Theorem 163prm 15832

Description: 163 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
163prm	⊢ ;;163 ∈ ℙ

Proof of Theorem 163prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11308	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		6nn0 11313	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
4		3nn 11186	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 11518	. 2 ⊢ ;;163 ∈ ℕ
6		8nn0 11315	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 11311	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		3nn0 11310	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
9		1lt8 11221	. . 3 ⊢ 1 < 8
10		6lt10 11676	. . 3 ⊢ 6 < ;10
11		3lt10 11679	. . 3 ⊢ 3 < ;10
12	1, 6, 2, 7, 8, 1, 9, 10, 11	3decltc 11538	. 2 ⊢ ;;163 < ;;841
13		6nn 11189	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
14	1, 13	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ
15		1lt10 11681	. . 3 ⊢ 1 < ;10
16	14, 8, 1, 15	declti 11546	. 2 ⊢ 1 < ;;163
17		2cn 11091	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
18	17	mulid2i 10043	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
19		df-3 11080	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
20	3, 1, 18, 19	dec2dvds 15767	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;163
21		5nn0 11312	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22	21, 7	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;54 ∈ ℕ0
23		1nn 11031	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
24		0nn0 11307	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
25		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;54 = ;54
26	1	dec0h 11522	. . . 4 ⊢ 1 = ;01
27		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	27	addid2i 10224	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
29	28	oveq2i 6661	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + (0 + 1)) = ((3 · 5) + 1)
30		5p1e6 11155	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
31		5cn 11100	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℂ
32		3cn 11095	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		5t3e15 11635	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
34	31, 32, 33	mulcomli 10047	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
35	1, 21, 30, 34	decsuc 11535	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
36	29, 35	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((3 · 5) + (0 + 1)) = ;16
37		2nn0 11309	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
38		2p1e3 11151	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
39		4cn 11098	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
40		4t3e12 11632	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
41	39, 32, 40	mulcomli 10047	. . . . 5 ⊢ (3 · 4) = ;12
42	1, 37, 38, 41	decsuc 11535	. . . 4 ⊢ ((3 · 4) + 1) = ;13
43	21, 7, 24, 1, 25, 26, 8, 8, 1, 36, 42	decma2c 11568	. . 3 ⊢ ((3 · ;54) + 1) = ;;163
44		1lt3 11196	. . 3 ⊢ 1 < 3
45	4, 22, 23, 43, 44	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;163
46		3lt5 11201	. . 3 ⊢ 3 < 5
47	3, 4, 46	dec5dvds 15768	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;163
48		7nn 11190	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
49	37, 8	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
50		2nn 11185	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
51		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
52	37	dec0h 11522	. . . 4 ⊢ 2 = ;02
53		7nn0 11314	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
54	17	addid2i 10224	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
55	54	oveq2i 6661	. . . . 5 ⊢ ((7 · 2) + (0 + 2)) = ((7 · 2) + 2)
56		7t2e14 11648	. . . . . 6 ⊢ (7 · 2) = ;14
57		4p2e6 11162	. . . . . 6 ⊢ (4 + 2) = 6
58	1, 7, 37, 56, 57	decaddi 11579	. . . . 5 ⊢ ((7 · 2) + 2) = ;16
59	55, 58	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((7 · 2) + (0 + 2)) = ;16
60		7t3e21 11649	. . . . 5 ⊢ (7 · 3) = ;21
61		1p2e3 11152	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
62	37, 1, 37, 60, 61	decaddi 11579	. . . 4 ⊢ ((7 · 3) + 2) = ;23
63	37, 8, 24, 37, 51, 52, 53, 8, 37, 59, 62	decma2c 11568	. . 3 ⊢ ((7 · ;23) + 2) = ;;163
64		2lt7 11213	. . 3 ⊢ 2 < 7
65	48, 49, 50, 63, 64	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;163
66	1, 23	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
67	1, 7	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
68		9nn 11192	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ
69		9nn0 11316	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
70		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
71	69	dec0h 11522	. . . 4 ⊢ 9 = ;09
72	1, 1	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
73	31	addid2i 10224	. . . . . 6 ⊢ (0 + 5) = 5
74	73	oveq2i 6661	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 5)) = ((;11 · 1) + 5)
75	66	nncni 11030	. . . . . . 7 ⊢ ;11 ∈ ℂ
76	75	mulid1i 10042	. . . . . 6 ⊢ (;11 · 1) = ;11
77	31, 27, 30	addcomli 10228	. . . . . 6 ⊢ (1 + 5) = 6
78	1, 1, 21, 76, 77	decaddi 11579	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 1) + 5) = ;16
79	74, 78	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 5)) = ;16
80		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;11 = ;11
81	39	mulid2i 10043	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 4) = 4
82	81, 28	oveq12i 6662	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 1)) = (4 + 1)
83		4p1e5 11154	. . . . . 6 ⊢ (4 + 1) = 5
84	82, 83	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 1)) = 5
85	81	oveq1i 6660	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 4) + 9) = (4 + 9)
86		9cn 11108	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
87		9p4e13 11622	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 4) = ;13
88	86, 39, 87	addcomli 10228	. . . . . 6 ⊢ (4 + 9) = ;13
89	85, 88	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + 9) = ;13
90	1, 1, 24, 69, 80, 71, 7, 8, 1, 84, 89	decmac 11566	. . . 4 ⊢ ((;11 · 4) + 9) = ;53
91	1, 7, 24, 69, 70, 71, 72, 8, 21, 79, 90	decma2c 11568	. . 3 ⊢ ((;11 · ;14) + 9) = ;;163
