Theorem zncyg 19897

Description: The group ZZ / n ZZ is cyclic for all n (including n = 0). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zncyg.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )

Assertion

Ref	Expression
zncyg	|- ( N e. NN0 -> Y e. CycGrp )

Proof of Theorem zncyg

Dummy variables x n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zncyg.y	. . . . 5 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
2	1	zncrng 19893	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
3		crngring 18558	. . . 4 |- ( Y e. CRing -> Y e. Ring )
4	2, 3	syl 17	. . 3 |- ( N e. NN0 -> Y e. Ring )
5		ringgrp 18552	. . 3 |- ( Y e. Ring -> Y e. Grp )
6	4, 5	syl 17	. 2 |- ( N e. NN0 -> Y e. Grp )
7		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
8		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 1r ` Y ) = ( 1r ` Y )
9	7, 8	ringidcl 18568	. . . 4 |- ( Y e. Ring -> ( 1r ` Y ) e. ( Base ` Y ) )
10	4, 9	syl 17	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 1r ` Y ) e. ( Base ` Y ) )
11		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
12		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (.g ` Y ) = (.g ` Y )
13	11, 12, 8	zrhval2 19857	. . . . . 6 |- ( Y e. Ring -> ( ZRHom ` Y ) = ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) ) )
14	4, 13	syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) = ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) ) )
15	14	rneqd 5353	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ran ( ZRHom ` Y ) = ran ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) ) )
16	1, 7, 11	znzrhfo 19896	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
17		forn 6118	. . . . 5 |- ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) -> ran ( ZRHom ` Y ) = ( Base ` Y ) )
18	16, 17	syl 17	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ran ( ZRHom ` Y ) = ( Base ` Y ) )
19	15, 18	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ran ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) ) = ( Base ` Y ) )
20		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = ( 1r ` Y ) -> ( n (.g ` Y ) x ) = ( n (.g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) )
21	20	mpteq2dv 4745	. . . . . 6 |- ( x = ( 1r ` Y ) -> ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` Y ) x ) ) = ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) ) )
22	21	rneqd 5353	. . . . 5 |- ( x = ( 1r ` Y ) -> ran ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` Y ) x ) ) = ran ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) ) )
23	22	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( x = ( 1r ` Y ) -> ( ran ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` Y ) x ) ) = ( Base ` Y ) <-> ran ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) ) = ( Base ` Y ) ) )
24	23	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( ( 1r ` Y ) e. ( Base ` Y ) /\ ran ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` Y ) ( 1r ` Y ) ) ) = ( Base ` Y ) ) -> E. x e. ( Base ` Y ) ran ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` Y ) x ) ) = ( Base ` Y ) )
25	10, 19, 24	syl2anc 693	. 2 |- ( N e. NN0 -> E. x e. ( Base ` Y ) ran ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` Y ) x ) ) = ( Base ` Y ) )
26	7, 12	iscyg 18281	. 2 |- ( Y e. CycGrp <-> ( Y e. Grp /\ E. x e. ( Base ` Y ) ran ( n e. ZZ |-> ( n (.g ` Y ) x ) ) = ( Base ` Y ) ) )
27	6, 25, 26	sylanbrc 698	1 |- ( N e. NN0 -> Y e. CycGrp )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   Basecbs 15857   Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540  CycGrpccyg 18279   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-cyg 18280  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855

This theorem is referenced by:  cygth  19920