Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dvbsss 23666 |
. . . . . . . 8
⊢ dom
(ℝ D 𝐹) ⊆
ℝ |
2 | | id 22 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐺 → 𝑥 ∈ dom 𝐺) |
3 | | fperdvper.g |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐺 = (ℝ D 𝐹) |
4 | 3 | dmeqi 5325 |
. . . . . . . . 9
⊢ dom 𝐺 = dom (ℝ D 𝐹) |
5 | 2, 4 | syl6eleq 2711 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐺 → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) |
6 | 1, 5 | sseldi 3601 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ dom 𝐺 → 𝑥 ∈ ℝ) |
7 | 6 | adantl 482 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ ℝ) |
8 | | fperdvper.t |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ) |
9 | 8 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑇 ∈ ℝ) |
10 | 7, 9 | readdcld 10069 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ) |
11 | | reopn 39501 |
. . . . . . 7
⊢ ℝ
∈ (topGen‘ran (,)) |
12 | | retop 22565 |
. . . . . . . 8
⊢
(topGen‘ran (,)) ∈ Top |
13 | | ssid 3624 |
. . . . . . . . 9
⊢ ℝ
⊆ ℝ |
14 | 13 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → ℝ ⊆
ℝ) |
15 | | uniretop 22566 |
. . . . . . . . 9
⊢ ℝ =
∪ (topGen‘ran (,)) |
16 | 15 | isopn3 20870 |
. . . . . . . 8
⊢
(((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℝ)
→ (ℝ ∈ (topGen‘ran (,)) ↔
((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) = ℝ)) |
17 | 12, 14, 16 | sylancr 695 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (ℝ ∈ (topGen‘ran
(,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ) =
ℝ)) |
18 | 11, 17 | mpbii 223 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘ℝ) = ℝ) |
19 | 18 | eqcomd 2628 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → ℝ =
((int‘(topGen‘ran (,)))‘ℝ)) |
20 | 10, 19 | eleqtrd 2703 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘ℝ)) |
21 | 5 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) |
22 | 3 | fveq1i 6192 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐺‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) |
23 | 22 | eqcomi 2631 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((ℝ
D 𝐹)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥) |
24 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)) |
25 | | dvf 23671 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (ℝ
D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ |
26 | | ffun 6048 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((ℝ
D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → Fun
(ℝ D 𝐹)) |
27 | 25, 26 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ Fun
(ℝ D 𝐹) |
28 | 27 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → Fun (ℝ D 𝐹)) |
29 | | funbrfv2b 6240 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (Fun
(ℝ D 𝐹) → (𝑥(ℝ D 𝐹)(𝐺‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))) |
30 | 28, 29 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑥(ℝ D 𝐹)(𝐺‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))) |
31 | 30 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥(ℝ D 𝐹)(𝐺‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥)))) |
32 | 21, 24, 31 | mpbir2and 957 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥(ℝ D 𝐹)(𝐺‘𝑥)) |
33 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . 9
⊢
(TopOpen‘ℂfld) =
(TopOpen‘ℂfld) |
34 | 33 | tgioo2 22606 |
. . . . . . . 8
⊢
(topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t ℝ) |
35 | | eqid 2622 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥))) |
36 | | ax-resscn 9993 |
. . . . . . . . 9
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
37 | 36 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → ℝ ⊆
ℂ) |
38 | | fperdvper.f |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ) |
39 | 38 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝐹:ℝ⟶ℂ) |
40 | 34, 33, 35, 37, 39, 14 | eldv 23662 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥(ℝ D 𝐹)(𝐺‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘ℝ) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))) |
41 | 32, 40 | mpbid 222 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘ℝ) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥))) limℂ 𝑥))) |
42 | 41 | simprd 479 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) |
43 | | eqidd 2623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))) |
44 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑦 = 𝑑 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑑)) |
45 | 44 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑦 = 𝑑 → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) = ((𝐹‘𝑑) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))) |
46 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑦 = 𝑑 → (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)) = (𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) |
47 | 45, 46 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑦 = 𝑑 → (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹‘𝑑) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑑 − (𝑥 + 𝑇)))) |
48 | | eldifi 3732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) → 𝑑 ∈ ℝ) |
49 | 48 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) → 𝑑 ∈ ℂ) |
50 | 49 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 ∈ ℂ) |
51 | 8 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ) |
52 | 51 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑇 ∈ ℂ) |
53 | 50, 52 | npcand 10396 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑 − 𝑇) + 𝑇) = 𝑑) |
54 | 53 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 = ((𝑑 − 𝑇) + 𝑇)) |
55 | 54 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹‘𝑑) = (𝐹‘((𝑑 − 𝑇) + 𝑇))) |
56 | | ovex 6678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑑 − 𝑇) ∈ V |
57 | 48 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 ∈ ℝ) |
58 | 8 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑇 ∈ ℝ) |
59 | 57, 58 | resubcld 10458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑 − 𝑇) ∈ ℝ) |
60 | 59 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) → (𝑑 − 𝑇) ∈ ℝ)) |
61 | 60 | imdistani 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝜑 ∧ (𝑑 − 𝑇) ∈ ℝ)) |
62 | | eleq1 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑥 = (𝑑 − 𝑇) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (𝑑 − 𝑇) ∈ ℝ)) |
