Theorem dchrisum0flblem2 25198

Description: Lemma for dchrisum0flb 25199. Induction over relatively prime factors, with the prime power case handled in dchrisum0flblem1 . (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.) Replace reference to OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 8-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum0f.f	|- F = ( b e. NN |-> sum_ v e. { q e. NN | q || b } ( X ` ( L ` v ) ) )
dchrisum0f.x	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum0flb.r	|- ( ph -> X : ( Base ` Z ) --> RR )
dchrisum0flb.1	|- ( ph -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
dchrisum0flb.2	|- ( ph -> P e. Prime )
dchrisum0flb.3	|- ( ph -> P || A )
dchrisum0flb.4	|- ( ph -> A. y e. ( 1..^ A ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0flblem2	|- ( ph -> if ( ( sqr ` A ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` A ) )

Distinct variable groups:   y, .1.   y, F   q, b, v, y, A   N, q, y   P, b, q, v, y   y, Z   y, D   L, b, v, y   X, b, v, y

Allowed substitution hints:   ph( y, v, q, b)   D( v, q, b)   .1. ( v, q, b)   F( v, q, b)   G( y, v, q, b)   L( q)   N( v, b)   X( q)   Z( v, q, b)

Proof of Theorem dchrisum0flblem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4656	. . 3 |- ( 1 = if ( ( sqr ` A ) e. NN , 1 , 0 ) -> ( 1 <_ ( ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) x. ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) ) <-> if ( ( sqr ` A ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) x. ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) ) ) )
2		breq1 4656	. . 3 |- ( 0 = if ( ( sqr ` A ) e. NN , 1 , 0 ) -> ( 0 <_ ( ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) x. ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) ) <-> if ( ( sqr ` A ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) x. ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) ) ) )
3		1t1e1 11175	. . . 4 |- ( 1 x. 1 ) = 1
4		dchrisum0flb.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P e. Prime )
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> P e. Prime )
6		nnq 11801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( sqr ` A ) e. NN -> ( sqr ` A ) e. QQ )
7	6	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( sqr ` A ) e. QQ )
8		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( sqr ` A ) e. NN -> ( sqr ` A ) =/= 0 )
9	8	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( sqr ` A ) =/= 0 )
10		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. ZZ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> 2 e. ZZ )
12		pcexp 15564	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Prime /\ ( ( sqr ` A ) e. QQ /\ ( sqr ` A ) =/= 0 ) /\ 2 e. ZZ ) -> ( P pCnt ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( P pCnt ( sqr ` A ) ) ) )
13	5, 7, 9, 11, 12	syl121anc 1331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( P pCnt ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( P pCnt ( sqr ` A ) ) ) )
14		dchrisum0flb.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
15		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. NN )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. NN )
17	16	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. CC )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> A e. CC )
19	18	sqsqrtd 14178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
20	19	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( P pCnt ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) = ( P pCnt A ) )
21		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> 2 e. CC )
22		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( sqr ` A ) e. NN )
23	5, 22	pccld 15555	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( P pCnt ( sqr ` A ) ) e. NN0 )
24	23	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( P pCnt ( sqr ` A ) ) e. CC )
25	21, 24	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( 2 x. ( P pCnt ( sqr ` A ) ) ) = ( ( P pCnt ( sqr ` A ) ) x. 2 ) )
26	13, 20, 25	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( ( P pCnt ( sqr ` A ) ) x. 2 ) = ( P pCnt A ) )
27	26	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( P ^ ( ( P pCnt ( sqr ` A ) ) x. 2 ) ) = ( P ^ ( P pCnt A ) ) )
28		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
29	5, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> P e. NN )
30	29	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> P e. CC )
31		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN0
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> 2 e. NN0 )
33	30, 32, 23	expmuld 13011	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( P ^ ( ( P pCnt ( sqr ` A ) ) x. 2 ) ) = ( ( P ^ ( P pCnt ( sqr ` A ) ) ) ^ 2 ) )
34	27, 33	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( P ^ ( P pCnt A ) ) = ( ( P ^ ( P pCnt ( sqr ` A ) ) ) ^ 2 ) )
35	34	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( sqr ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) = ( sqr ` ( ( P ^ ( P pCnt ( sqr ` A ) ) ) ^ 2 ) ) )
36	29, 23	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( P ^ ( P pCnt ( sqr ` A ) ) ) e. NN )
37	36	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( P ^ ( P pCnt ( sqr ` A ) ) ) e. RR+ )
38	37	rprege0d 11879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( sqr ` A ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( P ^ ( P pCnt ( sqr ` A ) ) ) ) )
39		sqrtsq 14010	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P ^ ( P pCnt ( sqr ` A ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( P ^ ( P pCnt ( sqr ` A ) ) ) ) -> ( sqr ` ( ( P ^ ( P pCnt ( sqr ` A ) ) ) ^ 2 ) ) = ( P ^ ( P pCnt ( sqr ` A ) ) ) )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( sqr ` ( ( P ^ ( P pCnt ( sqr ` A ) ) ) ^ 2 ) ) = ( P ^ ( P pCnt ( sqr ` A ) ) ) )
