Theorem 83prm 15830

Description: 83 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
83prm	⊢ ;83 ∈ ℙ

Proof of Theorem 83prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		8nn0 11315	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
2		3nn 11186	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 11518	. 2 ⊢ ;83 ∈ ℕ
4		4nn0 11311	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ0
5	1, 4	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;84 ∈ ℕ0
6		3nn0 11310	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
7		1nn0 11308	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
8		3lt10 11679	. . 3 ⊢ 3 < ;10
9		8nn 11191	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
10		8lt10 11674	. . . 4 ⊢ 8 < ;10
11	9, 4, 1, 10	declti 11546	. . 3 ⊢ 8 < ;84
12	1, 5, 6, 7, 8, 11	decltc 11532	. 2 ⊢ ;83 < ;;841
13		1lt10 11681	. . 3 ⊢ 1 < ;10
14	9, 6, 7, 13	declti 11546	. 2 ⊢ 1 < ;83
15		2cn 11091	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
16	15	mulid2i 10043	. . 3 ⊢ (1 · 2) = 2
17		df-3 11080	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
18	1, 7, 16, 17	dec2dvds 15767	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;83
19		2nn0 11309	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
20		7nn0 11314	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
21	19, 20	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
22		2nn 11185	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
23		0nn0 11307	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
24		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;27 = ;27
25	19	dec0h 11522	. . . 4 ⊢ 2 = ;02
26		3t2e6 11179	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) = 6
27	15	addid2i 10224	. . . . . 6 ⊢ (0 + 2) = 2
28	26, 27	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
29		6p2e8 11169	. . . . 5 ⊢ (6 + 2) = 8
30	28, 29	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
31	20	nn0cni 11304	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
32		3cn 11095	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
33		7t3e21 11649	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
34	31, 32, 33	mulcomli 10047	. . . . 5 ⊢ (3 · 7) = ;21
35		1p2e3 11152	. . . . 5 ⊢ (1 + 2) = 3
36	19, 7, 19, 34, 35	decaddi 11579	. . . 4 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
37	19, 20, 23, 19, 24, 25, 6, 6, 19, 30, 36	decma2c 11568	. . 3 ⊢ ((3 · ;27) + 2) = ;83
38		2lt3 11195	. . 3 ⊢ 2 < 3
39	2, 21, 22, 37, 38	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;83
40		3lt5 11201	. . 3 ⊢ 3 < 5
41	1, 2, 40	dec5dvds 15768	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;83
42		7nn 11190	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
43	7, 7	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
44		6nn 11189	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
45	44	nnnn0i 11300	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
46		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;11 = ;11
47	45	dec0h 11522	. . . 4 ⊢ 6 = ;06
48	31	mulid1i 10042	. . . . . 6 ⊢ (7 · 1) = 7
49		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
50	49	addid2i 10224	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
51	48, 50	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = (7 + 1)
52		7p1e8 11157	. . . . 5 ⊢ (7 + 1) = 8
53	51, 52	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + (0 + 1)) = 8
54	48	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ ((7 · 1) + 6) = (7 + 6)
55		7p6e13 11608	. . . . 5 ⊢ (7 + 6) = ;13
56	54, 55	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((7 · 1) + 6) = ;13
57	7, 7, 23, 45, 46, 47, 20, 6, 7, 53, 56	decma2c 11568	. . 3 ⊢ ((7 · ;11) + 6) = ;83
58		6lt7 11209	. . 3 ⊢ 6 < 7
59	42, 43, 44, 57, 58	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;83
60		1nn 11031	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
61	7, 60	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
62	61	nncni 11030	. . . . . 6 ⊢ ;11 ∈ ℂ
63	62, 31	mulcomi 10046	. . . . 5 ⊢ (;11 · 7) = (7 · ;11)
64	63	oveq1i 6660	. . . 4 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ((7 · ;11) + 6)
65	64, 57	eqtri 2644	. . 3 ⊢ ((;11 · 7) + 6) = ;83
66		6lt10 11676	. . . 4 ⊢ 6 < ;10
67	60, 7, 45, 66	declti 11546	. . 3 ⊢ 6 < ;11
68	61, 20, 44, 65, 67	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;83
69	7, 2	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
70		5nn 11188	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