63 | 62 | anbi2d 740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑥 = (𝑑 − 𝑇) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑑 − 𝑇) ∈ ℝ))) |
64 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑥 = (𝑑 − 𝑇) → (𝑥 + 𝑇) = ((𝑑 − 𝑇) + 𝑇)) |
65 | 64 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑥 = (𝑑 − 𝑇) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘((𝑑 − 𝑇) + 𝑇))) |
66 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑥 = (𝑑 − 𝑇) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑑 − 𝑇))) |
67 | 65, 66 | eqeq12d 2637 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑥 = (𝑑 − 𝑇) → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘((𝑑 − 𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑑 − 𝑇)))) |
68 | 63, 67 | imbi12d 334 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑥 = (𝑑 − 𝑇) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑑 − 𝑇) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑑 − 𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑑 − 𝑇))))) |
69 | | fperdvper.fper |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥)) |
70 | 68, 69 | vtoclg 3266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑑 − 𝑇) ∈ V → ((𝜑 ∧ (𝑑 − 𝑇) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑑 − 𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑑 − 𝑇)))) |
71 | 56, 61, 70 | mpsyl 68 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹‘((𝑑 − 𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑑 − 𝑇))) |
72 | 55, 71 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹‘𝑑) = (𝐹‘(𝑑 − 𝑇))) |
73 | 72 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹‘𝑑) = (𝐹‘(𝑑 − 𝑇))) |
74 | | simpll 790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝜑) |
75 | 6 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑥 ∈ ℝ) |
76 | 74, 75, 69 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥)) |
77 | 73, 76 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝐹‘𝑑) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) = ((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥))) |
78 | 49 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 ∈ ℂ) |
79 | 74, 51 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑇 ∈ ℂ) |
80 | 7 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ ℂ) |
81 | 80 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑥 ∈ ℂ) |
82 | 78, 79, 81 | subsub4d 10423 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥) = (𝑑 − (𝑇 + 𝑥))) |
83 | 79, 81 | addcomd 10238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑇 + 𝑥) = (𝑥 + 𝑇)) |
84 | 83 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑 − (𝑇 + 𝑥)) = (𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) |
85 | 82, 84 | eqtr2d 2657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑 − (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) |
86 | 77, 85 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝐹‘𝑑) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥)) / ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥))) |
87 | 47, 86 | sylan9eqr 2678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = 𝑑) → (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥)) / ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥))) |
88 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) |
89 | 38 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝐹:ℝ⟶ℂ) |
90 | 89, 59 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) ∈ ℂ) |
91 | 90 | adantlr 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) ∈ ℂ) |
92 | 39, 7 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) |
93 | 92 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ) |
94 | 91, 93 | subcld 10392 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ) |
95 | 78, 79 | subcld 10392 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑 − 𝑇) ∈ ℂ) |
96 | 95, 81 | subcld 10392 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥) ∈ ℂ) |
97 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 − 𝑇) = 𝑥) → (𝑑 − 𝑇) = 𝑥) |
98 | 49 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 − 𝑇) = 𝑥) → 𝑑 ∈ ℂ) |
99 | 79 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 − 𝑇) = 𝑥) → 𝑇 ∈ ℂ) |
100 | 81 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 − 𝑇) = 𝑥) → 𝑥 ∈ ℂ) |
101 | 98, 99, 100 | subadd2d 10411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 − 𝑇) = 𝑥) → ((𝑑 − 𝑇) = 𝑥 ↔ (𝑥 + 𝑇) = 𝑑)) |
102 | 97, 101 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 − 𝑇) = 𝑥) → (𝑥 + 𝑇) = 𝑑) |
103 | 102 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 − 𝑇) = 𝑥) → 𝑑 = (𝑥 + 𝑇)) |
104 | | eldifsni 4320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) → 𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇)) |
105 | 104 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 − 𝑇) = 𝑥) → 𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇)) |
106 | 105 | neneqd 2799 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 − 𝑇) = 𝑥) → ¬ 𝑑 = (𝑥 + 𝑇)) |
107 | 103, 106 | pm2.65da 600 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ¬ (𝑑 − 𝑇) = 𝑥) |
108 | 107 | neqned 2801 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑 − 𝑇) ≠ 𝑥) |
109 | 95, 81, 108 | subne0d 10401 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥) ≠ 0) |
110 | 94, 96, 109 | divcld 10801 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥)) / ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) ∈ ℂ) |
111 | 43, 87, 88, 110 | fvmptd 6288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) = (((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥)) / ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥))) |
112 | 111 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤) = ((((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥)) / ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) |
113 | 112 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥)) / ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) − 𝑤))) |
114 | 113 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥)) / ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) − 𝑤))) |
115 | 114 | adantllr 755 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥)) / ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) − 𝑤))) |
