Theorem gsumesum 30121

Description: Relate a group sum on (ℝ^*_𝑠 ↾_s (0[,]+∞)) to a finite extended sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumesum.0	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
gsumesum.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumesum.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
gsumesum	⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumesum

Dummy variables 𝑎 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumesum.0	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcv 2764	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		gsumesum.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		gsumesum.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
5		eqidd 2623	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
6	1, 2, 3, 4, 5	esumval 30108	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))), ℝ*, < ))
7		xrltso 11974	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
9		iccssxr 12256	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
10		xrge0base 29685	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
11		xrge0cmn 19788	. . . . . 6 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
13	4	ex 450	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
14	1, 13	ralrimi 2957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
15	10, 12, 3, 14	gsummptcl 18366	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
16	9, 15	sseldi 3601	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
17		pwidg 4173	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
18	3, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
19	18, 3	elind 3798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
20		eqidd 2623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
21		mpteq1 4737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
22	21	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
23	22	eqeq2d 2632	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ↔ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
24	23	rspcev 3309	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
25	19, 20, 24	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
26		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
27		ovex 6678	. . . . 5 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ V
28	26, 27	elrnmpti 5376	. . . 4 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))
29	25, 28	sylibr 224	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))))
30		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))))
31		mpteq1 4737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))
32	31	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
33	32	cbvmptv 4750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) = (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
34		ovex 6678	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ V
35	33, 34	elrnmpti 5376	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
36	30, 35	sylib 208	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
37	11	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
38		inss2 3834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
39		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
40	38, 39	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin)
41		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
42	1, 41	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
43		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝜑)
44		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
45	44	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴)
46	45	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑎 ⊆ 𝐴)
47	46	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑎 ⊆ 𝐴)
48		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑘 ∈ 𝑎)
49	47, 48	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝑘 ∈ 𝐴)
50	43, 49, 4	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑎) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
51	50	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ 𝑎 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
52	42, 51	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘 ∈ 𝑎 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
53	10, 37, 40, 52	gsummptcl 18366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
54	9, 53	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
55		diffi 8192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ Fin)
56	3, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ Fin)
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ Fin)
58		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)) → 𝜑)
59		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)) → 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎))
60	59	eldifad 3586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)) → 𝑘 ∈ 𝐴)
61	58, 60, 4	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
62	61	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
63	42, 62	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎)𝐵 ∈ (0[,]+∞))
64	10, 37, 57, 63	gsummptcl 18366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
65	9, 64	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
66		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
67	66	simprbi 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)))
68	64, 67	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)))
69		xraddge02 29521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*) → (0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)))))
70	69	imp 445	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*) ∧ 0 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
71	54, 65, 68, 70	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
72	71	adantlr 751	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
73		simpll 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝜑)
74	46	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑎 ⊆ 𝐴)
75		xrge00 29686	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
76		xrge0plusg 29687	. . . . . . . . . 10 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
77	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
78	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
79		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
80	1, 4, 79	fmptdf 6387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
82	79	fnmpt 6020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,]+∞) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
83	14, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) Fn 𝐴)
84		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
86	83, 3, 85	fndmfifsupp 8288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 0)
87	86	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) finSupp 0)
88		disjdif 4040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∩ (𝐴 ∖ 𝑎)) = ∅
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (𝑎 ∩ (𝐴 ∖ 𝑎)) = ∅)
90		undif 4049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑎 ∪ (𝐴 ∖ 𝑎)) = 𝐴)
91	90	biimpi 206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → (𝑎 ∪ (𝐴 ∖ 𝑎)) = 𝐴)
92	91	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → 𝐴 = (𝑎 ∪ (𝐴 ∖ 𝑎)))
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → 𝐴 = (𝑎 ∪ (𝐴 ∖ 𝑎)))
94	10, 75, 76, 77, 78, 81, 87, 89, 93	gsumsplit 18328	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎)))))
95		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎) = (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵))
96	95	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐴 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
97	96	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎)) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)))
98		difss 3737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∖ 𝑎) ⊆ 𝐴
99		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑎) ⊆ 𝐴 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎)) = (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))
100	98, 99	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎)) = (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)
101	100	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎))) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎))) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵)))
103	97, 102	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑎)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∖ 𝑎)))) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
104	94, 103	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐴) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
105	73, 74, 104	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) +𝑒 ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ↦ 𝐵))))
106	72, 105	breqtrrd 4681	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
107	106	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
108		r19.29r 3073	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
109		breq1 4656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
110	109	biimpar 502	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
111	110	rexlimivw 3029	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
112	108, 111	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑎 ↦ 𝐵)) ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
113	36, 107, 112	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
114	16	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
115	11	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
116		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
117	38, 116	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
118		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
119	1, 118	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
120		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝜑)
121	44	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
122	121	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
123	122	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
124		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝑥)
125	123, 124	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝑘 ∈ 𝐴)
126	120, 125, 4	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑥) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
127	126	ex 450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑘 ∈ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
128	119, 127	ralrimi 2957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
129	10, 115, 117, 128	gsummptcl 18366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
130	9, 129	sseldi 3601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
131	130	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ*)
132	26	rnmptss 6392	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ⊆ ℝ*)
133	131, 132	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))) ⊆ ℝ*)
134	133	sselda 3603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
135		xrltnle 10105	. . . . . 6 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))))
136	135	con2bid 344	. . . . 5 ⊢ ((((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ¬ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < 𝑦))
137	114, 134, 136	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → (𝑦 ≤ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ↔ ¬ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < 𝑦))
138	113, 137	mpbid 222	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵)))) → ¬ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) < 𝑦)
139	8, 16, 29, 138	supmax 8373	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝑥 ↦ 𝐵))), ℝ*, < ) = ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
140	6, 139	eqtr2d 2657	1 ⊢ (𝜑 → ((ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ*𝑘 ∈ 𝐴𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483  Ⅎwnf 1708   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   Or wor 5034  ran crn 5115   ↾ cres 5116   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  (class class class)co 6650  Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275  supcsup 8346  0cc0 9936  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   +_𝑒 cxad 11944  [,]cicc 12178   ↾_s cress 15858   Σ_g cgsu 16101  ℝ^*_𝑠cxrs 16160  CMndccmn 18193  Σ^*cesum 30089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930  df-esum 30090

This theorem is referenced by:  esumlub  30122