Theorem hashnncl 13157

Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashnncl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashnncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 11053	. . 3 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (#‘𝐴) ≠ 0)
2		hashcl 13147	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
3		elnn0 11294	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (#‘𝐴) = 0))
4	2, 3	sylib 208	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (#‘𝐴) = 0))
5	4	ord 392	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ → (#‘𝐴) = 0))
6	5	necon1ad 2811	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ≠ 0 → (#‘𝐴) ∈ ℕ))
7	1, 6	impbid2 216	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ (#‘𝐴) ≠ 0))
8		hasheq0 13154	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
9	8	necon3bid 2838	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
10	7, 9	bitrd 268	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∅c0 3915  ‘cfv 5888  Fincfn 7955  0cc0 9936  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  hashge1  13178  lennncl  13325  lswlgt0cl  13356  wrdind  13476  wrd2ind  13477  incexc  14569  incexc2  14570  ramub1  15732  gsumwmhm  17382  psgnunilem5  17914  psgnunilem4  17917  gexcl2  18004  sylow1lem3  18015  sylow1lem5  18017  pgpfi  18020  pgpfi2  18021  sylow2alem2  18033  sylow2blem3  18037  slwhash  18039  fislw  18040  sylow3lem3  18044  sylow3lem4  18045  efgsp1  18150  efgsres  18151  efgredlem  18160  lt6abl  18296  ablfacrp2  18466  ablfac1lem  18467  ablfac1b  18469  ablfac1c  18470  ablfac1eu  18472  pgpfac1lem2  18474  pgpfac1lem3a  18475  pgpfaclem2  18481  ablfaclem3  18486  lebnumlem3  22762  birthdaylem3  24680  birthday  24681  amgmlem  24716  amgm  24717  musum  24917  dchrabs  24985  dchrisum0flblem1  25197  cusgrrusgr  26477  wlkiswwlksupgr2  26763  frgrreg  27252  tgoldbachgtda  30739  derangfmla  31172  erdszelem2  31174  rrndstprj2  33630  rrncmslem  33631  rrnequiv  33634  isnumbasgrplem3  37675  fzisoeu  39514  fourierdlem54  40377  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  qndenserrnbllem  40514  ovnhoilem1  40815  hoiqssbllem1  40836  hoiqssbllem2  40837  hoiqssbllem3  40838  vonsn  40905  amgmlemALT  42549