41	35, 40	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( sqr ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) = ( P ^ ( P pCnt ( sqr ` A ) ) ) )
42	41, 36	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( sqr ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. NN )
43	42	iftrued 4094	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> if ( ( sqr ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) = 1 )
44		rpvmasum.z	. . . . . . . 8 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
45		rpvmasum.l	. . . . . . . 8 |- L = ( ZRHom ` Z )
46		rpvmasum.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
47		rpvmasum2.g	. . . . . . . 8 |- G = (DChr ` N )
48		rpvmasum2.d	. . . . . . . 8 |- D = ( Base ` G )
49		rpvmasum2.1	. . . . . . . 8 |- .1. = ( 0g ` G )
50		dchrisum0f.f	. . . . . . . 8 |- F = ( b e. NN |-> sum_ v e. { q e. NN | q || b } ( X ` ( L ` v ) ) )
51		dchrisum0f.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. D )
52		dchrisum0flb.r	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X : ( Base ` Z ) --> RR )
53	4, 16	pccld 15555	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P pCnt A ) e. NN0 )
54	44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 4, 53	dchrisum0flblem1 25197	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( sqr ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) )
55	54	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> if ( ( sqr ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) )
56	43, 55	eqbrtrrd 4677	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> 1 <_ ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) )
57		pcdvds 15568	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN ) -> ( P ^ ( P pCnt A ) ) || A )
58	4, 16, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P ^ ( P pCnt A ) ) || A )
59	4, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. NN )
60	59, 53	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( P ^ ( P pCnt A ) ) e. NN )
61		nndivdvds 14989	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ ( P ^ ( P pCnt A ) ) e. NN ) -> ( ( P ^ ( P pCnt A ) ) || A <-> ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. NN ) )
62	16, 60, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( P ^ ( P pCnt A ) ) || A <-> ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. NN ) )
63	58, 62	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. NN )
64	63	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. ZZ )
65	64	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. ZZ )
66	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> A e. NN )
67	66	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> A e. RR+ )
68	67	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
69	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( P ^ ( P pCnt A ) ) e. NN )
70	69	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( P ^ ( P pCnt A ) ) e. RR+ )
71		sqrtdiv 14006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( P ^ ( P pCnt A ) ) e. RR+ ) -> ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) = ( ( sqr ` A ) / ( sqr ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) )
72	68, 70, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) = ( ( sqr ` A ) / ( sqr ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) )
73		nnz 11399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( sqr ` A ) e. NN -> ( sqr ` A ) e. ZZ )
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( sqr ` A ) e. ZZ )
75		znq 11792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( sqr ` A ) e. ZZ /\ ( sqr ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. NN ) -> ( ( sqr ` A ) / ( sqr ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. QQ )
76	74, 42, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( ( sqr ` A ) / ( sqr ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. QQ )
77	72, 76	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. QQ )
78		zsqrtelqelz 15466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. ZZ /\ ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. QQ ) -> ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. ZZ )
79	65, 77, 78	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. ZZ )
80	63	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. NN )
81	80	nnrpd 11870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. RR+ )
82	81	sqrtgt0d 14151	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> 0 < ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) )
83		elnnz 11387	. . . . . . . 8 |- ( ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. NN <-> ( ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. ZZ /\ 0 < ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) ) )
84	79, 82, 83	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. NN )
85	84	iftrued 4094	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> if ( ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) = 1 )
86		nnuz 11723	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
87	63, 86	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
88	16	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. ZZ )
89	59	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. RR )
90		dchrisum0flb.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P || A )
91		pcelnn 15574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN ) -> ( ( P pCnt A ) e. NN <-> P || A ) )
92	4, 16, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( P pCnt A ) e. NN <-> P || A ) )
93	90, 92	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P pCnt A ) e. NN )
