Theorem fperdvper 40133

Description: The derivative of a periodic function is periodic. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fperdvper.f	|- ( ph -> F : RR --> CC )
fperdvper.t	|- ( ph -> T e. RR )
fperdvper.fper	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
fperdvper.g	|- G = ( RR _D F )

Assertion

Ref	Expression
fperdvper	|- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( ( x + T ) e. dom G /\ ( G ` ( x + T ) ) = ( G ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, T   ph, x

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem fperdvper

Dummy variables a b c d w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvbsss 23666	. . . . . . . 8 |- dom ( RR _D F ) C_ RR
2		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( x e. dom G -> x e. dom G )
3		fperdvper.g	. . . . . . . . . 10 |- G = ( RR _D F )
4	3	dmeqi 5325	. . . . . . . . 9 |- dom G = dom ( RR _D F )
5	2, 4	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 |- ( x e. dom G -> x e. dom ( RR _D F ) )
6	1, 5	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( x e. dom G -> x e. RR )
7	6	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> x e. RR )
8		fperdvper.t	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. RR )
9	8	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> T e. RR )
10	7, 9	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( x + T ) e. RR )
11		reopn 39501	. . . . . . 7 |- RR e. ( topGen ` ran (,) )
12		retop 22565	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
13		ssid 3624	. . . . . . . . 9 |- RR C_ RR
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> RR C_ RR )
15		uniretop 22566	. . . . . . . . 9 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
16	15	isopn3 20870	. . . . . . . 8 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ RR C_ RR ) -> ( RR e. ( topGen ` ran (,) ) <-> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` RR ) = RR ) )
17	12, 14, 16	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( RR e. ( topGen ` ran (,) ) <-> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` RR ) = RR ) )
18	11, 17	mpbii 223	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` RR ) = RR )
19	18	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> RR = ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` RR ) )
20	10, 19	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( x + T ) e. ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` RR ) )
21	5	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> x e. dom ( RR _D F ) )
22	3	fveq1i 6192	. . . . . . . . . 10 |- ( G ` x ) = ( ( RR _D F ) ` x )
23	22	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- ( ( RR _D F ) ` x ) = ( G ` x )
24	23	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) = ( G ` x ) )
25		dvf 23671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> CC
26		ffun 6048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> CC -> Fun ( RR _D F ) )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- Fun ( RR _D F )
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Fun ( RR _D F ) )
29		funbrfv2b 6240	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun ( RR _D F ) -> ( x ( RR _D F ) ( G ` x ) <-> ( x e. dom ( RR _D F ) /\ ( ( RR _D F ) ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x ( RR _D F ) ( G ` x ) <-> ( x e. dom ( RR _D F ) /\ ( ( RR _D F ) ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
31	30	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( x ( RR _D F ) ( G ` x ) <-> ( x e. dom ( RR _D F ) /\ ( ( RR _D F ) ` x ) = ( G ` x ) ) ) )
32	21, 24, 31	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> x ( RR _D F ) ( G ` x ) )
33		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
34	33	tgioo2 22606	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
35		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) = ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) )
36		ax-resscn 9993	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> RR C_ CC )
38		fperdvper.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : RR --> CC )
39	38	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> F : RR --> CC )
40	34, 33, 35, 37, 39, 14	eldv 23662	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( x ( RR _D F ) ( G ` x ) <-> ( x e. ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` RR ) /\ ( G ` x ) e. ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) lim CC x ) ) ) )
41	32, 40	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( x e. ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` RR ) /\ ( G ` x ) e. ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) lim CC x ) ) )
42	41	simprd 479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( G ` x ) e. ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) lim CC x ) )
43		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) = ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) )
44		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = d -> ( F ` y ) = ( F ` d ) )
45	44	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = d -> ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) = ( ( F ` d ) - ( F ` ( x + T ) ) ) )
46		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = d -> ( y - ( x + T ) ) = ( d - ( x + T ) ) )
47	45, 46	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = d -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) = ( ( ( F ` d ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( d - ( x + T ) ) ) )
48		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) -> d e. RR )
49	48	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) -> d e. CC )
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> d e. CC )
51	8	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ph -> T e. CC )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> T e. CC )
53	50, 52	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( ( d - T ) + T ) = d )
54	53	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> d = ( ( d - T ) + T ) )