116 | | simpllr 799 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) |
117 | 48 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → 𝑑 ∈ ℝ) |
118 | 8 | ad4antr 768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → 𝑇 ∈ ℝ) |
119 | 117, 118 | resubcld 10458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (𝑑 − 𝑇) ∈ ℝ) |
120 | | elsni 4194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑑 − 𝑇) ∈ {𝑥} → (𝑑 − 𝑇) = 𝑥) |
121 | 107, 120 | nsyl 135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ¬ (𝑑 − 𝑇) ∈ {𝑥}) |
122 | 121 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ¬ (𝑑 − 𝑇) ∈ {𝑥}) |
123 | 122 | adantllr 755 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ¬ (𝑑 − 𝑇) ∈ {𝑥}) |
124 | 119, 123 | eldifd 3585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (𝑑 − 𝑇) ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) |
125 | | neeq1 2856 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑐 = (𝑑 − 𝑇) → (𝑐 ≠ 𝑥 ↔ (𝑑 − 𝑇) ≠ 𝑥)) |
126 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑐 = (𝑑 − 𝑇) → (𝑐 − 𝑥) = ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) |
127 | 126 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑐 = (𝑑 − 𝑇) → (abs‘(𝑐 − 𝑥)) = (abs‘((𝑑 − 𝑇) − 𝑥))) |
128 | 127 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑐 = (𝑑 − 𝑇) → ((abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏 ↔ (abs‘((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) < 𝑏)) |
129 | 125, 128 | anbi12d 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑐 = (𝑑 − 𝑇) → ((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) ↔ ((𝑑 − 𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) < 𝑏))) |
130 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑐 = (𝑑 − 𝑇) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇))) |
131 | 130 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑐 = (𝑑 − 𝑇) → (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤) = (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇)) − 𝑤)) |
132 | 131 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑐 = (𝑑 − 𝑇) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) = (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇)) − 𝑤))) |
133 | 132 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑐 = (𝑑 − 𝑇) → ((abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎 ↔ (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) |
134 | 129, 133 | imbi12d 334 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑐 = (𝑑 − 𝑇) → (((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎) ↔ (((𝑑 − 𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))) |
135 | 134 | rspccva 3308 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((∀𝑐 ∈
(ℝ ∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎) ∧ (𝑑 − 𝑇) ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (((𝑑 − 𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) |
136 | 116, 124,
135 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (((𝑑 − 𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) |
137 | | eqidd 2623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))) |
138 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑 − 𝑇)) → 𝑦 = (𝑑 − 𝑇)) |
139 | 138 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑 − 𝑇)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑑 − 𝑇))) |
140 | 139 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑 − 𝑇)) → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥))) |
141 | 138 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑 − 𝑇)) → (𝑦 − 𝑥) = ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) |
142 | 140, 141 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ 𝑦 = (𝑑 − 𝑇)) → (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)) = (((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥)) / ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥))) |
143 | 48 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑑 ∈ ℝ) |
144 | 74, 8 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → 𝑇 ∈ ℝ) |
145 | 143, 144 | resubcld 10458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑 − 𝑇) ∈ ℝ) |
146 | 145, 121 | eldifd 3585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (𝑑 − 𝑇) ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) |
147 | 137, 142,
146, 110 | fvmptd 6288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇)) = (((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥)) / ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥))) |
148 | 147 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥)) / ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇))) |
149 | 148 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑 − 𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥)) / ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇))) |
150 | 149 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑 − 𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → ((((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥)) / ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) − 𝑤) = (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇)) − 𝑤)) |
151 | 150 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑 − 𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥)) / ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) = (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇)) − 𝑤))) |
152 | 108 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (𝑑 − 𝑇) ≠ 𝑥) |
153 | 85 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥) = (𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) |
154 | 153 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥) = (𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) |
155 | 154 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) = (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇)))) |
156 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) |
157 | 155, 156 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) |
158 | 152, 157 | jca 554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ((𝑑 − 𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) < 𝑏)) |
159 | 158 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑 − 𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → ((𝑑 − 𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) < 𝑏)) |