94		prmuz2 15408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
95		eluz2b2 11761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( P e. NN /\ 1 < P ) )
96	95	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < P )
97	4, 94, 96	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 < P )
98		expgt1 12898	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. RR /\ ( P pCnt A ) e. NN /\ 1 < P ) -> 1 < ( P ^ ( P pCnt A ) ) )
99	89, 93, 97, 98	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 < ( P ^ ( P pCnt A ) ) )
100		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. RR )
101		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 1
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < 1 )
103	60	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P ^ ( P pCnt A ) ) e. RR )
104	60	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < ( P ^ ( P pCnt A ) ) )
105	16	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR )
106	16	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < A )
107		ltdiv2 10909	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( ( P ^ ( P pCnt A ) ) e. RR /\ 0 < ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( 1 < ( P ^ ( P pCnt A ) ) <-> ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) < ( A / 1 ) ) )
108	100, 102, 103, 104, 105, 106, 107	syl222anc 1342	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 < ( P ^ ( P pCnt A ) ) <-> ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) < ( A / 1 ) ) )
109	99, 108	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) < ( A / 1 ) )
110	17	div1d 10793	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A / 1 ) = A )
111	109, 110	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) < A )
112		elfzo2 12473	. . . . . . . . 9 |- ( ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. ( 1..^ A ) <-> ( ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ A e. ZZ /\ ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) < A ) )
113	87, 88, 111, 112	syl3anbrc 1246	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. ( 1..^ A ) )
114		dchrisum0flb.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. y e. ( 1..^ A ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) )
115		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) -> ( sqr ` y ) = ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) )
116	115	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) -> ( ( sqr ` y ) e. NN <-> ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. NN ) )
117	116	ifbid 4108	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) -> if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) = if ( ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) )
118		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) )
119	117, 118	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) -> ( if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) <-> if ( ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) ) )
120	119	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. ( 1..^ A ) -> ( A. y e. ( 1..^ A ) if ( ( sqr ` y ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` y ) -> if ( ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) ) )
121	113, 114, 120	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) )
122	121	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> if ( ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) )
123	85, 122	eqbrtrrd 4677	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> 1 <_ ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) )
124		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
125		0le1 10551	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 1
126	124, 125	pm3.2i 471	. . . . . . 7 |- ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 )
127	126	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) )
128	44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52	dchrisum0ff 25196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN --> RR )
129	128, 60	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. RR )
130	129	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. RR )
131	128, 63	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. RR )
132	131	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. RR )
133		lemul12a 10881	. . . . . 6 |- ( ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. RR ) /\ ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. RR ) ) -> ( ( 1 <_ ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) /\ 1 <_ ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) ) -> ( 1 x. 1 ) <_ ( ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) x. ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) ) ) )
134	127, 130, 127, 132, 133	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( ( 1 <_ ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) /\ 1 <_ ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) ) -> ( 1 x. 1 ) <_ ( ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) x. ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) ) ) )
135	56, 123, 134	mp2and 715	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> ( 1 x. 1 ) <_ ( ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) x. ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) ) )
136	3, 135	syl5eqbrr 4689	. . 3 |- ( ( ph /\ ( sqr ` A ) e. NN ) -> 1 <_ ( ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) x. ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) ) )
137		0red 10041	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. RR )
138		0re 10040	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
139	124, 138	keepel 4155	. . . . . . 7 |- if ( ( sqr ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) e. RR