55	54	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( F ` d ) = ( F ` ( ( d - T ) + T ) ) )
56		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( d - T ) e. _V
57	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> d e. RR )
58	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> T e. RR )
59	57, 58	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( d - T ) e. RR )
60	59	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) -> ( d - T ) e. RR ) )
61	60	imdistani 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( ph /\ ( d - T ) e. RR ) )
62		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x = ( d - T ) -> ( x e. RR <-> ( d - T ) e. RR ) )
63	62	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x = ( d - T ) -> ( ( ph /\ x e. RR ) <-> ( ph /\ ( d - T ) e. RR ) ) )
64		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( x = ( d - T ) -> ( x + T ) = ( ( d - T ) + T ) )
65	64	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x = ( d - T ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` ( ( d - T ) + T ) ) )
66		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x = ( d - T ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( d - T ) ) )
67	65, 66	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x = ( d - T ) -> ( ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) <-> ( F ` ( ( d - T ) + T ) ) = ( F ` ( d - T ) ) ) )
68	63, 67	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = ( d - T ) -> ( ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) ) <-> ( ( ph /\ ( d - T ) e. RR ) -> ( F ` ( ( d - T ) + T ) ) = ( F ` ( d - T ) ) ) ) )
69		fperdvper.fper	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
70	68, 69	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( d - T ) e. _V -> ( ( ph /\ ( d - T ) e. RR ) -> ( F ` ( ( d - T ) + T ) ) = ( F ` ( d - T ) ) ) )
71	56, 61, 70	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( F ` ( ( d - T ) + T ) ) = ( F ` ( d - T ) ) )
72	55, 71	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( F ` d ) = ( F ` ( d - T ) ) )
73	72	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( F ` d ) = ( F ` ( d - T ) ) )
74		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ph )
75	6	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> x e. RR )
76	74, 75, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
77	73, 76	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( ( F ` d ) - ( F ` ( x + T ) ) ) = ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) )
78	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> d e. CC )
79	74, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> T e. CC )
80	7	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> x e. CC )
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> x e. CC )
82	78, 79, 81	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( ( d - T ) - x ) = ( d - ( T + x ) ) )
83	79, 81	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( T + x ) = ( x + T ) )
84	83	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( d - ( T + x ) ) = ( d - ( x + T ) ) )
85	82, 84	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( d - ( x + T ) ) = ( ( d - T ) - x ) )
86	77, 85	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( ( ( F ` d ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( d - ( x + T ) ) ) = ( ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) / ( ( d - T ) - x ) ) )
87	47, 86	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ y = d ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) = ( ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) / ( ( d - T ) - x ) ) )
88		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) )
89	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> F : RR --> CC )
90	89, 59	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( F ` ( d - T ) ) e. CC )
91	90	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( F ` ( d - T ) ) e. CC )
92	39, 7	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( F ` x ) e. CC )
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
94	91, 93	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) e. CC )
95	78, 79	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( d - T ) e. CC )
96	95, 81	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( ( d - T ) - x ) e. CC )
97		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( d - T ) = x ) -> ( d - T ) = x )
98	49	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( d - T ) = x ) -> d e. CC )
99	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( d - T ) = x ) -> T e. CC )
100	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( d - T ) = x ) -> x e. CC )
101	98, 99, 100	subadd2d 10411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( d - T ) = x ) -> ( ( d - T ) = x <-> ( x + T ) = d ) )
102	97, 101	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( d - T ) = x ) -> ( x + T ) = d )
103	102	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( d - T ) = x ) -> d = ( x + T ) )
104		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) -> d =/= ( x + T ) )
105	104	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( d - T ) = x ) -> d =/= ( x + T ) )
106	105	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( d - T ) = x ) -> -. d = ( x + T ) )
107	103, 106	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> -. ( d - T ) = x )
108	107	neqned 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( d - T ) =/= x )
109	95, 81, 108	subne0d 10401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( ( d - T ) - x ) =/= 0 )
110	94, 96, 109	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) / ( ( d - T ) - x ) ) e. CC )
111	43, 87, 88, 110	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) = ( ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) / ( ( d - T ) - x ) ) )
112	111	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) = ( ( ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) / ( ( d - T ) - x ) ) - w ) )
