MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsqrtelqelz Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem zsqrtelqelz 15466
Description: If an integer has a rational square root, that root is must be an integer. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
zsqrtelqelz |- ( ( A e. ZZ /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( sqr ` A ) e. ZZ )
Proof of Theorem zsqrtelqelz
StepHypRef Expression
1 qdencl 15449 . . . . 5 |- ( ( sqr ` A ) e. QQ -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. NN )
21adantl 482 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. NN )
32nnred 11035 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. RR )
4 1red 10055 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 1 e. RR )
52nnnn0d 11351 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) e. NN0 )
65nn0ge0d 11354 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 0 <_ (denom ` ( sqr ` A ) ) )
7 0le1 10551 . . . 4 |- 0 <_ 1
87a1i 11 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> 0 <_ 1 )
9 sq1 12958 . . . . 5 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
109a1i 11 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
11 zcn 11382 . . . . . . . 8 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
1211sqsqrtd 14178 . . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
1312adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
1413fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = (denom ` A ) )
15 simpl 473 . . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. ZZ )
16 zq 11794 . . . . . . . 8 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
1716adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> A e. QQ )
18 qden1elz 15465 . . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> ( (denom ` A ) = 1 <-> A e. ZZ ) )
1917, 18syl 17 . . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( (denom ` A ) = 1 <-> A e. ZZ ) )
2015, 19mpbird 247 . . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` A ) = 1 )
2114, 20eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = 1 )
22 densq 15464 . . . . 5 |- ( ( sqr ` A ) e. QQ -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = ( (denom ` ( sqr ` A ) ) ^ 2 ) )
2322adantl 482 . . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = ( (denom ` ( sqr ` A ) ) ^ 2 ) )
2410, 21, 233eqtr2rd 2663 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( (denom ` ( sqr ` A ) ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
253, 4, 6, 8, 24sq11d 13045 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> (denom ` ( sqr ` A ) ) = 1 )
26 qden1elz 15465 . . 3 |- ( ( sqr ` A ) e. QQ -> ( (denom ` ( sqr ` A ) ) = 1 <-> ( sqr ` A ) e. ZZ ) )
2726adantl 482 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( (denom ` ( sqr ` A ) ) = 1 <-> ( sqr ` A ) e. ZZ ) )
2825, 27mpbid 222 1 |- ( ( A e. ZZ /\ ( sqr ` A ) e. QQ ) -> ( sqr ` A ) e. ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   QQcq 11788   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973  denomcdenom 15442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-numer 15443  df-denom 15444
This theorem is referenced by:  nonsq  15467  dchrisum0flblem2  25198
  Copyright terms: Public domain W3C validator