92		9lt10 11673	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
93	23, 1, 69, 92	declti 11546	. . 3 ⊢ 9 < ;11
94	66, 67, 68, 91, 93	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;163
95	1, 4	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
96	1, 37	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
97		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;12 = ;12
98	53	dec0h 11522	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
99	1, 8	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
100		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;13 = ;13
101	32	addid2i 10224	. . . . . 6 ⊢ (0 + 3) = 3
102	8	dec0h 11522	. . . . . 6 ⊢ 3 = ;03
103	101, 102	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ (0 + 3) = ;03
104	27	mulid1i 10042	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
105		00id 10211	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
106	104, 105	oveq12i 6662	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
107	27	addid1i 10223	. . . . . 6 ⊢ (1 + 0) = 1
108	106, 107	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
109	32	mulid1i 10042	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
110	109	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 3) = (3 + 3)
111		3p3e6 11161	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
112	110, 111	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 3) = 6
113	2	dec0h 11522	. . . . . 6 ⊢ 6 = ;06
114	112, 113	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 3) = ;06
115	1, 8, 24, 8, 100, 103, 1, 2, 24, 108, 114	decmac 11566	. . . 4 ⊢ ((;13 · 1) + (0 + 3)) = ;16
116	18, 28	oveq12i 6662	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
117	116, 38	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
118		3t2e6 11179	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 2) = 6
119	118	oveq1i 6660	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 7) = (6 + 7)
120		7cn 11104	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
121		6cn 11102	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
122		7p6e13 11608	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 6) = ;13
123	120, 121, 122	addcomli 10228	. . . . . 6 ⊢ (6 + 7) = ;13
124	119, 123	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ ((3 · 2) + 7) = ;13
125	1, 8, 24, 53, 100, 98, 37, 8, 1, 117, 124	decmac 11566	. . . 4 ⊢ ((;13 · 2) + 7) = ;33
126	1, 37, 24, 53, 97, 98, 99, 8, 8, 115, 125	decma2c 11568	. . 3 ⊢ ((;13 · ;12) + 7) = ;;163
127		7lt10 11675	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
128	23, 8, 53, 127	declti 11546	. . 3 ⊢ 7 < ;13
129	95, 96, 48, 126, 128	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;163
130	1, 48	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
131		10nn 11514	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
132		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
133		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;10 = ;10
134	86	mulid2i 10043	. . . . . 6 ⊢ (1 · 9) = 9
135		6p1e7 11156	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
136	121, 27, 135	addcomli 10228	. . . . . 6 ⊢ (1 + 6) = 7
137	134, 136	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 6)) = (9 + 7)
138		9p7e16 11625	. . . . 5 ⊢ (9 + 7) = ;16
139	137, 138	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((1 · 9) + (1 + 6)) = ;16
140		9t7e63 11668	. . . . . . 7 ⊢ (9 · 7) = ;63
141	86, 120, 140	mulcomli 10047	. . . . . 6 ⊢ (7 · 9) = ;63
142	141	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ ((7 · 9) + 0) = (;63 + 0)
143	2, 8	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;63 ∈ ℕ0
144	143	nn0cni 11304	. . . . . 6 ⊢ ;63 ∈ ℂ
145	144	addid1i 10223	. . . . 5 ⊢ (;63 + 0) = ;63
146	142, 145	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((7 · 9) + 0) = ;63
147	1, 53, 1, 24, 132, 133, 69, 8, 2, 139, 146	decmac 11566	. . 3 ⊢ ((;17 · 9) + ;10) = ;;163
148		7pos 11120	. . . 4 ⊢ 0 < 7
149	1, 24, 48, 148	declt 11530	. . 3 ⊢ ;10 < ;17
150	130, 69, 131, 147, 149	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;163
151	1, 68	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
152		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
153		8cn 11106	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
154	153	mulid2i 10043	. . . . . 6 ⊢ (1 · 8) = 8
155		7p1e8 11157	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 1) = 8
156	120, 27, 155	addcomli 10228	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) = 8
157	154, 156	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ ((1 · 8) + (1 + 7)) = (8 + 8)
158		8p8e16 11618	. . . . 5 ⊢ (8 + 8) = ;16
159	157, 158	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((1 · 8) + (1 + 7)) = ;16
160		9t8e72 11669	. . . . 5 ⊢ (9 · 8) = ;72
161	53, 37, 38, 160	decsuc 11535	. . . 4 ⊢ ((9 · 8) + 1) = ;73
162	1, 69, 1, 1, 152, 80, 6, 8, 53, 159, 161	decmac 11566	. . 3 ⊢ ((;19 · 8) + ;11) = ;;163
163		1lt9 11229	. . . 4 ⊢ 1 < 9
164	1, 1, 68, 163	declt 11530	. . 3 ⊢ ;11 < ;19
165	151, 6, 66, 162, 164	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;163
166	37, 4	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
167	120, 17, 56	mulcomli 10047	. . . . 5 ⊢ (2 · 7) = ;14
168	1, 7, 37, 167, 57	decaddi 11579	. . . 4 ⊢ ((2 · 7) + 2) = ;16
169	120, 32, 60	mulcomli 10047	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
170	37, 1, 37, 169, 61	decaddi 11579	. . . 4 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
171	37, 8, 37, 51, 53, 8, 37, 168, 170	decrmac 11577	. . 3 ⊢ ((;23 · 7) + 2) = ;;163
172		2lt10 11680	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
173	50, 8, 37, 172	declti 11546	. . 3 ⊢ 2 < ;23
174	166, 53, 50, 171, 173	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;163
175	5, 12, 16, 20, 45, 47, 65, 94, 129, 150, 165, 174	prmlem2 15827	1 ⊢ ;;163 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  5c5 11073  6c6 11074  7c7 11075  8c8 11076  9c9 11077  ;cdc 11493  ℙcprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by: (None)