113	112	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) = ( abs ` ( ( ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) / ( ( d - T ) - x ) ) - w ) ) )
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) = ( abs ` ( ( ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) / ( ( d - T ) - x ) ) - w ) ) )
115	114	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) = ( abs ` ( ( ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) / ( ( d - T ) - x ) ) - w ) ) )
116		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) )
117	48	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> d e. RR )
118	8	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> T e. RR )
119	117, 118	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( d - T ) e. RR )
120		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( d - T ) e. { x } -> ( d - T ) = x )
121	107, 120	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> -. ( d - T ) e. { x } )
122	121	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> -. ( d - T ) e. { x } )
123	122	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> -. ( d - T ) e. { x } )
124	119, 123	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( d - T ) e. ( RR \ { x } ) )
125		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( c = ( d - T ) -> ( c =/= x <-> ( d - T ) =/= x ) )
126		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( c = ( d - T ) -> ( c - x ) = ( ( d - T ) - x ) )
127	126	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( c = ( d - T ) -> ( abs ` ( c - x ) ) = ( abs ` ( ( d - T ) - x ) ) )
128	127	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( c = ( d - T ) -> ( ( abs ` ( c - x ) ) < b <-> ( abs ` ( ( d - T ) - x ) ) < b ) )
129	125, 128	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( c = ( d - T ) -> ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) <-> ( ( d - T ) =/= x /\ ( abs ` ( ( d - T ) - x ) ) < b ) ) )
130		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( c = ( d - T ) -> ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) = ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) )
131	130	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( c = ( d - T ) -> ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) = ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) - w ) )
132	131	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( c = ( d - T ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) = ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) - w ) ) )
133	132	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( c = ( d - T ) -> ( ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a <-> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) - w ) ) < a ) )
134	129, 133	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( c = ( d - T ) -> ( ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) <-> ( ( ( d - T ) =/= x /\ ( abs ` ( ( d - T ) - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) - w ) ) < a ) ) )
135	134	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) /\ ( d - T ) e. ( RR \ { x } ) ) -> ( ( ( d - T ) =/= x /\ ( abs ` ( ( d - T ) - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) - w ) ) < a ) )
136	116, 124, 135	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( ( ( d - T ) =/= x /\ ( abs ` ( ( d - T ) - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) - w ) ) < a ) )
137		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) = ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) )
138		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ y = ( d - T ) ) -> y = ( d - T ) )
139	138	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ y = ( d - T ) ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( d - T ) ) )
140	139	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ y = ( d - T ) ) -> ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) = ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) )
141	138	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ y = ( d - T ) ) -> ( y - x ) = ( ( d - T ) - x ) )
142	140, 141	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ y = ( d - T ) ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) = ( ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) / ( ( d - T ) - x ) ) )
143	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> d e. RR )
144	74, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> T e. RR )
145	143, 144	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( d - T ) e. RR )
146	145, 121	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( d - T ) e. ( RR \ { x } ) )
147	137, 142, 146, 110	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) = ( ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) / ( ( d - T ) - x ) ) )
148	147	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) / ( ( d - T ) - x ) ) = ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) )
149	148	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) /\ ( ( ( d - T ) =/= x /\ ( abs ` ( ( d - T ) - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) - w ) ) < a ) ) -> ( ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) / ( ( d - T ) - x ) ) = ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) )
150	149	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) /\ ( ( ( d - T ) =/= x /\ ( abs ` ( ( d - T ) - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) - w ) ) < a ) ) -> ( ( ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) / ( ( d - T ) - x ) ) - w ) = ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) - w ) )
151	150	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) /\ ( ( ( d - T ) =/= x /\ ( abs ` ( ( d - T ) - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) - w ) ) < a ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) / ( ( d - T ) - x ) ) - w ) ) = ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) - w ) ) )
152	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( d - T ) =/= x )
