Theorem cyggic 19921

Description: Cyclic groups are isomorphic precisely when they have the same order. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cygctb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cygctb.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
cyggic	⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) → (𝐺 ≃𝑔 𝐻 ↔ 𝐵 ≈ 𝐶))

Proof of Theorem cyggic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cygctb.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		cygctb.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝐻)
3	1, 2	gicen 17720	. 2 ⊢ (𝐺 ≃𝑔 𝐻 → 𝐵 ≈ 𝐶)
4		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0) = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)
5		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)) = (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0))
6	1, 4, 5	cygzn 19919	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)))
7	6	ad2antrr 762	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)))
8		enfi 8176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐶 ∈ Fin))
9	8	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐶 ∈ Fin))
10		hasheni 13136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → (#‘𝐵) = (#‘𝐶))
11	10	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → (#‘𝐵) = (#‘𝐶))
12	9, 11	ifbieq1d 4109	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0) = if(𝐶 ∈ Fin, (#‘𝐶), 0))
13	12	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)) = (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (#‘𝐶), 0)))
14		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝐶 ∈ Fin, (#‘𝐶), 0) = if(𝐶 ∈ Fin, (#‘𝐶), 0)
15		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (#‘𝐶), 0)) = (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (#‘𝐶), 0))
16	2, 14, 15	cygzn 19919	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ CycGrp → 𝐻 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (#‘𝐶), 0)))
17	16	ad2antlr 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐻 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (#‘𝐶), 0)))
18		gicsym 17716	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (#‘𝐶), 0)) → (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (#‘𝐶), 0)) ≃𝑔 𝐻)
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → (ℤ/nℤ‘if(𝐶 ∈ Fin, (#‘𝐶), 0)) ≃𝑔 𝐻)
20	13, 19	eqbrtrd 4675	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)) ≃𝑔 𝐻)
21		gictr 17717	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ≃𝑔 (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)) ∧ (ℤ/nℤ‘if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)) ≃𝑔 𝐻) → 𝐺 ≃𝑔 𝐻)
22	7, 20, 21	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐺 ≃𝑔 𝐻)
23	22	ex 450	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) → (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐺 ≃𝑔 𝐻))
24	3, 23	impbid2 216	1 ⊢ ((𝐺 ∈ CycGrp ∧ 𝐻 ∈ CycGrp) → (𝐺 ≃𝑔 𝐻 ↔ 𝐵 ≈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ifcif 4086   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888   ≈ cen 7952  Fincfn 7955  0cc0 9936  #chash 13117  Basecbs 15857   ≃_𝑔 cgic 17700  CycGrpccyg 18279  ℤ/nℤczn 19851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-gic 17702  df-od 17948  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-cyg 18280  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855

This theorem is referenced by: (None)