160 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑 − 𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (((𝑑 − 𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) |
161 | 159, 160 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑 − 𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎) |
162 | 151, 161 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ∧ (((𝑑 − 𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥)) / ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎) |
163 | 162 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ((((𝑑 − 𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥)) / ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎)) |
164 | 163 | adantllr 755 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → ((((𝑑 − 𝑇) ≠ 𝑥 ∧ (abs‘((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘(𝑑 − 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥)) / ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎)) |
165 | 136, 164 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥)) / ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎) |
166 | 165 | adantrl 752 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)) → (abs‘((((𝐹‘(𝑑 − 𝑇)) − (𝐹‘𝑥)) / ((𝑑 − 𝑇) − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎) |
167 | 115, 166 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) ∧ (𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎) |
168 | 167 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → ((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) |
169 | 168 | ralrimiva 2966 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) → ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) |
170 | | eqidd 2623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))) |
171 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑐)) |
172 | 171 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑦 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑥))) |
173 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑦 − 𝑥) = (𝑐 − 𝑥)) |
174 | 172, 173 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑦 = 𝑐 → (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑐 − 𝑥))) |
175 | 174 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ∧ 𝑦 = 𝑐) → (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑐 − 𝑥))) |
176 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) |
177 | | ovexd 6680 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → (((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑐 − 𝑥)) ∈ V) |
178 | 170, 175,
176, 177 | fvmptd 6288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) = (((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑐 − 𝑥))) |
179 | 178 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤) = ((((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑐 − 𝑥)) − 𝑤)) |
180 | 179 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑐 − 𝑥)) − 𝑤))) |
181 | 180 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑐 − 𝑥)) − 𝑤))) |
182 | | simpll 790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝜑) |
183 | | eldifi 3732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → 𝑐 ∈ ℝ) |
184 | 183 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑐 ∈ ℝ) |
185 | | eleq1 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ 𝑐 ∈ ℝ)) |
186 | 185 | anbi2d 740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ))) |
187 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 + 𝑇) = (𝑐 + 𝑇)) |
188 | 187 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑐 + 𝑇))) |
189 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑐)) |
190 | 188, 189 | eqeq12d 2637 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑐))) |
191 | 186, 190 | imbi12d 334 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑥 = 𝑐 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑐)))) |
192 | 191, 69 | chvarv 2263 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑐)) |
193 | 192 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘(𝑐 + 𝑇))) |
194 | 182, 184,
193 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘(𝑐 + 𝑇))) |
195 | 6 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑥 ∈ ℝ) |
196 | 182, 195,
69 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥)) |
197 | 196 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) |
198 | 194, 197 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))) |
199 | 184 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑐 ∈ ℂ) |
200 | 80 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑥 ∈ ℂ) |
201 | 182, 51 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑇 ∈ ℂ) |
202 | 199, 200,
201 | pnpcan2d 10430 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇)) = (𝑐 − 𝑥)) |
203 | 202 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝑐 − 𝑥) = ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) |
204 | 198, 203 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑐 − 𝑥)) = (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇)))) |
205 | 204 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ((((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑐 − 𝑥)) − 𝑤) = ((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)) |
206 | 205 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (abs‘((((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑐 − 𝑥)) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤))) |
207 | 206 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑐 − 𝑥)) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤))) |
208 | 207 | adantllr 755 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑐 − 𝑥)) − 𝑤)) = (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤))) |
209 | | simpllr 799 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) |
210 | 183 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℝ) |
211 | 8 | ad4antr 768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → 𝑇 ∈ ℝ) |
212 | 210, 211 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (𝑐 + 𝑇) ∈ ℝ) |
213 | | eldifsni 4320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → 𝑐 ≠ 𝑥) |
214 | 213 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑐 ≠ 𝑥) |
215 | 199, 200,
201, 214 | addneintr2d 10244 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇)) |
216 | 215 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇)) |
