Theorem sin2h 33399

Description: Half-angle rule for sine. (Contributed by Brendan Leahy, 3-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sin2h	⊢ (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))

Proof of Theorem sin2h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10040	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		2re 11090	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		pire 24210	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
4	2, 3	remulcli 10054	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
5		iccssre 12255	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (0[,](2 · π)) ⊆ ℝ)
6	1, 4, 5	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (0[,](2 · π)) ⊆ ℝ
7	6	sseli 3599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	rehalfcld 11279	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
9	8	resincld 14873	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℝ)
10		1re 10039	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		recoscl 14871	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
12		resubcl 10345	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
13	10, 11, 12	sylancr 695	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ)
14	13	rehalfcld 11279	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((1 − (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
15		cosbnd 14911	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))
16	15	simprd 479	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ≤ 1)
17		subge0 10541	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ (cos‘𝐴) ≤ 1))
18	10, 11, 17	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ (cos‘𝐴) ≤ 1))
19		halfnneg2 11263	. . . . . . 7 ⊢ ((1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
20	13, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ (1 − (cos‘𝐴)) ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
21	18, 20	bitr3d 270	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
22	16, 21	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
23	14, 22	resqrtcld 14156	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
24	7, 23	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
25	1, 4	elicc2i 12239	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · π)))
26		halfnneg2 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 2)))
27		2pos 11112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
28	2, 27	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
29		ledivmul 10899	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 / 2) ≤ π ↔ 𝐴 ≤ (2 · π)))
30	3, 28, 29	mp3an23 1416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ≤ π ↔ 𝐴 ≤ (2 · π)))
31	30	bicomd 213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ (2 · π) ↔ (𝐴 / 2) ≤ π))
32	26, 31	anbi12d 747	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · π)) ↔ (0 ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ π)))
33		rehalfcl 11258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ)
34	33	rexrd 10089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ*)
35		0xr 10086	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
36	3	rexri 10097	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ*
37		elicc4 12240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝐴 / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]π) ↔ (0 ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ π)))
38	35, 36, 37	mp3an12 1414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℝ* → ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]π) ↔ (0 ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ π)))
39	34, 38	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]π) ↔ (0 ≤ (𝐴 / 2) ∧ (𝐴 / 2) ≤ π)))
40	32, 39	bitr4d 271	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · π)) ↔ (𝐴 / 2) ∈ (0[,]π)))
41	40	biimpd 219	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ (0[,]π)))
42	41	3impib 1262	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ (2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ (0[,]π))
43	25, 42	sylbi 207	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (𝐴 / 2) ∈ (0[,]π))
44		sinq12ge0 24260	. . 3 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ (0[,]π) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 / 2)))
45	43, 44	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → 0 ≤ (sin‘(𝐴 / 2)))
46	14, 22	sqrtge0d 14159	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
47	7, 46	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → 0 ≤ (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))
48	7	recnd 10068	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
49		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
50		coscl 14857	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
51		subcl 10280	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
52	49, 50, 51	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (cos‘𝐴)) ∈ ℂ)
53	52	halfcld 11277	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 − (cos‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
54	53	sqsqrtd 14178	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2))↑2) = ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
55		halfcl 11257	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
56		coscl 14857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
57	56	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
58		2cn 11091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
59		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
60	57, 58, 59	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
61	60	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)) = ((1 · 2) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
62	58	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · 2) = 2
63		df-2 11079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (1 + 1)
64	62, 63	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 2) = (1 + 1)
65	64	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 2) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
66	61, 65	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
67		subdir 10464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2) = ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)))
68	49, 58, 67	mp3an13 1415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2) = ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)))
69	57, 68	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2) = ((1 · 2) − (((cos‘(𝐴 / 2))↑2) · 2)))
70		mulcl 10020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ) → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
71	58, 57, 70	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ)
72		subsub3 10313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
73	49, 49, 72	mp3an13 1415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) ∈ ℂ → (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
74	71, 73	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)) = ((1 + 1) − (2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2))))
75	66, 69, 74	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2) = (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)))
76		sincl 14856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
77	76	sqcld 13006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
78	77, 57	pncand 10393	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) + ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) = ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))
79		sincossq 14906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) + ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) = 1)
80	79	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) + ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) = (1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
81	78, 80	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = (1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)))
82	81	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = ((1 − ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) · 2))
83		cos2t 14908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1))
84	83	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (1 − (cos‘(2 · (𝐴 / 2)))) = (1 − ((2 · ((cos‘(𝐴 / 2))↑2)) − 1)))
85	75, 82, 84	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (1 − (cos‘(2 · (𝐴 / 2)))))
86	55, 85	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (1 − (cos‘(2 · (𝐴 / 2)))))
87		2ne0 11113	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
88		divcan2 10693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
89	58, 87, 88	mp3an23 1416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
90	89	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(2 · (𝐴 / 2))) = (cos‘𝐴))
91	90	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (cos‘(2 · (𝐴 / 2)))) = (1 − (cos‘𝐴)))
92	86, 91	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) = (1 − (cos‘𝐴)))
93	92	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) / 2) = ((1 − (cos‘𝐴)) / 2))
94	55	sincld 14860	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
95	94	sqcld 13006	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ)
96		divcan4 10712	. . . . . 6 ⊢ ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) / 2) = ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))
97	58, 87, 96	mp3an23 1416	. . . . 5 ⊢ (((sin‘(𝐴 / 2))↑2) ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) / 2) = ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))
98	95, 97	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((sin‘(𝐴 / 2))↑2) · 2) / 2) = ((sin‘(𝐴 / 2))↑2))
99	54, 93, 98	3eqtr2rd 2663	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
100	48, 99	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → ((sin‘(𝐴 / 2))↑2) = ((√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2))↑2))
101	9, 24, 45, 47, 100	sq11d 13045	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,](2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) = (√‘((1 − (cos‘𝐴)) / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  2c2 11070  [,]cicc 12178  ↑cexp 12860  √csqrt 13973  sincsin 14794  cosccos 14795  πcpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  tan2h  33401