140	139	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( ( sqr ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) e. RR )
141		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( 1 = if ( ( sqr ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) -> ( 0 <_ 1 <-> 0 <_ if ( ( sqr ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) ) )
142		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( 0 = if ( ( sqr ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) -> ( 0 <_ 0 <-> 0 <_ if ( ( sqr ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) ) )
143		0le0 11110	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 0
144	141, 142, 125, 143	keephyp 4152	. . . . . . 7 |- 0 <_ if ( ( sqr ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. NN , 1 , 0 )
145	144	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ if ( ( sqr ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) )
146	137, 140, 129, 145, 54	letrd 10194	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) )
147	124, 138	keepel 4155	. . . . . . 7 |- if ( ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) e. RR
148	147	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) e. RR )
149		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( 1 = if ( ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) -> ( 0 <_ 1 <-> 0 <_ if ( ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) ) )
150		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( 0 = if ( ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) -> ( 0 <_ 0 <-> 0 <_ if ( ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) ) )
151	149, 150, 125, 143	keephyp 4152	. . . . . . 7 |- 0 <_ if ( ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. NN , 1 , 0 )
152	151	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ if ( ( sqr ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) e. NN , 1 , 0 ) )
153	137, 148, 131, 152, 121	letrd 10194	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) )
154	129, 131, 146, 153	mulge0d 10604	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) x. ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) ) )
155	154	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( sqr ` A ) e. NN ) -> 0 <_ ( ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) x. ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) ) )
156	1, 2, 136, 155	ifbothda 4123	. 2 |- ( ph -> if ( ( sqr ` A ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) x. ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) ) )
157	60	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ph -> ( P ^ ( P pCnt A ) ) e. CC )
158	60	nnne0d 11065	. . . . 5 |- ( ph -> ( P ^ ( P pCnt A ) ) =/= 0 )
159	17, 157, 158	divcan2d 10803	. . . 4 |- ( ph -> ( ( P ^ ( P pCnt A ) ) x. ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) = A )
160	159	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ph -> ( F ` ( ( P ^ ( P pCnt A ) ) x. ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) ) = ( F ` A ) )
161		pcndvds2 15572	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ A e. NN ) -> -. P || ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) )
162	4, 16, 161	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> -. P || ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) )
163		coprm 15423	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. ZZ ) -> ( -. P || ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) <-> ( P gcd ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) = 1 ) )
164	4, 64, 163	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. P || ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) <-> ( P gcd ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) = 1 ) )
165	162, 164	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( P gcd ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) = 1 )
166		prmz 15389	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
167	4, 166	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. ZZ )
168		rpexp1i 15433	. . . . . 6 |- ( ( P e. ZZ /\ ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) e. ZZ /\ ( P pCnt A ) e. NN0 ) -> ( ( P gcd ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) = 1 -> ( ( P ^ ( P pCnt A ) ) gcd ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) = 1 ) )
169	167, 64, 53, 168	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( P gcd ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) = 1 -> ( ( P ^ ( P pCnt A ) ) gcd ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) = 1 ) )
170	165, 169	mpd 15	. . . 4 |- ( ph -> ( ( P ^ ( P pCnt A ) ) gcd ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) = 1 )
171	44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 60, 63, 170	dchrisum0fmul 25195	. . 3 |- ( ph -> ( F ` ( ( P ^ ( P pCnt A ) ) x. ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) ) = ( ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) x. ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) ) )
172	160, 171	eqtr3d 2658	. 2 |- ( ph -> ( F ` A ) = ( ( F ` ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) x. ( F ` ( A / ( P ^ ( P pCnt A ) ) ) ) ) )
173	156, 172	breqtrrd 4681	1 |- ( ph -> if ( ( sqr ` A ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   QQcq 11788   RR+crp 11832  ..^cfzo 12465   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   sum_csu 14416   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541   Basecbs 15857   0gc0g 16100   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-numer 15443  df-denom 15444  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-od 17948  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  dchrisum0flb  25199