217 | 216 | adantllr 755 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇)) |
218 | | nelsn 4212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) → ¬ (𝑐 + 𝑇) ∈ {(𝑥 + 𝑇)}) |
219 | 217, 218 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → ¬ (𝑐 + 𝑇) ∈ {(𝑥 + 𝑇)}) |
220 | 212, 219 | eldifd 3585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (𝑐 + 𝑇) ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) |
221 | | neeq1 2856 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → (𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ↔ (𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇))) |
222 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → (𝑑 − (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) |
223 | 222 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) = (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇)))) |
224 | 223 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → ((abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏 ↔ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)) |
225 | 221, 224 | anbi12d 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → ((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) ↔ ((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏))) |
226 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇))) |
227 | 226 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤) = (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) |
228 | 227 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) = (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤))) |
229 | 228 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → ((abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎 ↔ (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) |
230 | 225, 229 | imbi12d 334 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑑 = (𝑐 + 𝑇) → (((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎) ↔ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎))) |
231 | 230 | rspccva 3308 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((∀𝑑 ∈
(ℝ ∖ {(𝑥 +
𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎) ∧ (𝑐 + 𝑇) ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) |
232 | 209, 220,
231 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) |
233 | | eqidd 2623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))) |
234 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑦 = (𝑐 + 𝑇) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑐 + 𝑇))) |
235 | 234 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑦 = (𝑐 + 𝑇) → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) = ((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))) |
236 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑦 = (𝑐 + 𝑇) → (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) |
237 | 235, 236 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑦 = (𝑐 + 𝑇) → (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇)))) |
238 | 237 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ 𝑦 = (𝑐 + 𝑇)) → (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇)))) |
239 | 182, 8 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → 𝑇 ∈ ℝ) |
240 | 184, 239 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝑐 + 𝑇) ∈ ℝ) |
241 | 215, 218 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ¬ (𝑐 + 𝑇) ∈ {(𝑥 + 𝑇)}) |
242 | 240, 241 | eldifd 3585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (𝑐 + 𝑇) ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) |
243 | | ovexd 6680 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) ∈ V) |
244 | 233, 238,
242, 243 | fvmptd 6288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) = (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇)))) |
245 | 244 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇))) |
246 | 245 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇))) |
247 | 246 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → ((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤) = (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) |
248 | 247 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)) = (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤))) |
249 | 183 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) → 𝑐 ∈ ℂ) |
250 | 249 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → 𝑐 ∈ ℂ) |
251 | 200 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → 𝑥 ∈ ℂ) |
252 | 201 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → 𝑇 ∈ ℂ) |
253 | 250, 251,
252 | pnpcan2d 10430 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇)) = (𝑐 − 𝑥)) |
254 | 253 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) = (abs‘(𝑐 − 𝑥))) |
255 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) |
256 | 254, 255 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) |
257 | 216, 256 | jca 554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → ((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)) |
258 | 257 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → ((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏)) |
259 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) |
260 | 258, 259 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎) |
261 | 248, 260 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) ∧ (((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎)) → (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)) < 𝑎) |
262 | 261 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → ((((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎) → (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)) < 𝑎)) |
263 | 262 | adantllr 755 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → ((((𝑐 + 𝑇) ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘(𝑐 + 𝑇)) − 𝑤)) < 𝑎) → (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)) < 𝑎)) |
264 | 232, 263 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((((𝐹‘(𝑐 + 𝑇)) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / ((𝑐 + 𝑇) − (𝑥 + 𝑇))) − 𝑤)) < 𝑎) |
265 | 208, 264 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘((((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑐 − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎) |
