Theorem dmdprdpr 18448

Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmdprdpr.z	|- Z = (Cntz ` G )
dmdprdpr.0	|- .0. = ( 0g ` G )
dmdprdpr.s	|- ( ph -> S e. (SubGrp ` G ) )
dmdprdpr.t	|- ( ph -> T e. (SubGrp ` G ) )

Assertion

Ref	Expression
dmdprdpr	|- ( ph -> ( G dom DProd `' ( { S } +c { T } ) <-> ( S C_ ( Z ` T ) /\ ( S i^i T ) = { .0. } ) ) )

Proof of Theorem dmdprdpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4790	. . . . . 6 |- (/) e. _V
2		dmdprdpr.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. (SubGrp ` G ) )
3		dprdsn 18435	. . . . . 6 |- ( ( (/) e. _V /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( G dom DProd { <. (/) , S >. } /\ ( G DProd { <. (/) , S >. } ) = S ) )
4	1, 2, 3	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( G dom DProd { <. (/) , S >. } /\ ( G DProd { <. (/) , S >. } ) = S ) )
5	4	simpld 475	. . . 4 |- ( ph -> G dom DProd { <. (/) , S >. } )
6		dmdprdpr.t	. . . . . . . 8 |- ( ph -> T e. (SubGrp ` G ) )
7		xpscf 16226	. . . . . . . 8 |- ( `' ( { S } +c { T } ) : 2o --> (SubGrp ` G ) <-> ( S e. (SubGrp ` G ) /\ T e. (SubGrp ` G ) ) )
8	2, 6, 7	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ph -> `' ( { S } +c { T } ) : 2o --> (SubGrp ` G ) )
9		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( `' ( { S } +c { T } ) : 2o --> (SubGrp ` G ) -> `' ( { S } +c { T } ) Fn 2o )
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> `' ( { S } +c { T } ) Fn 2o )
11	1	prid1 4297	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) , 1o }
12		df2o3 7573	. . . . . . 7 |- 2o = { (/) , 1o }
13	11, 12	eleqtrri 2700	. . . . . 6 |- (/) e. 2o
14		fnressn 6425	. . . . . 6 |- ( ( `' ( { S } +c { T } ) Fn 2o /\ (/) e. 2o ) -> ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) = { <. (/) , ( `' ( { S } +c { T } ) ` (/) ) >. } )
15	10, 13, 14	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) = { <. (/) , ( `' ( { S } +c { T } ) ` (/) ) >. } )
16		xpsc0 16220	. . . . . . . 8 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( `' ( { S } +c { T } ) ` (/) ) = S )
17	2, 16	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' ( { S } +c { T } ) ` (/) ) = S )
18	17	opeq2d 4409	. . . . . 6 |- ( ph -> <. (/) , ( `' ( { S } +c { T } ) ` (/) ) >. = <. (/) , S >. )
19	18	sneqd 4189	. . . . 5 |- ( ph -> { <. (/) , ( `' ( { S } +c { T } ) ` (/) ) >. } = { <. (/) , S >. } )
20	15, 19	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) = { <. (/) , S >. } )
21	5, 20	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( ph -> G dom DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) )
22		1on 7567	. . . . . 6 |- 1o e. On
23		dprdsn 18435	. . . . . 6 |- ( ( 1o e. On /\ T e. (SubGrp ` G ) ) -> ( G dom DProd { <. 1o , T >. } /\ ( G DProd { <. 1o , T >. } ) = T ) )
24	22, 6, 23	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( G dom DProd { <. 1o , T >. } /\ ( G DProd { <. 1o , T >. } ) = T ) )
25	24	simpld 475	. . . 4 |- ( ph -> G dom DProd { <. 1o , T >. } )
26	22	elexi 3213	. . . . . . . 8 |- 1o e. _V
27	26	prid2 4298	. . . . . . 7 |- 1o e. { (/) , 1o }
28	27, 12	eleqtrri 2700	. . . . . 6 |- 1o e. 2o
29		fnressn 6425	. . . . . 6 |- ( ( `' ( { S } +c { T } ) Fn 2o /\ 1o e. 2o ) -> ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) = { <. 1o , ( `' ( { S } +c { T } ) ` 1o ) >. } )
30	10, 28, 29	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) = { <. 1o , ( `' ( { S } +c { T } ) ` 1o ) >. } )
31		xpsc1 16221	. . . . . . . 8 |- ( T e. (SubGrp ` G ) -> ( `' ( { S } +c { T } ) ` 1o ) = T )
32	6, 31	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' ( { S } +c { T } ) ` 1o ) = T )
33	32	opeq2d 4409	. . . . . 6 |- ( ph -> <. 1o , ( `' ( { S } +c { T } ) ` 1o ) >. = <. 1o , T >. )
34	33	sneqd 4189	. . . . 5 |- ( ph -> { <. 1o , ( `' ( { S } +c { T } ) ` 1o ) >. } = { <. 1o , T >. } )
35	30, 34	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) = { <. 1o , T >. } )
36	25, 35	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( ph -> G dom DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) )
37		1n0 7575	. . . . . . . . 9 |- 1o =/= (/)
38	37	necomi 2848	. . . . . . . 8 |- (/) =/= 1o
39		disjsn2 4247	. . . . . . . 8 |- ( (/) =/= 1o -> ( { (/) } i^i { 1o } ) = (/) )
40	38, 39	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { (/) } i^i { 1o } ) = (/) )
41		df-pr 4180	. . . . . . . . 9 |- { (/) , 1o } = ( { (/) } u. { 1o } )
42	12, 41	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- 2o = ( { (/) } u. { 1o } )
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2o = ( { (/) } u. { 1o } ) )
44		dmdprdpr.z	. . . . . . 7 |- Z = (Cntz ` G )