153	85	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( ( d - T ) - x ) = ( d - ( x + T ) ) )
154	153	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( ( d - T ) - x ) = ( d - ( x + T ) ) )
155	154	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( d - T ) - x ) ) = ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) )
156		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b )
157	155, 156	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( d - T ) - x ) ) < b )
158	152, 157	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( ( d - T ) =/= x /\ ( abs ` ( ( d - T ) - x ) ) < b ) )
159	158	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) /\ ( ( ( d - T ) =/= x /\ ( abs ` ( ( d - T ) - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) - w ) ) < a ) ) -> ( ( d - T ) =/= x /\ ( abs ` ( ( d - T ) - x ) ) < b ) )
160		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) /\ ( ( ( d - T ) =/= x /\ ( abs ` ( ( d - T ) - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) - w ) ) < a ) ) -> ( ( ( d - T ) =/= x /\ ( abs ` ( ( d - T ) - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) - w ) ) < a ) )
161	159, 160	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) /\ ( ( ( d - T ) =/= x /\ ( abs ` ( ( d - T ) - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) - w ) ) < a ) ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) - w ) ) < a )
162	151, 161	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) /\ ( ( ( d - T ) =/= x /\ ( abs ` ( ( d - T ) - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) - w ) ) < a ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) / ( ( d - T ) - x ) ) - w ) ) < a )
163	162	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( ( ( ( d - T ) =/= x /\ ( abs ` ( ( d - T ) - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) - w ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) / ( ( d - T ) - x ) ) - w ) ) < a ) )
164	163	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( ( ( ( d - T ) =/= x /\ ( abs ` ( ( d - T ) - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` ( d - T ) ) - w ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) / ( ( d - T ) - x ) ) - w ) ) < a ) )
165	136, 164	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) / ( ( d - T ) - x ) ) - w ) ) < a )
166	165	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` ( d - T ) ) - ( F ` x ) ) / ( ( d - T ) - x ) ) - w ) ) < a )
167	115, 166	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) /\ ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a )
168	167	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) ) /\ d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) )
169	168	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) ) -> A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) )
170		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( c e. ( RR \ { x } ) -> ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) = ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) )
171		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = c -> ( F ` y ) = ( F ` c ) )
172	171	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = c -> ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) = ( ( F ` c ) - ( F ` x ) ) )
173		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = c -> ( y - x ) = ( c - x ) )
174	172, 173	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = c -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) = ( ( ( F ` c ) - ( F ` x ) ) / ( c - x ) ) )
175	174	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( c e. ( RR \ { x } ) /\ y = c ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) = ( ( ( F ` c ) - ( F ` x ) ) / ( c - x ) ) )
176		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( c e. ( RR \ { x } ) -> c e. ( RR \ { x } ) )
177		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( c e. ( RR \ { x } ) -> ( ( ( F ` c ) - ( F ` x ) ) / ( c - x ) ) e. _V )
178	170, 175, 176, 177	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c e. ( RR \ { x } ) -> ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) = ( ( ( F ` c ) - ( F ` x ) ) / ( c - x ) ) )
179	178	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c e. ( RR \ { x } ) -> ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) = ( ( ( ( F ` c ) - ( F ` x ) ) / ( c - x ) ) - w ) )
180	179	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c e. ( RR \ { x } ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) = ( abs ` ( ( ( ( F ` c ) - ( F ` x ) ) / ( c - x ) ) - w ) ) )
181	180	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) = ( abs ` ( ( ( ( F ` c ) - ( F ` x ) ) / ( c - x ) ) - w ) ) )
182		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> ph )
183		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( c e. ( RR \ { x } ) -> c e. RR )
184	183	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> c e. RR )
185		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x = c -> ( x e. RR <-> c e. RR ) )
186	185	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = c -> ( ( ph /\ x e. RR ) <-> ( ph /\ c e. RR ) ) )
187		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x = c -> ( x + T ) = ( c + T ) )
188	187	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x = c -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` ( c + T ) ) )
189		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x = c -> ( F ` x ) = ( F ` c ) )
190	188, 189	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x = c -> ( ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) <-> ( F ` ( c + T ) ) = ( F ` c ) ) )
191	186, 190	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = c -> ( ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) ) <-> ( ( ph /\ c e. RR ) -> ( F ` ( c + T ) ) = ( F ` c ) ) ) )
192	191, 69	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ c e. RR ) -> ( F ` ( c + T ) ) = ( F ` c ) )
193	192	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ c e. RR ) -> ( F ` c ) = ( F ` ( c + T ) ) )
