fourierdlem68 - Mathbox for Glauco Siliprandi

	Mathbox for Glauco Siliprandi		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > fourierdlem68		Structured version Visualization version GIF version

Theorem fourierdlem68 40391

Description: The derivative of 𝑂 is bounded on the given interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem68.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem68.xre	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem68.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem68.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem68.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem68.ab	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (-π[,]π))
fourierdlem68.n0	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
fourierdlem68.fdv	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
fourierdlem68.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
fourierdlem68.fbd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝐷)
fourierdlem68.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
fourierdlem68.fdvbd	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡)) ≤ 𝐸)
fourierdlem68.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem68.o	⊢ 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem68	⊢ (𝜑 → (dom (ℝ D 𝑂) = (𝐴(,)𝐵) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑏,𝑠 𝑡,𝐴,𝑠 𝐵,𝑏,𝑠 𝑡,𝐵 𝐶,𝑏,𝑠 𝐷,𝑏,𝑠 𝑡,𝐷 𝐸,𝑏,𝑠 𝑡,𝐸 𝐹,𝑏,𝑠 𝑡,𝐹 𝑋,𝑏,𝑠 𝑡,𝑋 𝜑,𝑏,𝑠 𝜑,𝑡 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑡) 𝑂(𝑡,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem fourierdlem68 Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem68.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		fourierdlem68.xre	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3		fourierdlem68.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		fourierdlem68.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		fourierdlem68.fdv	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
6		ioossicc 12259	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
7		fourierdlem68.ab	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (-π[,]π))
8	6, 7	syl5ss 3614	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
9		fourierdlem68.n0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
10	6	sseli 3599	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
11	9, 10	nsyl 135	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
12		fourierdlem68.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
13		fourierdlem68.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
14	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13	fourierdlem57 40380	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2))))) ∧ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
15	14	simpli 474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (ℝ D 𝑂) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) · (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) − ((cos‘(𝑠 / 2)) · ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2)))↑2)))))
16	15	simpld 475	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
17		fdm 6051	. . 3 ⊢ ((ℝ D 𝑂):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ → dom (ℝ D 𝑂) = (𝐴(,)𝐵))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝑂) = (𝐴(,)𝐵))
19		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2))))
20		fourierdlem68.altb	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
21	3, 4, 20	ltled 10185	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
22		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
24	3, 4	iccssred 39727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
25	24	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ ℝ)
26	25	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡 / 2) ∈ ℝ)
27	26	resincld 14873	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑡 / 2)) ∈ ℝ)
28	23, 27	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ∈ ℝ)
29		2cnd 11093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
30	27	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑡 / 2)) ∈ ℂ)
31		2ne0 11113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 2 ≠ 0)
33	7	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ (-π[,]π))
34		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑡 = 0 ↔ 0 = 𝑡)
35	34	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 = 0 → 0 = 𝑡)
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑡 = 0) → 0 = 𝑡)
37		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑡 = 0) → 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵))
38	36, 37	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑡 = 0) → 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
39	38	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑡 = 0) → 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
40	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑡 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴[,]𝐵))
41	39, 40	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ¬ 𝑡 = 0)
42	41	neqned 2801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ≠ 0)
43		fourierdlem44 40368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑡 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (sin‘(𝑡 / 2)) ≠ 0)
44	33, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑡 / 2)) ≠ 0)
45	29, 30, 32, 44	mulne0d 10679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ≠ 0)
46		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ∈ ℝ ∧ (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ≠ 0))
47	28, 45, 46	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) ∈ (ℝ ∖ {0}))
48	47, 19	fmptd 6385	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
49		difss 3737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℝ
50		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
51	49, 50	sstri 3612	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ
52	51	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
53	24, 50	syl6ss 3615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
54		2cnd 11093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
55		ssid 3624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
57	53, 54, 56	constcncfg 40084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
58		sincn 24198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
60	53, 56	idcncfg 40085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑡) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
61		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
62	29, 32, 61	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 2 ∈ (ℂ ∖ {0}))
63		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2)
64	62, 63	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℂ ∖ {0}))
65		difssd 3738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
66		cncffvrn 22701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℂ ∖ {0})))
67	65, 57, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℂ ∖ {0})))
68	64, 67	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
69	60, 68	divcncf 23216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡 / 2)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
70	59, 69	cncfmpt1f 22716	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (sin‘(𝑡 / 2))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
71	57, 70	mulcncf 23215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
72		cncffvrn 22701	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ↔ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0})))
