Theorem ig1pval3 23934

Description: Characterizing properties of the monic generator of a nonzero ideal of polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1pval.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
ig1pval3.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
ig1pval3.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
ig1pval3.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
ig1pval3.m	⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ig1pval3	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))

Proof of Theorem ig1pval3

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ig1pval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ig1pval.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
3		ig1pval3.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
4		ig1pval3.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑃)
5		ig1pval3.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
6		ig1pval3.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (Monic1p‘𝑅)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ig1pval 23932	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐺‘𝐼) = if(𝐼 = { 0 }, 0 , (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))))
8	7	3adant3 1081	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐺‘𝐼) = if(𝐼 = { 0 }, 0 , (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))))
9		simp3 1063	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
10	9	neneqd 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ¬ 𝐼 = { 0 })
11	10	iffalsed 4097	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → if(𝐼 = { 0 }, 0 , (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))) = (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
12	8, 11	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐺‘𝐼) = (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
13	1, 4, 3, 6, 5	ig1peu 23931	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃!𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ))
14		riotacl2 6624	. . . 4 ⊢ (∃!𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) → (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∣ (𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )})
15	13, 14	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (℩𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀)(𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∣ (𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )})
16	12, 15	eqeltrd 2701	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → (𝐺‘𝐼) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∣ (𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )})
17		elin 3796	. . . 4 ⊢ ((𝐺‘𝐼) ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ↔ ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝑀))
18	17	anbi1i 731	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝐼) ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) ↔ (((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝑀) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
19		fveq2 6191	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝐺‘𝐼) → (𝐷‘𝑔) = (𝐷‘(𝐺‘𝐼)))
20	19	eqeq1d 2624	. . . 4 ⊢ (𝑔 = (𝐺‘𝐼) → ((𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < ) ↔ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
21	20	elrab 3363	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝐼) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∣ (𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )} ↔ ((𝐺‘𝐼) ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
22		df-3an 1039	. . 3 ⊢ (((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )) ↔ (((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝑀) ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
23	18, 21, 22	3bitr4i 292	. 2 ⊢ ((𝐺‘𝐼) ∈ {𝑔 ∈ (𝐼 ∩ 𝑀) ∣ (𝐷‘𝑔) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )} ↔ ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))
24	16, 23	sylib 208	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ((𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝐷‘(𝐺‘𝐼)) = inf((𝐷 “ (𝐼 ∖ { 0 })), ℝ, < )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃!wreu 2914  {crab 2916   ∖ cdif 3571   ∩ cin 3573  ifcif 4086  {csn 4177   “ cima 5117  ‘cfv 5888  ℩crio 6610  infcinf 8347  ℝcr 9935   < clt 10074  0_gc0g 16100  DivRingcdr 18747  LIdealclidl 19170  Poly₁cpl1 19547   deg₁ cdg1 23814  Monic_1pcmn1 23885  idlGen_1pcig1p 23889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rlreg 19283  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816  df-mon1 23890  df-uc1p 23891  df-ig1p 23894

This theorem is referenced by:  ig1pcl  23935  ig1pdvds  23936