194	182, 184, 193	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> ( F ` c ) = ( F ` ( c + T ) ) )
195	6	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> x e. RR )
196	182, 195, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
197	196	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( x + T ) ) )
198	194, 197	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> ( ( F ` c ) - ( F ` x ) ) = ( ( F ` ( c + T ) ) - ( F ` ( x + T ) ) ) )
199	184	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> c e. CC )
200	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> x e. CC )
201	182, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> T e. CC )
202	199, 200, 201	pnpcan2d 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> ( ( c + T ) - ( x + T ) ) = ( c - x ) )
203	202	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> ( c - x ) = ( ( c + T ) - ( x + T ) ) )
204	198, 203	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> ( ( ( F ` c ) - ( F ` x ) ) / ( c - x ) ) = ( ( ( F ` ( c + T ) ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) )
205	204	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> ( ( ( ( F ` c ) - ( F ` x ) ) / ( c - x ) ) - w ) = ( ( ( ( F ` ( c + T ) ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) - w ) )
206	205	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` c ) - ( F ` x ) ) / ( c - x ) ) - w ) ) = ( abs ` ( ( ( ( F ` ( c + T ) ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) - w ) ) )
207	206	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` c ) - ( F ` x ) ) / ( c - x ) ) - w ) ) = ( abs ` ( ( ( ( F ` ( c + T ) ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) - w ) ) )
208	207	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` c ) - ( F ` x ) ) / ( c - x ) ) - w ) ) = ( abs ` ( ( ( ( F ` ( c + T ) ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) - w ) ) )
209		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) )
210	183	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> c e. RR )
211	8	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> T e. RR )
212	210, 211	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( c + T ) e. RR )
213		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( c e. ( RR \ { x } ) -> c =/= x )
214	213	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> c =/= x )
215	199, 200, 201, 214	addneintr2d 10244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> ( c + T ) =/= ( x + T ) )
216	215	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( c + T ) =/= ( x + T ) )
217	216	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( c + T ) =/= ( x + T ) )
218		nelsn 4212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( c + T ) =/= ( x + T ) -> -. ( c + T ) e. { ( x + T ) } )
219	217, 218	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> -. ( c + T ) e. { ( x + T ) } )
220	212, 219	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( c + T ) e. ( RR \ { ( x + T ) } ) )
221		neeq1 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( d = ( c + T ) -> ( d =/= ( x + T ) <-> ( c + T ) =/= ( x + T ) ) )
222		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( d = ( c + T ) -> ( d - ( x + T ) ) = ( ( c + T ) - ( x + T ) ) )
223	222	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( d = ( c + T ) -> ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) = ( abs ` ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) )
224	223	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( d = ( c + T ) -> ( ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b <-> ( abs ` ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) < b ) )
225	221, 224	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( d = ( c + T ) -> ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) <-> ( ( c + T ) =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) < b ) ) )
226		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( d = ( c + T ) -> ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) = ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) )
227	226	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( d = ( c + T ) -> ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) = ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) - w ) )
228	227	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( d = ( c + T ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) = ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) - w ) ) )
229	228	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( d = ( c + T ) -> ( ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a <-> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) - w ) ) < a ) )
230	225, 229	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( d = ( c + T ) -> ( ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) <-> ( ( ( c + T ) =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) - w ) ) < a ) ) )
231	230	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) /\ ( c + T ) e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( ( ( c + T ) =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) - w ) ) < a ) )
232	209, 220, 231	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( ( ( c + T ) =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) - w ) ) < a ) )
233		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) = ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) )
234		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( y = ( c + T ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( c + T ) ) )
235	234	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y = ( c + T ) -> ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) = ( ( F ` ( c + T ) ) - ( F ` ( x + T ) ) ) )
236		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y = ( c + T ) -> ( y - ( x + T ) ) = ( ( c + T ) - ( x + T ) ) )