71	70	nnnn0i 11300	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
72		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;13 = ;13
73	71	dec0h 11522	. . . 4 ⊢ 5 = ;05
74		6cn 11102	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℂ
75	74	mulid2i 10043	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
76	75, 27	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = (6 + 2)
77	76, 29	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 2)) = 8
78		6t3e18 11642	. . . . . 6 ⊢ (6 · 3) = ;18
79	74, 32, 78	mulcomli 10047	. . . . 5 ⊢ (3 · 6) = ;18
80		1p1e2 11134	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
81		8p5e13 11615	. . . . 5 ⊢ (8 + 5) = ;13
82	7, 1, 71, 79, 80, 6, 81	decaddci 11580	. . . 4 ⊢ ((3 · 6) + 5) = ;23
83	7, 6, 23, 71, 72, 73, 45, 6, 19, 77, 82	decmac 11566	. . 3 ⊢ ((;13 · 6) + 5) = ;83
84		5lt10 11677	. . . 4 ⊢ 5 < ;10
85	60, 6, 71, 84	declti 11546	. . 3 ⊢ 5 < ;13
86	69, 45, 70, 83, 85	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;83
87	7, 42	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
88	7, 70	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;15 ∈ ℕ
89		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;17 = ;17
90		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;15 = ;15
91	4	nn0cni 11304	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
92	91	mulid2i 10043	. . . . . 6 ⊢ (1 · 4) = 4
93		3p1e4 11153	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
94	32, 49, 93	addcomli 10228	. . . . . 6 ⊢ (1 + 3) = 4
95	92, 94	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = (4 + 4)
96		4p4e8 11164	. . . . 5 ⊢ (4 + 4) = 8
97	95, 96	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (1 + 3)) = 8
98		7t4e28 11650	. . . . 5 ⊢ (7 · 4) = ;28
99		2p1e3 11151	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
100	19, 1, 71, 98, 99, 6, 81	decaddci 11580	. . . 4 ⊢ ((7 · 4) + 5) = ;33
101	7, 20, 7, 71, 89, 90, 4, 6, 6, 97, 100	decmac 11566	. . 3 ⊢ ((;17 · 4) + ;15) = ;83
102		5lt7 11210	. . . 4 ⊢ 5 < 7
103	7, 71, 42, 102	declt 11530	. . 3 ⊢ ;15 < ;17
104	87, 4, 88, 101, 103	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;83
105		9nn 11192	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
106	7, 105	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
107		9nn0 11316	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
108		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;19 = ;19
109	20	dec0h 11522	. . . 4 ⊢ 7 = ;07
110	91	addid2i 10224	. . . . . 6 ⊢ (0 + 4) = 4
111	92, 110	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = (4 + 4)
112	111, 96	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 4)) = 8
113		9t4e36 11665	. . . . 5 ⊢ (9 · 4) = ;36
114	31, 74, 55	addcomli 10228	. . . . 5 ⊢ (6 + 7) = ;13
115	6, 45, 20, 113, 93, 6, 114	decaddci 11580	. . . 4 ⊢ ((9 · 4) + 7) = ;43
116	7, 107, 23, 20, 108, 109, 4, 6, 4, 112, 115	decmac 11566	. . 3 ⊢ ((;19 · 4) + 7) = ;83
117		7lt10 11675	. . . 4 ⊢ 7 < ;10
118	60, 107, 20, 117	declti 11546	. . 3 ⊢ 7 < ;19
119	106, 4, 42, 116, 118	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;83
120	19, 2	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
121		4nn 11187	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
122	7, 121	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;14 ∈ ℕ
123		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;23 = ;23
124		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;14 = ;14
125	32, 15, 26	mulcomli 10047	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) = 6
126	125, 80	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = (6 + 2)
127	126, 29	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + (1 + 1)) = 8
128		3t3e9 11180	. . . . . 6 ⊢ (3 · 3) = 9
129	128	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + 4) = (9 + 4)
130		9p4e13 11622	. . . . 5 ⊢ (9 + 4) = ;13
131	129, 130	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((3 · 3) + 4) = ;13
132	19, 6, 7, 4, 123, 124, 6, 6, 7, 127, 131	decmac 11566	. . 3 ⊢ ((;23 · 3) + ;14) = ;83
133		4lt10 11678	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
134		1lt2 11194	. . . 4 ⊢ 1 < 2
135	7, 19, 4, 6, 133, 134	decltc 11532	. . 3 ⊢ ;14 < ;23
136	120, 6, 122, 132, 135	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;83
137	3, 12, 14, 18, 39, 41, 59, 68, 86, 104, 119, 136	prmlem2 15827	1 ⊢ ;83 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  5c5 11073  6c6 11074  7c7 11075  8c8 11076  9c9 11077  ;cdc 11493  ℙcprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  bpos1  25008