Theorem halfcld 11277

Description: Closure of half of a number (frequently used special case). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
2timesd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
halfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem halfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timesd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		halfcl 11257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   / cdiv 10684  2c2 11070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079

This theorem is referenced by:  xp1d2m1eqxm1d2  11286  zeo  11463  zesq  12987  faclbnd2  13078  crre  13854  ef4p  14843  cosf  14855  efi4p  14867  sinhval  14884  addsin  14900  zob  15083  nn0ob  15100  flodddiv4t2lthalf  15140  4sqlem10  15651  lhop1lem  23776  chordthmlem  24559  chordthmlem2  24560  chordthmlem3  24561  chordthmlem4  24562  chordthmlem5  24563  dcubic2  24571  dcubic1  24572  dcubic  24573  mcubic  24574  cubic  24576  dquartlem1  24578  dquart  24580  quart1cl  24581  quart1lem  24582  quart1  24583  quartlem3  24586  quartlem4  24587  quart  24588  lgsquad2lem2  25110  lgsquad2  25111  logdivsum  25222  mulog2sumlem2  25224  mulog2sumlem3  25225  vmalogdivsum2  25227  selberg34r  25260  pntlemr  25291  lt2addrd  29516  logdivsqrle  30728  sin2h  33399  cos2h  33400  tan2h  33401  itg2addnclem  33461  oddfl  39489  suplesup  39555  coseq0  40075  sinaover2ne0  40079  wallispilem4  40285  wallispi  40287  stirlinglem1  40291  stirlinglem4  40294  stirlinglem7  40297  stirlinglem15  40305  dirker2re  40309  dirkerdenne0  40310  dirkerper  40313  dirkertrigeqlem2  40316  dirkertrigeqlem3  40317  dirkeritg  40319  dirkercncflem1  40320  dirkercncflem2  40321  dirkercncflem4  40323  fourierdlem43  40367  fourierdlem44  40368  fourierdlem56  40379  fourierdlem58  40381  fourierdlem62  40385  fourierdlem68  40391  fourierdlem72  40395  fourierdlem76  40399  fourierdlem79  40402  fourierdlem80  40403  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem112  40435  dignn0flhalflem1  42409