237	235, 236	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y = ( c + T ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) = ( ( ( F ` ( c + T ) ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) )
238	237	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ y = ( c + T ) ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) = ( ( ( F ` ( c + T ) ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) )
239	182, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> T e. RR )
240	184, 239	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> ( c + T ) e. RR )
241	215, 218	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> -. ( c + T ) e. { ( x + T ) } )
242	240, 241	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> ( c + T ) e. ( RR \ { ( x + T ) } ) )
243		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> ( ( ( F ` ( c + T ) ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) e. _V )
244	233, 238, 242, 243	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) = ( ( ( F ` ( c + T ) ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) )
245	244	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> ( ( ( F ` ( c + T ) ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) = ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) )
246	245	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) /\ ( ( ( c + T ) =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) - w ) ) < a ) ) -> ( ( ( F ` ( c + T ) ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) = ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) )
247	246	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) /\ ( ( ( c + T ) =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) - w ) ) < a ) ) -> ( ( ( ( F ` ( c + T ) ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) - w ) = ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) - w ) )
248	247	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) /\ ( ( ( c + T ) =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) - w ) ) < a ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` ( c + T ) ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) - w ) ) = ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) - w ) ) )
249	183	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( c e. ( RR \ { x } ) -> c e. CC )
250	249	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> c e. CC )
251	200	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> x e. CC )
252	201	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> T e. CC )
253	250, 251, 252	pnpcan2d 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( ( c + T ) - ( x + T ) ) = ( c - x ) )
254	253	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) = ( abs ` ( c - x ) ) )
255		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( c - x ) ) < b )
256	254, 255	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) < b )
257	216, 256	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( ( c + T ) =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) < b ) )
258	257	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) /\ ( ( ( c + T ) =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) - w ) ) < a ) ) -> ( ( c + T ) =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) < b ) )
259		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) /\ ( ( ( c + T ) =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) - w ) ) < a ) ) -> ( ( ( c + T ) =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) - w ) ) < a ) )
260	258, 259	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) /\ ( ( ( c + T ) =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) - w ) ) < a ) ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) - w ) ) < a )
261	248, 260	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) /\ ( ( ( c + T ) =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) - w ) ) < a ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` ( c + T ) ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) - w ) ) < a )
262	261	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( ( ( ( c + T ) =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) - w ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` ( c + T ) ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) - w ) ) < a ) )
263	262	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( ( ( ( c + T ) =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` ( c + T ) ) - w ) ) < a ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` ( c + T ) ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) - w ) ) < a ) )
264	232, 263	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` ( c + T ) ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( ( c + T ) - ( x + T ) ) ) - w ) ) < a )
265	208, 264	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` c ) - ( F ` x ) ) / ( c - x ) ) - w ) ) < a )
266	265	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` c ) - ( F ` x ) ) / ( c - x ) ) - w ) ) < a )
267	181, 266	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) /\ ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a )
268	267	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) /\ c e. ( RR \ { x } ) ) -> ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) )
269	268	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) -> A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) )
270	169, 269	impbida 877	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) <-> A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) )
271	270	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( E. b e. RR+ A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) <-> E. b e. RR+ A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) )
272	271	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( A. a e. RR+ E. b e. RR+ A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) <-> A. a e. RR+ E. b e. RR+ A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) )
