C_ RR
46	27, 45	syl6ss 3615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A C_ RR )
47	46	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> A C_ RR )
48	47, 40	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> x e. RR )
49	46, 30	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
50	49	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
51	48, 50	letri3d 10179	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> ( x = inf ( A , RR , < ) <-> ( x <_ inf ( A , RR , < ) /\ inf ( A , RR , < ) <_ x ) ) )
52	38, 42, 51	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ ( x e. A /\ A. y e. A x <_ y ) ) -> x = inf ( A , RR , < ) )
53	52	expr 643	. . . 4 |- ( ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) /\ x e. A ) -> ( A. y e. A x <_ y -> x = inf ( A , RR , < ) ) )
54	53	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> A. x e. A ( A. y e. A x <_ y -> x = inf ( A , RR , < ) ) )
55		breq1 4656	. . . . 5 |- ( x = inf ( A , RR , < ) -> ( x <_ y <-> inf ( A , RR , < ) <_ y ) )
56	55	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( x = inf ( A , RR , < ) -> ( A. y e. A x <_ y <-> A. y e. A inf ( A , RR , < ) <_ y ) )
57	56	eqreu 3398	. . 3 |- ( (inf ( A , RR , < ) e. A /\ A. y e. A inf ( A , RR , < ) <_ y /\ A. x e. A ( A. y e. A x <_ y -> x = inf ( A , RR , < ) ) ) -> E! x e. A A. y e. A x <_ y )
58	30, 33, 54, 57	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) /\ ( n e. NN /\ -u B < n ) ) -> E! x e. A A. y e. A x <_ y )
59	4, 58	rexlimddv 3035	1 |- ( ( B e. RR /\ ( A C_ { z e. ZZ | B <_ z } /\ A =/= (/) ) ) -> E! x e. A A. y e. A x <_ y )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  infcinf 8347   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  zmin  11784