266 | 265 | adantrl 752 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏)) → (abs‘((((𝐹‘𝑐) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑐 − 𝑥)) − 𝑤)) < 𝑎) |
267 | 181, 266 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) ∧ (𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏)) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎) |
268 | 267 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) ∧ 𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → ((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) |
269 | 268 | ralrimiva 2966 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)) → ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) |
270 | 169, 269 | impbida 877 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎) ↔ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎))) |
271 | 270 | rexbidv 3052 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎))) |
272 | 271 | ralbidv 2986 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℝ+
∀𝑐 ∈ (ℝ
∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℝ+
∀𝑑 ∈ (ℝ
∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎))) |
273 | 272 | anbi2d 740 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+
∃𝑏 ∈
ℝ+ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+
∃𝑏 ∈
ℝ+ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)))) |
274 | 39, 37, 7 | dvlem 23660 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})) → (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)) ∈ ℂ) |
275 | 274, 35 | fmptd 6385 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥))):(ℝ ∖ {𝑥})⟶ℂ) |
276 | 37 | ssdifssd 3748 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (ℝ ∖ {𝑥}) ⊆
ℂ) |
277 | 275, 276,
80 | ellimc3 23643 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑤 ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥))) limℂ 𝑥) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+
∃𝑏 ∈
ℝ+ ∀𝑐 ∈ (ℝ ∖ {𝑥})((𝑐 ≠ 𝑥 ∧ (abs‘(𝑐 − 𝑥)) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥)))‘𝑐) − 𝑤)) < 𝑎)))) |
278 | 39, 37, 10 | dvlem 23660 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})) → (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) ∈ ℂ) |
279 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) |
280 | 278, 279 | fmptd 6385 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))):(ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})⟶ℂ) |
281 | 37 | ssdifssd 3748 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ⊆ ℂ) |
282 | 10 | recnd 10068 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℂ) |
283 | 280, 281,
282 | ellimc3 23643 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑤 ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) limℂ (𝑥 + 𝑇)) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+
∃𝑏 ∈
ℝ+ ∀𝑑 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)})((𝑑 ≠ (𝑥 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑑 − (𝑥 + 𝑇))) < 𝑏) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))))‘𝑑) − 𝑤)) < 𝑎)))) |
284 | 273, 277,
283 | 3bitr4d 300 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑤 ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥))) limℂ 𝑥) ↔ 𝑤 ∈ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) limℂ (𝑥 + 𝑇)))) |
285 | 284 | eqrdv 2620 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) limℂ (𝑥 + 𝑇))) |
286 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧)) |
287 | 286 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))) |
288 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)) = (𝑧 − (𝑥 + 𝑇))) |
289 | 287, 288 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = 𝑧 → (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇))) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) |
290 | 289 | cbvmptv 4750 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) = (𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) |
291 | 290 | oveq1i 6660 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑦 − (𝑥 + 𝑇)))) limℂ (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) limℂ (𝑥 + 𝑇)) |
292 | 285, 291 | syl6eq 2672 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑦 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = ((𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) limℂ (𝑥 + 𝑇))) |
293 | 42, 292 | eleqtrd 2703 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) limℂ (𝑥 + 𝑇))) |
294 | | eqid 2622 |
. . . . . 6
⊢ (𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) = (𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) |
295 | 36 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ℝ ⊆
ℂ) |
296 | 13 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ℝ ⊆
ℝ) |
297 | 34, 33, 294, 295, 38, 296 | eldv 23662 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑥 + 𝑇)(ℝ D 𝐹)(𝐺‘𝑥) ↔ ((𝑥 + 𝑇) ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘ℝ) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) limℂ (𝑥 + 𝑇))))) |
298 | 297 | adantr 481 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇)(ℝ D 𝐹)(𝐺‘𝑥) ↔ ((𝑥 + 𝑇) ∈ ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘ℝ) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑧 ∈ (ℝ ∖ {(𝑥 + 𝑇)}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘(𝑥 + 𝑇))) / (𝑧 − (𝑥 + 𝑇)))) limℂ (𝑥 + 𝑇))))) |
299 | 20, 293, 298 | mpbir2and 957 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇)(ℝ D 𝐹)(𝐺‘𝑥)) |
300 | 3 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝐺 = (ℝ D 𝐹)) |
301 | 300 | breqd 4664 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇)𝐺(𝐺‘𝑥) ↔ (𝑥 + 𝑇)(ℝ D 𝐹)(𝐺‘𝑥))) |
302 | 299, 301 | mpbird 247 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇)𝐺(𝐺‘𝑥)) |
303 | 3 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐺 = (ℝ D 𝐹)) |
304 | 303 | funeqd 5910 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (Fun 𝐺 ↔ Fun (ℝ D 𝐹))) |
305 | 28, 304 | mpbird 247 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → Fun 𝐺) |
306 | 305 | adantr 481 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → Fun 𝐺) |
307 | | funbrfv2b 6240 |
. . 3
⊢ (Fun
𝐺 → ((𝑥 + 𝑇)𝐺(𝐺‘𝑥) ↔ ((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺‘𝑥)))) |
308 | 306, 307 | syl 17 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇)𝐺(𝐺‘𝑥) ↔ ((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺‘𝑥)))) |
309 | 302, 308 | mpbid 222 |
1
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺‘𝑥))) |