273	272	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( ( w e. CC /\ A. a e. RR+ E. b e. RR+ A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) ) <-> ( w e. CC /\ A. a e. RR+ E. b e. RR+ A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) ) )
274	39, 37, 7	dvlem 23660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ y e. ( RR \ { x } ) ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) e. CC )
275	274, 35	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) : ( RR \ { x } ) --> CC )
276	37	ssdifssd 3748	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( RR \ { x } ) C_ CC )
277	275, 276, 80	ellimc3 23643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( w e. ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) lim CC x ) <-> ( w e. CC /\ A. a e. RR+ E. b e. RR+ A. c e. ( RR \ { x } ) ( ( c =/= x /\ ( abs ` ( c - x ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) ` c ) - w ) ) < a ) ) ) )
278	39, 37, 10	dvlem 23660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. dom G ) /\ y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ) -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) e. CC )
279		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) = ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) )
280	278, 279	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) : ( RR \ { ( x + T ) } ) --> CC )
281	37	ssdifssd 3748	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( RR \ { ( x + T ) } ) C_ CC )
282	10	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( x + T ) e. CC )
283	280, 281, 282	ellimc3 23643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( w e. ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) lim CC ( x + T ) ) <-> ( w e. CC /\ A. a e. RR+ E. b e. RR+ A. d e. ( RR \ { ( x + T ) } ) ( ( d =/= ( x + T ) /\ ( abs ` ( d - ( x + T ) ) ) < b ) -> ( abs ` ( ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) ` d ) - w ) ) < a ) ) ) )
284	273, 277, 283	3bitr4d 300	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( w e. ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) lim CC x ) <-> w e. ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) lim CC ( x + T ) ) ) )
285	284	eqrdv 2620	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) lim CC x ) = ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) lim CC ( x + T ) ) )
286		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
287	286	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` ( x + T ) ) ) )
288		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( y - ( x + T ) ) = ( z - ( x + T ) ) )
289	287, 288	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) = ( ( ( F ` z ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( z - ( x + T ) ) ) )
290	289	cbvmptv 4750	. . . . . . 7 |- ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) = ( z e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( z - ( x + T ) ) ) )
291	290	oveq1i 6660	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( y - ( x + T ) ) ) ) lim CC ( x + T ) ) = ( ( z e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( z - ( x + T ) ) ) ) lim CC ( x + T ) )
292	285, 291	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( ( y e. ( RR \ { x } ) |-> ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) ) lim CC x ) = ( ( z e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( z - ( x + T ) ) ) ) lim CC ( x + T ) ) )
293	42, 292	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( G ` x ) e. ( ( z e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( z - ( x + T ) ) ) ) lim CC ( x + T ) ) )
294		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( z e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( z - ( x + T ) ) ) ) = ( z e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( z - ( x + T ) ) ) )
295	36	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR C_ CC )
296	13	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR C_ RR )
297	34, 33, 294, 295, 38, 296	eldv 23662	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x + T ) ( RR _D F ) ( G ` x ) <-> ( ( x + T ) e. ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` RR ) /\ ( G ` x ) e. ( ( z e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( z - ( x + T ) ) ) ) lim CC ( x + T ) ) ) ) )
298	297	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( ( x + T ) ( RR _D F ) ( G ` x ) <-> ( ( x + T ) e. ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` RR ) /\ ( G ` x ) e. ( ( z e. ( RR \ { ( x + T ) } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` ( x + T ) ) ) / ( z - ( x + T ) ) ) ) lim CC ( x + T ) ) ) ) )
299	20, 293, 298	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( x + T ) ( RR _D F ) ( G ` x ) )
300	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> G = ( RR _D F ) )
301	300	breqd 4664	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( ( x + T ) G ( G ` x ) <-> ( x + T ) ( RR _D F ) ( G ` x ) ) )
302	299, 301	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( x + T ) G ( G ` x ) )
303	3	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> G = ( RR _D F ) )
304	303	funeqd 5910	. . . . 5 |- ( ph -> ( Fun G <-> Fun ( RR _D F ) ) )
305	28, 304	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> Fun G )
306	305	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> Fun G )
307		funbrfv2b 6240	. . 3 |- ( Fun G -> ( ( x + T ) G ( G ` x ) <-> ( ( x + T ) e. dom G /\ ( G ` ( x + T ) ) = ( G ` x ) ) ) )
308	306, 307	syl 17	. 2 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( ( x + T ) G ( G ` x ) <-> ( ( x + T ) e. dom G /\ ( G ` ( x + T ) ) = ( G ` x ) ) ) )
309	302, 308	mpbid 222	1 |- ( ( ph /\ x e. dom G ) -> ( ( x + T ) e. dom G /\ ( G ` ( x + T ) ) = ( G ` x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   < clt 10074   - cmin 10266   / cdiv 10684   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   abscabs 13974   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698   intcnt 20821   lim CC climc 23626   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem94  40417  fourierdlem97  40420  fourierdlem113  40436