73	52, 71, 72	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ↔ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0})))
74	48, 73	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})))
75	19, 3, 4, 21, 74	cncficcgt0 40101	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2)))))
76		reelprrecn 10028	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
77	76	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
78	1	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
79	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
80		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
82	79, 81	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
83	78, 82	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
84	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
85	83, 84	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℝ)
86	85	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
87	86	3ad2antl1 1223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) ∈ ℂ)
88	76	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
89	83	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
90	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))):((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))⟶ℝ)
91	2, 3	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ)
92	91	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ^*)
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) ∈ ℝ^*)
94	2, 4	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ)
95	94	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ^*)
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) ∈ ℝ^*)
97	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
98	97	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
99	4	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
101		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
102		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
103	98, 100, 101, 102	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
104	97, 81, 79, 103	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
105	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
106		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
107	98, 100, 101, 106	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
108	81, 105, 79, 107	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
109	93, 96, 82, 104, 108	eliood 39720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))
110	90, 109	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
111		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))) = (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
112	1, 2, 3, 4, 111, 5	fourierdlem28 40352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
113	84	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
114		0red 10041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
115		iooretop 22569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
116		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
117	116	tgioo2 22606	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
118	115, 117	eleqtri 2699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ))
120	12	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
121	88, 119, 120	dvmptconst 40129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐶)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 0))
122	88, 89, 110, 112, 113, 114, 121	dvmptsub 23730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0)))
123	110	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
124	123	subid1d 10381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)))
125	124	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) − 0)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
126	122, 125	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
127	126	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
128	123	3ad2antl1 1223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
129		2cnd 11093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 2 ∈ ℂ)
130	80	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℂ)
131	130	halfcld 11277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
132	131	sincld 14860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
133	129, 132	mulcld 10060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
134	133	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
135		fourierdlem68.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
136	135	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → 𝐸 ∈ ℝ)
137		1re 10039	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
138	22, 137	remulcli 10054	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) ∈ ℝ
139	138	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → (2 · 1) ∈ ℝ)
140		1red 10055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → 1 ∈ ℝ)
141		fourierdlem68.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
142	120	abscld 14175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
143	141, 142	readdcld 10069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
144	143	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → (𝐷 + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
145		simpl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝜑)
146	145, 109	jca 554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
147		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) ↔ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))
148	147	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)))))
149		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡) = ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠)))
150	149	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))))
151	150	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → ((abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐸))
152	148, 151	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐸)))
153		fourierdlem68.fdvbd	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘𝑡)) ≤ 𝐸)
154	152, 153	vtoclg 3266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐸))
155	82, 146, 154	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐸)
156	155	3ad2antl1 1223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))))‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐸)
157	129, 132	absmuld 14193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((abs‘2) · (abs‘(sin‘(𝑠 / 2)))))
158		0le2 11111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≤ 2
159		absid 14036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
160	22, 158, 159	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘2) = 2
161	160	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘2) · (abs‘(sin‘(𝑠 / 2)))) = (2 · (abs‘(sin‘(𝑠 / 2))))
162	132	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
163		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 1 ∈ ℝ)
164	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 2 ∈ ℝ)
165	158	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 0 ≤ 2)
166	80	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
167		abssinbd 39509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑠 / 2) ∈ ℝ → (abs‘(sin‘(𝑠 / 2))) ≤ 1)
168	166, 167	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(sin‘(𝑠 / 2))) ≤ 1)
169	162, 163, 164, 165, 168	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (2 · (abs‘(sin‘(𝑠 / 2)))) ≤ (2 · 1))
170	161, 169	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((abs‘2) · (abs‘(sin‘(𝑠 / 2)))) ≤ (2 · 1))