45		dmdprdpr.0	. . . . . . 7 |- .0. = ( 0g ` G )
46	8, 40, 43, 44, 45	dmdprdsplit 18446	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G dom DProd `' ( { S } +c { T } ) <-> ( ( G dom DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) /\ G dom DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) /\ ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) /\ ( ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) i^i ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) = { .0. } ) ) )
47		3anass 1042	. . . . . 6 |- ( ( ( G dom DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) /\ G dom DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) /\ ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) /\ ( ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) i^i ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) = { .0. } ) <-> ( ( G dom DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) /\ G dom DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) /\ ( ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) /\ ( ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) i^i ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) = { .0. } ) ) )
48	46, 47	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( ph -> ( G dom DProd `' ( { S } +c { T } ) <-> ( ( G dom DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) /\ G dom DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) /\ ( ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) /\ ( ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) i^i ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) = { .0. } ) ) ) )
49	48	baibd 948	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( G dom DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) /\ G dom DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) -> ( G dom DProd `' ( { S } +c { T } ) <-> ( ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) /\ ( ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) i^i ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) = { .0. } ) ) )
50	49	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( ( G dom DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) /\ G dom DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) -> ( G dom DProd `' ( { S } +c { T } ) <-> ( ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) /\ ( ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) i^i ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) = { .0. } ) ) ) )
51	21, 36, 50	mp2and 715	. 2 |- ( ph -> ( G dom DProd `' ( { S } +c { T } ) <-> ( ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) /\ ( ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) i^i ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) = { .0. } ) ) )
52	20	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) = ( G DProd { <. (/) , S >. } ) )
53	4	simprd 479	. . . . 5 |- ( ph -> ( G DProd { <. (/) , S >. } ) = S )
54	52, 53	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) = S )
55	35	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) = ( G DProd { <. 1o , T >. } ) )
56	24	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G DProd { <. 1o , T >. } ) = T )
57	55, 56	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) = T )
58	57	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> ( Z ` ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) = ( Z ` T ) )
59	54, 58	sseq12d 3634	. . 3 |- ( ph -> ( ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) <-> S C_ ( Z ` T ) ) )
60	54, 57	ineq12d 3815	. . . 4 |- ( ph -> ( ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) i^i ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) = ( S i^i T ) )
61	60	eqeq1d 2624	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) i^i ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) = { .0. } <-> ( S i^i T ) = { .0. } ) )
62	59, 61	anbi12d 747	. 2 |- ( ph -> ( ( ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) C_ ( Z ` ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) /\ ( ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { (/) } ) ) i^i ( G DProd ( `' ( { S } +c { T } ) |` { 1o } ) ) ) = { .0. } ) <-> ( S C_ ( Z ` T ) /\ ( S i^i T ) = { .0. } ) ) )
63	51, 62	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( G dom DProd `' ( { S } +c { T } ) <-> ( S C_ ( Z ` T ) /\ ( S i^i T ) = { .0. } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   2oc2o 7554   +c ccda 8989   0gc0g 16100  SubGrpcsubg 17588  Cntzccntz 17748   DProd cdprd 18392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-dprd 18394

This theorem is referenced by:  dprdpr  18449