171	157, 170	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ≤ (2 · 1))
172	171	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ≤ (2 · 1))
173		abscosbd 39490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 / 2) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑠 / 2))) ≤ 1)
174	101, 166, 173	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(cos‘(𝑠 / 2))) ≤ 1)
175	174	3ad2antl1 1223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(cos‘(𝑠 / 2))) ≤ 1)
176	86	abscld 14175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ∈ ℝ)
177	89	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ ℝ)
178	113	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
179	177, 178	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
180	141	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐷 ∈ ℝ)
181	180, 178	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐷 + (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
182	89, 113	abs2dif2d 14197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ≤ ((abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) + (abs‘𝐶)))
183		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐹‘𝑡) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
184	183	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) = (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
185	184	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝐷 ↔ (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐷))
186	148, 185	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (𝑋 + 𝑠) → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐷)))
187		fourierdlem68.fbd	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ≤ 𝐷)
188	186, 187	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵)) → ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑋 + 𝐴)(,)(𝑋 + 𝐵))) → (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐷))
189	109, 146, 188	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ≤ 𝐷)
190	177, 180, 178, 189	leadd1dd 10641	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) + (abs‘𝐶)) ≤ (𝐷 + (abs‘𝐶)))
191	176, 179, 181, 182, 190	letrd 10194	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ≤ (𝐷 + (abs‘𝐶)))
192	191	3ad2antl1 1223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶)) ≤ (𝐷 + (abs‘𝐶)))
193	14	simpri 478	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2)))
194	193	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑠 / 2))))
195	131	coscld 14861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
196	195	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
197		simp2 1062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → 𝑐 ∈ ℝ⁺)
198		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑡 / 2) = (𝑠 / 2))
199	198	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (sin‘(𝑡 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
200	199	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (2 · (sin‘(𝑡 / 2))) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
201	200	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) = (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
202	201	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → (𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ↔ 𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
203	202	cbvralv 3171	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) ↔ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
204		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑠𝜑
205		nfra1 2941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑠∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
206	204, 205	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑠(𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
207		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
208	6, 101	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
209	208	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
210		rspa 2930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
211	207, 209, 210	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
212	211	ex 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
213	206, 212	ralrimi 2957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) → ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
214	203, 213	sylan2b 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
215	214	3adant2 1080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
216		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
217	77, 87, 127, 128, 134, 136, 139, 140, 144, 156, 172, 175, 192, 194, 196, 197, 215, 216	dvdivbd 40138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2))))) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏)
218	217	rexlimdv3a 3033	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ ℝ⁺ ∀𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑐 ≤ (abs‘(2 · (sin‘(𝑡 / 2)))) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
219	75, 218	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏)
220		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠ℝ
221		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠 D
222		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑠(𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
223	13, 222	nfcxfr 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠𝑂
224	220, 221, 223	nfov 6676	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠(ℝ D 𝑂)
225	224	nfdm 5367	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑠dom (ℝ D 𝑂)
226		nfcv 2764	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑠(𝐴(,)𝐵)
227	225, 226	raleqf 3134	. . . . . 6 ⊢ (dom (ℝ D 𝑂) = (𝐴(,)𝐵) → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
228	18, 227	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
229	228	rexbidv 3052	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
230	219, 229	mpbird 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏)
231	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
232	231	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝑂) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
233	232	fveq1d 6193	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝑂)‘𝑠) = ((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠))
234	233	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) = (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)))
235	234	breq1d 4663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
236	235	rexralbidv 3058	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − 𝐶) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))‘𝑠)) ≤ 𝑏))
237	230, 236	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏)
238	18, 237	jca 554	1 ⊢ (𝜑 → (dom (ℝ D 𝑂) = (𝐴(,)𝐵) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝑂)(abs‘((ℝ D 𝑂)‘𝑠)) ≤ 𝑏))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 ∃wrex 2913 ∖ cdif 3571 ⊆ wss 3574 {csn 4177 {cpr 4179 class class class wbr 4653 ↦ cmpt 4729 dom cdm 5114 ran crn 5115 ↾ cres 5116 ⟶wf 5884 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 · cmul 9941 ℝ^*cxr 10073 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 -cneg 10267 / cdiv 10684 2c2 11070 ℝ⁺crp 11832 (,)cioo 12175 [,]cicc 12178 ↑cexp 12860 abscabs 13974 sincsin 14794 cosccos 14795 πcpi 14797 ↾_t crest 16081 TopOpenctopn 16082 topGenctg 16098 ℂ_fldccnfld 19746 –cn→ccncf 22679 D cdv 23627

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-t1 21118 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631

This theorem is referenced by: fourierdlem80 40403

W3C validator